المستوى الإقليدي

في الرياضيات، يصف علم الهندسة التحليلية (أو الهندسة الديكارتية) كل نقطة في الفضاء ثنائي الأبعاد باستخدام إحداثيين. يُعطى محوران إحداثيان متعامدان يتقاطعان عند نقطة الأصل ، ويُرمز لهما عادةً بالرمزين x و y . بالنسبة لهذين المحورين، يُحدد موقع أي نقطة في الفضاء ثنائي الأبعاد بزوج مرتب من الأعداد الحقيقية، حيث يُمثل كل عدد المسافة بين تلك النقطة ونقطة الأصل على طول المحور المحدد، وهي المسافة نفسها بين تلك النقطة والمحور الآخر.

نظام إحداثيات آخر شائع الاستخدام هو نظام الإحداثيات القطبية ، الذي يحدد نقطة من حيث المسافة بينها وبين نقطة الأصل وزاويتها بالنسبة لشعاع مرجعي متجه نحو اليمين.

• 
  نظام الإحداثيات الديكارتية
• 
  نظام الإحداثيات القطبية

في بُعدين، يوجد عدد لا نهائي من المضلعات. فيما يلي عرض لبعض المضلعات المنتظمة الأولى:

محدب

رمز شلافلي${\displaystyle \{n\}}$يمثل مضلعًا منتظمًا ذو n ضلعًا .

اسم	المثلث ( ثنائي الأبعاد )	مربع ( مربع ثنائي ) ( مكعب ثنائي )	البنتاغون	مسدس	سباعي الأضلاع	مثمن
رمز شلافلي	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
صورة
اسم	نوناجون	العشاري	أحد عشر ضلعًا	اثنا عشر مضلعًا	ثلاثي عشر الأضلاع	رباعي عشر الأضلاع
شلافلي	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
صورة
اسم	خماسي عشري	سداسي عشري	سباعي عشري	ثماني عشري	إينيديكاتون	مضلع عشروني	... مضلع ذو n ضلع
شلافلي	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ ن }
صورة

متدهور (كروي)

يمكن اعتبار المضلع المنتظم أحادي الشكل (أو المضلع الخماسي) {1} والمضلع المنتظم ثنائي الشكل {2} مضلعات منتظمة متدهورة وتوجد بشكل غير متدهور في الفضاءات غير الإقليدية مثل الكرة ثنائية الأبعاد ، أو الطارة ثنائية الأبعاد ، أو الأسطوانة الدائرية القائمة .

اسم	مونوغون	ديجون
شلافلي	{1}	{2}
صورة

غير محدب

توجد أعداد لا نهائية من المضلعات المنتظمة غير المحدبة في بعدين، والتي تتكون رموز شلافلي الخاصة بها من أعداد نسبية {n/m}. وتسمى هذه المضلعات بالمضلعات النجمية وتشترك في نفس ترتيبات الرؤوس للمضلعات المنتظمة المحدبة.

بشكل عام، لأي عدد طبيعي n، توجد نجوم مضلعة منتظمة غير محدبة ذات n نقطة مع رموز Schläfli { n / m } لجميع m بحيث m < n /2 (بالمعنى الدقيق للكلمة { n / m } = { n /( n − m )}) و m و n أوليين فيما بينهما .

اسم	نجمة خماسية	الرسوم البيانية السباعية		ثمانية الأجرام	أنماط الشخصية التسعة		ديكاجرام	... الكلمات المكونة من حرف ن
شلافلي	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ n/m }
صورة

الكرة الفائقة في بعدين هي دائرة ، وتُسمى أحيانًا بالكرة أحادية البعد ( ^S1 ) لأنها متعددة الشعب أحادية البعد. في المستوى الإقليدي ، يبلغ طولها 2πr ومساحة باطنها هي

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

أين${\displaystyle r}$هو نصف القطر.

هناك عدد لا حصر له من الأشكال المنحنية الأخرى في بعدين، ولا سيما بما في ذلك القطوع المخروطية : القطع الناقص ، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد .

يُعرَّف حاصل الضرب النقطي لمتجهين A = [ A ₁ , A ₂ ] و B = [ B ₁ , B ₂ ] على النحو التالي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$

يمكن تمثيل المتجه بسهم. مقداره هو طوله، واتجاهه هو الاتجاه الذي يشير إليه السهم. يُرمز إلى مقدار المتجه A بالرمز λ.${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$. من وجهة النظر هذه، يتم تعريف الضرب النقطي لمتجهين إقليديين A و B بواسطة ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

حيث θ هي الزاوية بين A و B.

حاصل الضرب القياسي للمتجه A بمفرده هو

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

مما يعطي

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

صيغة الطول الإقليدي للمتجه.

في نظام الإحداثيات المستطيلة، يُعطى التدرج بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.}$

بالنسبة لحقل قياسي ما f  : U ⊆ R ² → R ، يُعرَّف التكامل الخطي على طول منحنى أملس جزئيًا C ⊂ U على النحو التالي:

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,}$

حيث r : [a, b] → C هي دالة تقابلية اختيارية للمنحنى C بحيث تعطي r ( a ) و r ( b ) نقطتي نهاية C و${\displaystyle a<b}$.

بالنسبة لحقل متجه F  : U ⊆ R² → R² ^، يُعرَّف التكامل الخطي على طول منحنى أملس جزئيًا C ⊂ U ، في اتجاه r ، على النحو التالي ^:

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

حيث · هو الضرب النقطي و r : [a, b] → C هو تمثيل تقابلي للمنحنى C بحيث r ( a ) و r ( b ) تعطي نقاط نهاية C.

يشير التكامل المزدوج إلى التكامل داخل منطقة D في R² ^لدالة ما${\displaystyle f(x,y),}$وعادة ما تُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

تنص النظرية الأساسية للتكاملات الخطية على أنه يمكن تقييم التكامل الخطي عبر حقل التدرج عن طريق تقييم الحقل القياسي الأصلي عند نقاط نهاية المنحنى.

يترك${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$. ثم

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,}$

حيث p و q هما نقطتا نهاية المنحنى γ.

ليكن C منحنى مغلقًا بسيطًا موجب الاتجاه ، أملسًا جزئيًا ، في مستوى ، ولتكن D المنطقة المحصورة بـ C. إذا كانت L و M دالتين لـ ( x , y ) معرفتين على منطقة مفتوحة تحتوي على D ولهما مشتقات جزئية متصلة هناك، فإن ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

حيث يكون مسار التكامل على طول C عكس اتجاه عقارب الساعة .

• بورتون، ديفيد م. (2011)، تاريخ الرياضيات / مقدمة (  الطبعة السابعة)، ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-338315-6