عدم استقرار أوستروغرادسكي

في الرياضيات التطبيقية ، يُعدّ عدم استقرار أوستروغرادسكي سمةً لبعض حلول النظريات التي تحتوي معادلات حركتها على أكثر من مشتقتين زمنيتين (نظريات المشتقات العليا). وقد أشارت إليه نظرية ميخائيل أوستروغرادسكي في الميكانيكا الكلاسيكية ، والتي تنص على أن لاغرانجيان غير متدهور يعتمد على مشتقات زمنية أعلى من الأولى يُقابل هاميلتونيان غير محدود من الأسفل . وكما هو معتاد، يرتبط الهاميلتونيان باللاغرانجيان عبر تحويل ليجندر . وقد طُرح عدم استقرار أوستروغرادسكي كتفسير لعدم ظهور أي معادلات تفاضلية من رتبة أعلى من الثانية لوصف الظواهر الفيزيائية. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، لا تعني نظرية أوستروغرادسكي أن جميع حلول نظريات المشتقات العليا غير مستقرة، إذ توجد العديد من الأمثلة المضادة. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

المصدر: ^{[ 11 ]}

يمكن توضيح النقاط الرئيسية للبرهان بشكل أفضل من خلال النظر في نظام أحادي البعد ذي لاغرانجيان.${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})}$معادلة أويلر -لاغرانج هي

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}=0.}$

عدم انحطاط${\displaystyle L}$وهذا يعني أنه يمكن التعبير عن الإحداثيات الأساسية بدلالة مشتقات${\displaystyle {q}}$والعكس صحيح. وهكذا،${\displaystyle \partial L/\partial {\ddot {q}}}$هي وظيفة من${\displaystyle {\ddot {q}}}$(وإلا، فإن اليعقوبي${\displaystyle \det[\partial ^{2}L/(\partial {{\ddot {q}}_{i}}\,\partial {\ddot {q}}_{j})]}$سوف يختفي، مما يعني أن${\displaystyle L}$(منحط)، مما يعني أنه يمكننا كتابة${\displaystyle q^{(4)}=F(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},q^{(3)})}$أو، بعكس ذلك،${\displaystyle q=G(t,q_{0},{\dot {q}}_{0},{\ddot {q}}_{0},q_{0}^{(3)})}$منذ تطور${\displaystyle q}$يعتمد ذلك على أربعة معايير أولية، وهذا يعني وجود أربعة إحداثيات أساسية. يمكننا كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle Q_{1}:=q}$

${\displaystyle Q_{2}:={\dot {q}}}$

وباستخدام تعريف الزخم المترافق،

${\displaystyle P_{1}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}} - {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

${\displaystyle P_{2}:={\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

يمكن الحصول على النتائج المذكورة أعلاه كما يلي. أولاً، نعيد كتابة دالة لاغرانج في شكلها "العادي" عن طريق إدخال مُضاعِف لاغرانج كمتغير ديناميكي جديد.${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\to {\tilde {L}}=L(Q_{1},{\dot {Q_{1}}},{\dot {Q_{2}}})-\lambda (Q_{2}-{\dot {Q_{1}}})}$،

ومنها، معادلات أويلر-لاغرانج لـ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\lambda }$يقرأ

${\displaystyle Q_{1}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+{\dot {\lambda }}-{\frac {\partial L}{\partial Q_{1}}}=0}$،

${\displaystyle Q_{2}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}+{\lambda }=0}$،

${\displaystyle \lambda :Q_{2}-{\dot {Q_{1}}}=0}$،

الآن، الزخم المتعارف عليه${\displaystyle P_{1},P_{2}}$بالنسبة إلى${\displaystyle {\tilde {L}}}$ويمكن إثبات ذلك بسهولة

${\displaystyle P_{1}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+\lambda ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

${\displaystyle P_{2}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}={\frac {\partial {L}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

بينما

${\displaystyle P_{\lambda }=0}$

هذه هي تحديدًا التعريفات التي قدمها أوستروغرادسكي أعلاه. ويمكن للمرء المضي قدمًا لتقييم الهاميلتوني.

${\displaystyle {\tilde {H}}=P_{1}{\dot {Q_{1}}}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-{\tilde {L}}=P_{1}Q_{2}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}-{L}}$،

حيث يتم استخدام معادلات أويلر-لاغرانج المذكورة أعلاه للمساواة الثانية. نلاحظ أنه نظرًا لعدم الانحلال، يمكننا كتابة${\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {Q_{2}}}}$مثل${\displaystyle a(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$. Here, only three arguments are needed since the Lagrangian itself only has three free parameters. Therefore, the last expression only depends on ${\displaystyle P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}}$, it effectively serves as the Hamiltonian of the original theory, namely,

${\displaystyle H=P_{1}Q_{2}+P_{2}a(Q_{1},Q_{2},P_{2})-L(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$.

We now notice that the Hamiltonian is linear in ${\displaystyle P_{1}}$ and hence unbounded from below. This is a source of the Ostrogradsky instability, and it stems from the fact that the Lagrangian depends on fewer coordinates than there are canonical coordinates (which correspond to the initial parameters needed to specify the problem). The extension to higher dimensional systems is analogous, and the extension to higher derivatives simply means that the phase space is of even higher dimension than the configuration space.