توزيع ويشارت المعكوس الطبيعي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعد توزيع ويشارت العكسي الطبيعي (أو توزيع ويشارت العكسي الغاوسي ) عائلة متعددة المتغيرات ذات أربعة معلمات من التوزيعات الاحتمالية المستمرة . وهو التوزيع المسبق المترافق لتوزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط ​​غير معروف ومصفوفة تباين (معكوس مصفوفة الدقة ). ^{[ 1 ]}

يفترض

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Sigma }}\sim {\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right)}$

له توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$ومصفوفة التغاير${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}}$، أين

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu \sim {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}$

يتبع توزيع ويشارت العكسي . إذن${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ يتبع توزيع ويشارت العكسي الطبيعي، ويرمز له بـ

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu ).}$

لنفترض أن كثافة العينة هي توزيع طبيعي متعدد المتغيرات

${\displaystyle {\boldsymbol {y_{i}}}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$

أين${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$هو${\displaystyle n\times p}$المصفوفة و${\displaystyle {\boldsymbol {y_{i}}}}$(طول)${\displaystyle p}$) هو الصف${\displaystyle i}$من المصفوفة.

بما أن مصفوفة المتوسط ​​والتباين لتوزيع المعاينة غير معروفة، يمكننا وضع توزيع طبيعي-معكوس-ويشارت مسبق على معلمات المتوسط ​​والتباين معًا.

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu ).}$

سيكون التوزيع الاحتمالي اللاحق الناتج للمتوسط ​​ومصفوفة التباين أيضًا توزيعًا طبيعيًا معكوسًا من نوع ويشارت

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|y)\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{n},\lambda _{n},{\boldsymbol {\Psi }}_{n},\nu _{n}),}$

أين

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{n}={\frac {\lambda {\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\bar {\boldsymbol {y}}}}{\lambda +n}}}$

${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda +n}$

${\displaystyle \nu _{n}=\nu +n}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}_{n}={\boldsymbol {\Psi +S}}+{\frac {\lambda n}{\lambda +n}}({\boldsymbol {{\bar {y}}-\mu _{0}}})({\boldsymbol {{\bar {y}}-\mu _{0}}})^{T}~~~\mathrm {with} ~~{\boldsymbol {S}}=\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {y_{i}-{\bar {y}}}})({\boldsymbol {y_{i}-{\bar {y}}}})^{T}}$.

لأخذ عينة من الجزء الخلفي للمفصل من${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$يقوم المرء ببساطة بسحب العينات من${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {y}}\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Psi }}_{n},\nu _{n})}$ثم ارسم${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\Sigma ,y}}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }}_{n},{\boldsymbol {\Sigma }}/\lambda _{n})}$لرسم التنبؤ اللاحق لملاحظة جديدة، ارسم${\displaystyle {\boldsymbol {\tilde {y}}}|{\boldsymbol {\mu ,\Sigma ,y}}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$، بالنظر إلى القيم المرسومة مسبقًا لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$[ ^{3 ]​}

توليد المتغيرات العشوائية أمر بسيط:

1. عينة${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$من توزيع ويشارت العكسي ذي المعلمات${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}}$و${\displaystyle \nu }$
2. عينة${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$والتباين${\displaystyle {\boldsymbol {\tfrac {1}{\lambda }}}{\boldsymbol {\Sigma }}}$

• يُعد توزيع ويشارت الطبيعي هو نفسه التوزيع الذي يتم تحديده بالدقة بدلاً من التباين.${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}$ثم${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }}^{-1},\nu )}$.
• يُعد التوزيع الطبيعي المعكوس غاما هو المكافئ أحادي البعد.
• يُعد التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات وتوزيع ويشارت العكسي من التوزيعات المكونة التي يتكون منها هذا التوزيع.

• بيشوب، كريستوفر م. (2006). التعرف على الأنماط والتعلم الآلي. سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا.
• مورفي، كيفن ب. (2007). "التحليل البايزي المترافق للتوزيع الغاوسي".