توزيع ويشارت العكسي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 111 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعرف توزيع ويشارت المعكوس ، أو توزيع ويشارت المقلوب ، بأنه توزيع احتمالي مُعرَّف على مصفوفات حقيقية موجبة التحديد . وفي الإحصاء البايزي، يُستخدم هذا التوزيع كتوزيع مسبق مترافق لمصفوفة التغاير لتوزيع طبيعي متعدد المتغيرات .

نقولX{\displaystyle \mathbf {X} }يتبع توزيع ويشارت العكسي، ويرمز له بـX∼دبليو-1(Ψ،ν){\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}، إذا كان معكوسهX-1{\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}}لديها شركة توزيع ويشارتدبليو(Ψ-1،ν){\displaystyle {\mathcal {W}}(\mathbf {\Psi } ^{-1},\nu )}تم اشتقاق متطابقات مهمة لتوزيع ويشارت العكسي. [ 2 ]

كثافة

دالة كثافة الاحتمال لـ Wishart العكسي هي: [ 3 ]

وX(X؛Ψ،ν)=|Ψ|ν/22νص/2Γص(ν2)|X|-(ν+ص+1)/2هـ-12tr⁡(ΨX-1){\displaystyle f_{\mathbf {X}}({\mathbf {X} };{\mathbf {\Psi } },\nu )={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\nu /2}}{2^{\nu p/2}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-(\nu +p+1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {X} ^{-1})}}

أينX{\displaystyle \mathbf {X} }وΨ{\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}نكونص×ص{\displaystyle p\times p}المصفوفات الموجبة المحددة ،|⋅|{\displaystyle |\cdot |}هو العامل المحدد، وΓص(⋅){\displaystyle \Gamma _{p}(\cdot )}هي دالة جاما متعددة المتغيرات .

النظريات

توزيع معكوس مصفوفة موزعة وفقًا لتوزيع ويشارت

لوX∼دبليو(Σ،ν){\displaystyle {\mathbf {X} }\sim {\mathcal {W}}({\mathbf {\Sigma } },\nu )}وΣ{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}حجمهص×ص{\displaystyle p\times p}، ثمأ=X-1{\displaystyle \mathbf {A} ={\mathbf {X} }^{-1}}له توزيع ويشارت معكوسأ∼دبليو-1(Σ-1،ν){\displaystyle \mathbf {A} \sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},\nu )}[ 4 ]​

التوزيعات الهامشية والشرطية من مصفوفة توزيع ويشارت العكسي

يفترضأ∼دبليو-1(Ψ،ν){\displaystyle {\mathbf {A} }\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}يتبع توزيع ويشارت العكسي. قسّم المصفوفاتأ{\displaystyle {\mathbf {A} }}وΨ{\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}متوافقين مع بعضهم البعض

أ=[أ11أ12أ21أ22]،Ψ=[Ψ11Ψ12Ψ21Ψ22]{\displaystyle {\mathbf {A}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi} _{11}&\mathbf {\Psi} _{12}\\\mathbf {\Psi} _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}

أينأأناج{\displaystyle {\mathbf {A} _{ij}}}وΨأناج{\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{ij}}}نكونصأنا×صج{\displaystyle p_{i}\times p_{j}}المصفوفات، إذن لدينا

  1. أ11{\displaystyle \mathbf {A} _{11}}مستقل عنأ11-1أ12{\displaystyle \mathbf {A} _{11}^{-1}\mathbf {A} _{12}}وأ22⋅1{\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}}، أينأ22⋅1=أ22-أ21أ11-1أ12{\displaystyle {\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}شور هو مكمل لـأ11{\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}فيأ{\displaystyle {\mathbf {A} }}؛
  2. أ11∼دبليو-1(Ψ11،ν-ص2){\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},\nu -p_{2})}؛
  3. أ11-1أ12|أ22⋅1∼مشمالص1×ص2(Ψ11-1Ψ12،أ22⋅1⊗Ψ11-1)// {\Psi } } _ {12}، {\mathbf {A}} _ {22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } } _ {11}^{-1})}، أينمشمالص×q(⋅،⋅){\displaystyle MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )}هو توزيع طبيعي مصفوفي ؛
  4. أ22⋅1∼دبليو-1(Ψ22⋅1،ν){\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},\nu )}، أينΨ22⋅1=Ψ22-Ψ21Ψ11-1Ψ12{\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{22\cdot 1}}={\mathbf {\Psi } }_{22}-{\mathbf {\Psi } }_{21}{\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12}}؛

التوزيع المترافق

لنفترض أننا نرغب في استخلاص استنتاجات حول مصفوفة التغايرΣ{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}الذي كان سابقًاص(Σ){\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } )}}لديهدبليو-1(Ψ،ν){\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}التوزيع. إذا كانت الملاحظاتX=[x1،...،xن]{\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]}هي متغيرات غاوسية مستقلة متعددة المتغيرات مُستمدة منشمال(0،Σ){\displaystyle N(\mathbf {0} ,{\mathbf {\Sigma } })}التوزيع، ثم التوزيع الشرطي ص(Σ|X){\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } \mid \mathbf {X} )}}لديهدبليو-1(أ+Ψ،ن+ν){\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {A} }+{\mathbf {\Psi } },n+\nu )}التوزيع، حيثأ=XXتي{\displaystyle {\mathbf {A} }=\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}.

لأن التوزيعات القبلية والبعدية تنتمي إلى نفس العائلة، نقول إن توزيع ويشارت العكسي مترافق مع التوزيع الغاوسي متعدد المتغيرات.

بسبب اقترانها بالتوزيع الغاوسي متعدد المتغيرات، من الممكن تهميش (أو تكامل) معلمات التوزيع الغاوسيΣ{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }باستخدام الصيغةص(x)=ص(x|Σ)ص(Σ)ص(Σ|x){\displaystyle p(x)={\frac {p(x|\Sigma )p(\Sigma )}{p(\Sigma |x)}}}ومتطابقة الجبر الخطيvتيΩv=tr(Ωvvتي){\displaystyle v^{T}\Omega v={\text{tr}}(\Omega vv^{T})}:

وX|Ψ،ν(x)=∫وX|Σ=σ(x)وΣ|Ψ،ν(σ)دσ=|Ψ|ν/2Γص(ν+ن2)πنص/2|Ψ+أ|(ν+ن)/2Γص(ν2){\displaystyle f_{\mathbf {X} \,\mid \,\Psi ,\nu }(\mathbf {x} )=\int f_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {\Sigma } \,=\,\sigma }(\mathbf {x} )f_{\mathbf {\Sigma } \,\mid \,\mathbf {\Psi } ,\nu }(\sigma )\,d\sigma ={\frac {|\mathbf {\Psi } |^{\nu /2}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n}{2}}\right)}{\pi ^{np/2}|\mathbf {\Psi } +\mathbf {A} |^{(\nu +n)/2}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}}

(هذا مفيد لأن مصفوفة التباينΣ{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }غير معروف عمليًا، ولكن لأنΨ{\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}معروف مسبقًا ، وأ{\displaystyle {\mathbf {A} }}يمكن الحصول على البيانات (ويمكن تقييم الجانب الأيمن مباشرةً). ويمكن بناء توزيع ويشارت العكسي كمعلومات مسبقة من خلال المعرفة المسبقة المنقولة الموجودة . [ 5 ]

لحظات

يستند ما يلي إلى Press, SJ (1982) "التحليل متعدد المتغيرات التطبيقي"، الطبعة الثانية (منشورات دوفر، نيويورك)، بعد إعادة تحديد درجة الحرية لتكون متسقة مع تعريف دالة كثافة الاحتمال أعلاه.

يتركدبليو∼دبليو(Ψ-1،ν){\displaystyle W\sim {\mathcal {W}}(\mathbf {\Psi } ^{-1},\nu )}معν≥ص{\displaystyle \nu \geq p}وX≐دبليو-1{\displaystyle X\doteq W^{-1}}، لهذا السببX∼دبليو-1(Ψ،ν){\displaystyle X\sim {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}.

المتوسط، لـν≥ص+2{\displaystyle \nu \geq p+2}: [ 4 ] : 91

هـ⁡(X)=Ψν-ص-1.{\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}.}

تباين كل عنصر منX{\displaystyle \mathbf {X} }:

متغير⁡(xأناج)=(ν-ص+1)ψأناج2+(ν-ص-1)ψأناأناψجج(ν-ص)(ν-ص-1)2(ν-ص-3){\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ij})={\frac {(\nu -p+1)\psi _{ij}^{2}+(\nu -p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}}

يستخدم تباين القطر نفس الصيغة المذكورة أعلاه معأنا=ج{\displaystyle i=j}، وهو ما يُبسط إلى:

متغير⁡(xأناأنا)=2ψأناأنا2(ν-ص-1)2(ν-ص-3).{\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}.}

التغاير بين عناصرX{\displaystyle \mathbf {X} }يتم الحصول عليها من خلال:

كوف⁡(xأناج،xكℓ)=2ψأناجψكℓ+(ν-ص-1)(ψأناكψجℓ+ψأناℓψكج)(ν-ص)(ν-ص-1)2(ν-ص-3){\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{ij},x_{k\ell })={\frac {2\psi _{ij}\psi _{k\ell }+(\nu -p-1)(\psi _{ik}\psi _{j\ell }+\psi _{i\ell }\psi _{kj})}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}}

وقد تم التعبير عن النتائج نفسها في شكل منتج كرونكر بواسطة فون روزن [ 6 ] على النحو التالي:

هـ(دبليو-1⊗دبليو-1)=ج1Ψ⊗Ψ+ج2Vهـج(Ψ)Vهـج(Ψ)تي+ج2كصصΨ⊗Ψجov⊗(دبليو-1،دبليو-1)=(ج1-ج3)Ψ⊗Ψ+ج2Vهـج(Ψ)Vهـج(Ψ)تي+ج2كصصΨ⊗Ψ{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)&=c_{1}\Psi \otimes \Psi +c_{2}Vec(\Psi )Vec(\Psi )^{T}+c_{2}K_{pp}\Psi \otimes \Psi \\\mathbf {Cov} _{\otimes }\left(W^{-1},W^{-1}\right)&=(c_{1}-c_{3})\Psi \otimes \Psi +c_{2}Vec(\Psi )Vec(\Psi )^{T}+c_{2}K_{pp}\Psi \otimes \Psi \end{aligned}}}

أين

ج2=[(ν-ص)(ν-ص-1)(ν-ص-3)]-1ج1=(ν-ص-2)ج2ج3=(ν-ص-1)-2،{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&=\left[(\nu -p)(\nu -p-1)(\nu -p-3)\right]^{-1}\\c_{1}&=(\nu -p-2)c_{2}\\c_{3}&=(\nu -p-1)^{-2},\end{aligned}}}
كصص هو ص2×ص2{\displaystyle K_{pp}{\text{ is a }}p^{2}\times p^{2}}مصفوفة التبديل
جov⊗(دبليو-1،دبليو-1)=هـ(دبليو-1⊗دبليو-1)-هـ(دبليو-1)⊗هـ(دبليو-1).{\displaystyle \mathbf {Cov} _{\otimes }\left(W^{-1},W^{-1}\right)=\mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)-\mathbf {E} \left(W^{-1}\right)\otimes \mathbf {E} \left(W^{-1}\right).}

يبدو أن هناك خطأً مطبعياً في الورقة البحثية حيث أن معاملكصصΨ⊗Ψ{\displaystyle K_{pp}\Psi \otimes \Psi }يُعطى على النحو التاليج1{\displaystyle c_{1}}بدلاً منج2{\displaystyle c_{2}}وأن صيغة معكوس متوسط ​​المربع لويشارت، النتيجة 3.1، يجب أن تُقرأ

هـ[دبليو-1دبليو-1]=(ج1+ج2)Σ-1Σ-1+ج2Σ-1تر(Σ-1).{\displaystyle \mathbf {E} \left[W^{-1}W^{-1}\right]=(c_{1}+c_{2})\Sigma ^{-1}\Sigma ^{-1}+c_{2}\Sigma ^{-1}\mathbf {tr} (\Sigma ^{-1}).}

لإظهار كيف تصبح الحدود المتفاعلة متفرقة عندما يكون التغاير قطريًا، دعΨ=أنا3×3{\displaystyle \Psi =\mathbf {I} _{3\times 3}}وإدخال بعض المعاملات التعسفيةu،v،w{\displaystyle u,v,w}:

هـ(دبليو-1⊗دبليو-1)=uΨ⊗Ψ+vvهـج(Ψ)vهـج(Ψ)تي+wكصصΨ⊗Ψ.{\displaystyle \mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)=u\Psi \otimes \Psi +v\,\mathrm {vec} (\Psi )\,\mathrm {vec} (\Psi )^{T}+wK_{pp}\Psi \otimes \Psi .}

أينvهـج{\displaystyle \mathrm {vec} }يرمز إلى عامل تحويل المصفوفة إلى متجه. عندئذٍ تصبح مصفوفة العزم الثاني

هـ(دبليو-1⊗دبليو-1)=[u+v+w⋅⋅⋅v⋅⋅⋅v⋅u⋅w⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u⋅⋅⋅w⋅⋅⋅w⋅u⋅⋅⋅⋅⋅v⋅⋅⋅u+v+w⋅⋅⋅v⋅⋅⋅⋅⋅u⋅w⋅⋅⋅w⋅⋅⋅u⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅w⋅u⋅v⋅⋅⋅v⋅⋅⋅u+v+w]{\displaystyle \mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)={\begin{bmatrix}u+v+w&\cdot &\cdot &\cdot &v&\cdot &\cdot &\cdot &v\\\cdot &u&\cdot &w&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &u&\cdot &\cdot &\cdot &w&\cdot &\cdot \\\cdot &w&\cdot &u&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\v&\cdot &\cdot &\cdot &u+v+w&\cdot &\cdot &\cdot &v\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &u&\cdot &w&\cdot \\\cdot &\cdot &w&\cdot &\cdot &\cdot &u&\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &w&\cdot &u&\cdot \\v&\cdot &\cdot &\cdot &v&\cdot &\cdot &\cdot &u+v+w\\\end{bmatrix}}}

وهي لا تساوي الصفر إلا عند تضمين ارتباطات العناصر القطرية لـدبليو-1{\displaystyle W^{-1}}جميع العناصر الأخرى غير مترابطة فيما بينها، وإن لم تكن بالضرورة مستقلة إحصائيًا. وقد حصل كوك وآخرون [ 7 ] أيضًا على تباينات حاصل ضرب ويشارت في الحالة المفردة، وبالتبعية، في حالة الرتبة الكاملة.

يُبين مويرهيد [ 8 ] في النظرية 3.2.8 أنه إذاأص×ص{\displaystyle A^{p\times p}}يتم توزيعها على النحو التالي:دبليوص(ν،Σ){\displaystyle {\mathcal {W}}_{p}(\nu ,\Sigma )}وV{\displaystyle V}هو متجه عشوائي، مستقل عنأ{\displaystyle A}ثم VتيأV∼دبليو1(ν،أتيΣأ){\displaystyle V^{T}AV\sim {\mathcal {W}}_{1}(\nu ,A^{T}\Sigma A)}و VتيأVVتيΣV∼χν-12{\displaystyle {\frac {V^{T}AV}{V^{T}\Sigma V}}\sim \chi _{\nu -1}^{2}}حيث يتم التخلي عن درجة واحدة من درجات الحرية بتقدير متوسط ​​العينة في الحالة الأخيرة. وبالمثل، وجد بودنار وآخرون أيضًا أنVتيأ-1VVتيΣ-1V∼Inv-χν-ص+12{\displaystyle {\frac {V^{T}A^{-1}V}{V^{T}\Sigma ^{-1}V}}\sim {\text{Inv-}}\chi _{\nu -p+1}^{2}}والضبطV=(1،0،⋯،0)تي{\displaystyle V=(1,\,0,\cdots ,0)^{T}}وبالتالي فإن التوزيع الهامشي للعنصر القطري الرئيسي هو

[أ-1]1،1[Σ-1]1،1∼2-ك/2Γ(ك/2)x-ك/2-1هـ-1/(2x)،ك=ν-ص+1{\displaystyle {\frac {[A^{-1}]_{1,1}}{[\Sigma ^{-1}]_{1,1}}}\sim {\frac {2^{-k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{-k/2-1}e^{-1/(2x)},\;\;k=\nu -p+1}

وبالتدويرV{\displaystyle V}وينطبق نفس التأثير على جميع العناصر القطرية.[أ-1]أنا،أنا{\displaystyle [A^{-1}]_{i,i}}.

وقد أظهر برينان وريد [ 9 ] نتيجة مماثلة في حالة ويشارت المعقدة ، وحالة ويشارت المعقدة العكسية غير المرتبطة.دبليوج-1(أنا،ν،ص){\displaystyle {\mathcal {W_{C}}}^{-1}(\mathbf {I} ,\nu ,p)}وقد أظهر شامان [ 10 ] أن له بنية إحصائية قطرية حيث تكون العناصر القطرية الرئيسية مرتبطة، بينما تكون جميع العناصر الأخرى غير مرتبطة.

ص(x|α،β)=βαx-α-1خبرة⁡(-β/x)Γ1(α).{\displaystyle p(x\mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}
أي توزيع غاما المعكوس، حيثΓ1(⋅){\displaystyle \Gamma _{1}(\cdot )}هي دالة غاما العادية .
  • يُعد توزيع ويشارت العكسي حالة خاصة من توزيع جاما المصفوفي العكسي عندما يكون معامل الشكلα=ν2{\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}}}ومعامل المقياسβ=2{\displaystyle \beta =2}.
  • وقد أطلق على تعميم آخر اسم التوزيع العكسي المعمم لويشارت،جيدبليو-1{\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}}أ.ص×ص{\displaystyle p\times p}مصفوفة موجبة محددةX{\displaystyle \mathbf {X} }يقال إنه يتم توزيعه على النحو التاليجيدبليو-1(Ψ،ν،S){\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu ,\mathbf {S} )}لوY=X1/2S-1X1/2{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} ^{1/2}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {X} ^{1/2}}يتم توزيعها على النحو التالي:دبليو-1(Ψ،ν){\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}. هناX1/2{\displaystyle \mathbf {X} ^{1/2}}يرمز إلى الجذر التربيعي للمصفوفة المتناظرة لـX{\displaystyle \mathbf {X} }، المعاييرΨ،S{\displaystyle \mathbf {\Psi } ,\mathbf {S} }نكونص×ص{\displaystyle p\times p}المصفوفات الموجبة المحددة، والمعاملν{\displaystyle \nu }هو عدد قياسي موجب أكبر من2ص{\displaystyle 2p}لاحظ أنه عندماS{\displaystyle \mathbf {S} }يساوي مصفوفة الوحدة،جيدبليو-1(Ψ،ν،S)=دبليو-1(Ψ،ν){\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu ,\mathbf {S} )={\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}تم تطبيق توزيع ويشارت العكسي المعمم هذا لتقدير توزيعات العمليات الانحدارية الذاتية متعددة المتغيرات. [ 11 ]
  • وهناك نوع مختلف من التعميم وهو التوزيع الطبيعي العكسي لويشارت ، وهو في الأساس ناتج عن توزيع طبيعي متعدد المتغيرات مع توزيع ويشارت العكسي.
  • عندما تكون مصفوفة المقياس مصفوفة الوحدة،Ψ=أنا{\displaystyle {\mathcal {\Psi }}=\mathbf {I} }، وΦ{\displaystyle {\mathcal {\Phi }}}هي مصفوفة متعامدة اختيارية، استبدال X{\displaystyle \mathbf {X} } بواسطةΦXΦتي{\displaystyle {\Phi }\mathbf {X} {\mathcal {\Phi }}^{T}} لا يغير ذلك من ملف PDF الخاص بـX{\displaystyle \mathbf {X} }لذادبليو-1(أنا،ν،ص){\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {I} ,\nu ,p)}ينتمي إلى عائلة العمليات العشوائية الثابتة كرويًا (SIRPs) بمعنى ما.
وبالتالي، فإن متجه p عشوائيV{\displaystyle V}معل2{\displaystyle l_{2}}طولVتيV=1{\displaystyle V^{T}V=1}يمكن تدويرها إلى متجهΦV=[100⋯]تي{\displaystyle \mathbf {\Phi } V=[1\;0\;0\cdots ]^{T}} دون تغيير ملف PDF الخاص بـVتيXV{\displaystyle V^{T}\mathbf {X} V}، علاوة على ذلكΦ{\displaystyle \mathbf {\Phi } }يمكن أن تكون مصفوفة تبديل تُبدّل عناصر القطر الرئيسي. ويترتب على ذلك أن عناصر القطر الرئيسي لـX{\displaystyle \mathbf {X} }وهي موزعة توزيعًا عكسيًا متطابقًا لتوزيع مربع كاي، مع دالة كثافة احتماليةوx11{\displaystyle f_{x_{11}}}على الرغم من أنها غير مستقلة عن بعضها البعض في القسم السابق، إلا أن هذه النتيجة معروفة في إحصاءات المحفظة المثلى، كما في النظرية 2 والنتيجة 1 من بودنار وآخرون [ 12 ]، حيث تم التعبير عنها بالصيغة العكسية. VتيΨVVتيXV∼χν-ص+12{\displaystyle {\frac {V^{T}\mathbf {\Psi } V}{V^{T}\mathbf {X} V}}\sim \chi _{\nu -p+1}^{2}}.
  • كما هو الحال مع توزيع ويشارت، فإن التحويلات الخطية لهذا التوزيع تُنتج توزيع ويشارت معكوسًا معدلًا.Xص×ص∼دبليوص-1(Ψ،ν).{\displaystyle \mathbf {X^{p\times p}} \sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Psi } },\nu \right).}وΘص×ص{\displaystyle {\mathbf {\Theta } }^{p\times p}}إذا كانت مصفوفات كاملة الرتبة [ 13 ]ΘXΘتي∼دبليوص-1(ΘΨΘتي،ν).{\displaystyle \mathbf {\Theta } \mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Theta } }{\mathbf {\Psi } }{\mathbf {\Theta } }^{T},\nu \right).}
  • لوXص×ص∼دبليوص-1(Ψ،ν).{\displaystyle \mathbf {X^{p\times p}} \sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Psi } },\nu \right).}وΘم×ص{\displaystyle {\mathbf {\Theta } }^{m\times p}}يكون م×ص،م<ص{\displaystyle m\times p,\;\;m<p} من الرتبة الكاملةم{\displaystyle m} ثم [ 13 ]ΘXΘتي∼دبليوم-1(ΘΨΘتي،ν).{\displaystyle \mathbf {\Theta } \mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{m}^{-1}\left({\mathbf {\Theta } }{\mathbf {\Psi } }{\mathbf {\Theta } }^{T},\nu \right).}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أ. أوهيغان، وج. ج. فورستر (2004). نظرية كيندال المتقدمة في الإحصاء: الاستدلال البايزي . المجلد  2ب (  الطبعة الثانية). أرنولد. ISBN 978-0-340-80752-1.
  2. ↑ هاف، إل آر (1979). "هوية لتوزيع ويشارت مع تطبيقات". مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 9 (4): 531-544 . doi : 10.1016/0047-259x(79)90056-3 .
  3. ↑ جيلمان، أندرو؛ كارلين، جون ب.؛ ستيرن، هال س.؛ دونسون، ديفيد ب.؛ فيهتاري، آكي؛ روبين، دونالد ب. (2013-11-01). تحليل البيانات البايزي، الطبعة الثالثة . بوكا راتون: تشابمان آند هول/سي آر سي. ISBN  9781439840955.
  4. 1 2 كانتي ف. مارديا ، جيه تي كينت وجيه إم بيبي (1979). التحليل متعدد المتغيرات . دار النشر الأكاديمية . ISBN 978-0-12-471250-8.
  5. ↑ شاهروك أصفهاني، محمد؛ دوهرتي، إدوارد (2014). "دمج معرفة المسارات البيولوجية في بناء التوزيعات الاحتمالية المسبقة للتصنيف الأمثل باستخدام الإحصاء البايزي". مجلة IEEE /ACM للمعاملات في علم الأحياء الحاسوبي والمعلوماتية الحيوية . 11 (1): 202-218 . doi : 10.1109/tcbb.2013.143 . PMID 26355519. S2CID 10096507 .  
  6. ↑ روزن، ديتريش فون (1988). "عزوم توزيع ويشارت المعكوس". مجلة الإحصاء الإسكندنافية 15 : 97-109 .
  7. ↑ كوك، آر دي؛ فورزاني، ليليانا (أغسطس 2019). كوك ، برايان (محرر). "حول متوسط ​​وتباين المعكوس المعمم لمصفوفة ويشارت المفردة" . المجلة الإلكترونية للإحصاء . 5. doi : 10.4324/9780429344633 . ISBN 9780429344633. S2CID 146200569 . 
  8. ↑ مويرهيد، روب (1982). جوانب من نظرية الإحصاء متعدد المتغيرات . الولايات المتحدة الأمريكية: وايلي. ص 93. ISBN  0-471-76985-1.
  9. ↑ برينان، إل إي؛ ريد، آي إس (يناير 1982). "خوارزمية معالجة إشارات المصفوفة التكيفية للاتصالات". معاملات IEEE في أنظمة الفضاء والطيران والإلكترونيات . 18 (1): 120-130 . Bibcode : 1982ITAES..18..124B . doi : 10.1109/TAES.1982.309212 . S2CID 45721922 . 
  10. ↑ شامان، بول (1980). "توزيع ويشارت المركب المعكوس وتطبيقه على التقدير الطيفي" (ملف PDF) . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 10 : 51-59 . doi : 10.1016/0047-259X(80)90081-0 .
  11. ↑ تريانتافيلوبولوس، ك. (2011). "تقدير التغاير في الوقت الحقيقي لنموذج المستوى المحلي". مجلة تحليل السلاسل الزمنية . 32 (2): 93-107 . arXiv : 1311.0634 . doi : 10.1111/j.1467-9892.2010.00686.x . S2CID 88512953 . 
  12. ↑ بودنار، ت.؛ مازور، س.؛ بودغورسكي، ك. (يناير 2015). "توزيع ويشارت العكسي المفرد مع تطبيق على نظرية المحفظة" . قسم الإحصاء، جامعة لوند . (أوراق عمل في الإحصاء، العدد 2): 1-17 .
  13. 1 2 بودنار، ت؛ مازور، س؛ بودغورسكي، ك (2015). "توزيع ويشارت العكسي المفرد مع تطبيق على نظرية المحفظة" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 143 : 314-326 . doi : 10.1016/j.jmva.2015.09.021 .