التعرج (الرياضيات)

يتقاطع المنعطف الوحيد من الدرجة الأولى مع الخط مرتين:

يتقاطع هذا التعرج مع الخط أربع مرات، وبالتالي يكون من الرتبة 2:

يوجد مساران متعرجان من الدرجة الثانية. يؤدي قلب الصورة عموديًا إلى إنتاج المسار الآخر.

توجد ثمانية منعطفات غير متكافئة من الرتبة الثالثة، يتقاطع كل منها مع الخط ست مرات. إليك اثنان منها:

عدد التعرجات المتميزة من الرتبة n هو العدد المتعرجي M _n . ترد أدناه الأعداد المتعرجية الخمسة عشر الأولى (التسلسل A005315 في OEIS ) .

M ₁ = 1

م ₂ = 2

M ₃ = 8

م ₄ = 42

M ₅ = 262

M ₆ = 1828

M ₇ = 13820

M ₈ = 110954

M ₉ = 933458

M ₁₀ = 8152860

M ₁₁ = 73424650

M ₁₂ = 678390116

M ₁₃ = 6405031050

M ₁₄ = 61606881612

M ₁₅ = 602188541928

يتم تعريف التبديل الماندريكي من الرتبة n على المجموعة {1، 2، ...، 2n } ويتم تحديده على النحو التالي:

• مع توجيه الخط من اليسار إلى اليمين، يتم تسمية كل تقاطع من التعرج بشكل متتابع بالأعداد الصحيحة، بدءًا من 1.
• المنحنى موجه للأعلى عند نقطة التقاطع التي تحمل الرقم 1.
• The cyclic permutation with no fixed points is obtained by following the oriented curve through the labelled intersection points.

In the diagram on the right, the order 4 meandric permutation is given by (1 8 5 4 3 6 7 2). This is a permutation written in cyclic notation and not to be confused with one-line notation.

If π is a meandric permutation, then π² consists of two cycles, one containing all the even symbols and the other all the odd symbols. Permutations with this property are called alternate permutations, since the symbols in the original permutation alternate between odd and even integers. However, not all alternate permutations are meandric because it may not be possible to draw them without introducing a self-intersection in the curve. For example, the order 3 alternate permutation, (1 4 3 6 5 2), is not meandric.

The open meander of order 1 intersects the line once:

The open meander of order 2 intersects the line twice:

The number of distinct open meanders of order n is the open meandric numberm_n. The first fifteen open meandric numbers are given below (sequence A005316 in the OEIS).

m₁ = 1

m₂ = 1

m₃ = 2

m₄ = 3

m₅ = 8

m₆ = 14

m₇ = 42

m₈ = 81

m₉ = 262

m₁₀ = 538

m₁₁ = 1828

m₁₂ = 3926

m₁₃ = 13820

m₁₄ = 30694

m₁₅ = 110954

يتقاطع شبه التعرج من الدرجة 1 مع الشعاع مرة واحدة:

يتقاطع شبه التعرج من الدرجة الثانية مع الشعاع مرتين:

عدد التعرجات النصفية المتميزة من الرتبة n هو العدد شبه المتعرج M _n (ويُشار إليه عادةً بخط علوي بدلاً من خط سفلي). ترد أدناه الأعداد النصفية المتعرجة الخمسة عشر الأولى (التسلسل A000682 في OEIS ) .

M ₁ = 1

م ₂ = 1

M ₃ = 2

م ₄ = 4

M ₅ = 10

م ₆ = 24

م ₇ = 66

M ₈ = 174

M ₉ = 504

M ₁₀ = 1406

M ₁₁ = 4210

M ₁₂ = 12198

M ₁₃ = 37378

M ₁₄ = 111278

M ₁₅ = 346846