تقاطع

في الرياضيات ، يُعرَّف تقاطع عنصرين أو أكثر بأنه عنصر آخر يتألف من كل ما يحتويه كل عنصر من العناصر الموجودة في جميع العناصر الأخرى في آن واحد. على سبيل المثال، في الهندسة الإقليدية ، عندما لا يكون خطان في مستوى واحد متوازيين، فإن نقطة تقاطعهما هي النقطة التي يلتقيان عندها. وبشكل أعم، في نظرية المجموعات ، يُعرَّف تقاطع المجموعات بأنه مجموعة العناصر التي تنتمي إلى جميعها.

يمكن النظر إلى التقاطعات إما بشكل جماعي أو فردي، انظر التقاطع (الهندسة) كمثال على الحالة الأخيرة. يوضح التعريف المذكور أعلاه النظرة الجماعية، حيث ينتج عن عملية التقاطع دائمًا مجموعة محددة جيدًا وفريدة، وإن كانت قد تكون فارغة، من الكائنات الرياضية. في المقابل، تركز النظرة الفردية على العناصر المنفصلة لهذه المجموعة. وبناءً على هذه النظرة، لا يشترط أن تكون التقاطعات فريدة، كما يتضح من نقطتي التقاطع بين دائرة وخط في الصورة. وبالمثل، لا يشترط وجود التقاطعات (الفردية) كما هو الحال بين خطين متوازيين ولكنهما مختلفان في الهندسة الإقليدية .

التقاطع أحد المفاهيم الأساسية في الهندسة . يمكن أن يتخذ التقاطع أشكالًا هندسية متنوعة ، لكن النقطة هي الشكل الأكثر شيوعًا في الهندسة المستوية . تُعرّف هندسة الوقوع التقاطع (عادةً بين الأسطح المستوية ) بأنه جسم ذو بُعد أقل يقع على كل من الأجسام الأصلية. في هذا النهج، قد يكون التقاطع غير مُعرّف أحيانًا، كما هو الحال مع الخطوط المتوازية . في كلتا الحالتين، يعتمد مفهوم التقاطع على الاقتران المنطقي . تُعرّف الهندسة الجبرية التقاطعات بطريقتها الخاصة من خلال نظرية التقاطع .

تقاطع مجموعتين A و B هو مجموعة العناصر الموجودة في كل من A و B. بصورة رسمية،

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}}$[ ^{1 ]​}

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle A=\{1,3,5,7\}}$و${\displaystyle B=\{1,2,4,6\}}$، ثم${\displaystyle A\cap B=\{1\}}$. مثال أكثر تفصيلاً (يتضمن مجموعات غير منتهية) هو:

${\displaystyle A=\{x:{\text{ x عدد زوجي}}\}}$

${\displaystyle B=\{x:{\text{ x عدد صحيح يقبل القسمة على 3}}\}}$${\displaystyle {\text{ , then}}}$

${\displaystyle A\cap B=\{6,12,18,\dots \}}$

كمثال آخر، فإن العدد 5 لا يقع ضمن تقاطع مجموعة الأعداد الأولية {2، 3، 5، 7، 11،  ...} ومجموعة الأعداد الزوجية {2، 4، 6، 8، 10،  ...} ، لأنه على الرغم من أن 5 عدد أولي، إلا أنه ليس عددًا زوجيًا.

يمكن أن تحتوي المجموعات على تقاطع فارغ. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle A=\{Amy,\,Aaron,\,Arjun\}}$و${\displaystyle B=\{Barack,\,Bas,\,Betty\}}$، ثم${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$. تسمى هذه المجموعات بالمجموعات المنفصلة ويمكن القول بشكل عام أنها لا تحتوي على تقاطع.

يُشار إلى التقاطع بالرمز U+2229 ∩ INTERSECTION من عوامل التشغيل الرياضية في Unicode .

استُخدم الرمز U+2229 ∩ INTERSECTION لأول مرة من قِبل هيرمان غراسمان في كتابه Die Ausdehnungslehre عام 1844 كرمز عام للعمليات، وليس كرمز مُخصص للتقاطع. ومن ثم، استخدمه جوزيبي بيانو (1858-1932) للتقاطع، في عام 1888 في كتابه Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

كما ابتكر بيانو الرموز الكبيرة للتقاطع العام والاتحاد لأكثر من فئتين في كتابه Formulario mathematico الصادر عام 1908. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• الهندسة الصلبة البنائية ، التقاطع البولياني هو أحد طرق دمج الأشكال ثنائية وثلاثية الأبعاد
• نموذج تقاطع ذو أبعاد موسعة 9
• التقاء (نظرية الشبكة)
• التقاطع (نظرية المجموعات)
• الاتحاد (نظرية المجموعات)

• وايسشتاين، إريك دبليو. "التقاطع" . عالم الرياضيات .