معادلات الحركة

في الفيزياء ، تُعرَّف معادلات الحركة بأنها المعادلات التي تصف سلوك نظام فيزيائي بدلالة حركته كدالة للزمن . ^{[ 1 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، تصف معادلات الحركة سلوك النظام الفيزيائي كمجموعة من الدوال الرياضية بدلالة المتغيرات الديناميكية. عادةً ما تكون هذه المتغيرات إحداثيات مكانية وزمنية، ولكنها قد تشمل مركبات الزخم . يُعدّ الخيار الأكثر عمومية هو الإحداثيات المعممة ، والتي يمكن أن تكون أي متغيرات ملائمة تميز النظام الفيزيائي. ^{[ 2 ]} تُعرَّف هذه الدوال في الفضاء الإقليدي في الميكانيكا الكلاسيكية ، ولكنها تُستبدل بالفضاءات المنحنية في النسبية . إذا كانت ديناميكيات النظام معروفة، فإن المعادلات تمثل حلولًا للمعادلات التفاضلية التي تصف حركة هذه الديناميكيات.

الأنواع

يوجد وصفان رئيسيان للحركة: الديناميكا والحركة . الديناميكا وصف عام، إذ يأخذ في الحسبان كمية الحركة والقوى والطاقة للجسيمات . في هذه الحالة، يشير مصطلح الديناميكا أحيانًا إلى المعادلات التفاضلية التي يخضع لها النظام (مثل قانون نيوتن الثاني أو معادلات أويلر-لاغرانج )، وأحيانًا أخرى إلى حلول تلك المعادلات.

مع ذلك، فإن علم الحركة أبسط. فهو لا يهتم إلا بالمتغيرات المشتقة من مواقع الأجسام والزمن. في حالة التسارع الثابت، تُعرف معادلات الحركة الأبسط هذه عادةً بمعادلات SUVAT ، وهي مشتقة من تعريفات الكميات الحركية : الإزاحة ( $s$ )، والسرعة الابتدائية ( $u$ )، والسرعة النهائية ( $v$ )، والتسارع ( $a$ )، والزمن ( $t$ ).

تُستخدم معادلة تفاضلية للحركة، تُعرف عادةً بقانون فيزيائي (مثلاً، ق = ك × ت)، وتطبيق تعريفات الكميات الفيزيائية ، لصياغة معادلة لحل مسألة حركية. يؤدي حل المعادلة التفاضلية إلى حل عام بثوابت اختيارية، حيث يُمثل هذا الاختيار مجموعة من الحلول. ويمكن الحصول على حل خاص بتحديد القيم الابتدائية ، مما يُحدد قيم الثوابت.

بصورة رسمية، وبشكل عام، فإن معادلة الحركة $M$ هي دالة لموضع الجسم $r$ ، وسرعته ( المشتقة الأولى لـ $r$ بالنسبة للزمن ، $v = ⁠ dr / dt ⁠$ )، وتسارعه ( المشتقة الثانية لـ $r$ ، $a = ⁠ d 2$ $r$ $/$ $dt$ $2$ $⁠$ )، والزمن $t$ . وتُشار إلى المتجهات الإقليدية في الفضاء ثلاثي الأبعاد بخط غامق. وهذا يُكافئ القول بأن معادلة الحركة في $r$ هي معادلة تفاضلية عادية $من$ الدرجة الثانية في $r$ .

$M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0\,,$

حيث $t$ هو الزمن، وكل نقطة فوقية تشير إلى مشتقة زمنية واحدة . تُعطى الشروط الابتدائية بالقيم الثابتة عند $t = 0$ .

$\mathbf {r} (0)\,,\quad \mathbf {\dot {r}} (0)\,.$

يصف الحل $r (t)$ لمعادلة الحركة، بقيم ابتدائية محددة، النظام لجميع الأزمنة $t$ بعد $t = 0.$ يمكن استخدام متغيرات ديناميكية أخرى مثل زخم الجسم $p ، أو كميات مشتقة من$ $r$ و $p$ مثل الزخم الزاوي ، بدلاً من $r$ ككمية يتم حسابها من معادلة الحركة، على الرغم من أن موضع الجسم عند الزمن $t$ هو الكمية الأكثر طلباً.

أحيانًا، تكون المعادلة خطية ، ومن المرجح أن تكون قابلة للحل بدقة. عمومًا، تكون المعادلة غير خطية ، ولا يمكن حلها بدقة، لذا يجب استخدام مجموعة متنوعة من التقريبات. قد تُظهر حلول المعادلات غير الخطية سلوكًا فوضويًا اعتمادًا على مدى حساسية النظام للشروط الابتدائية.

تاريخ

تطورت علوم الحركة والديناميكا والنماذج الرياضية للكون تدريجيًا على مدى ثلاثة آلاف عام، بفضل جهود العديد من المفكرين، الذين لا نعرف منهم إلا القليل. في العصور القديمة، تنبأ الكهنة والمنجمون وعلماء الفلك بخسوف الشمس وخسوف القمر ، والانقلابين الشمسيين والاعتدالين ، ودورة القمر . لكن لم يكن لديهم سوى مجموعة من الخوارزميات للاسترشاد بها. ولم تُدوّن معادلات الحركة إلا بعد ألف عام.

استعان علماء العصور الوسطى في القرن الثالث عشر - على سبيل المثال في الجامعات الجديدة نسبياً في أكسفورد وباريس - بعلماء الرياضيات القدماء (إقليدس وأرخميدس) والفلاسفة (أرسطو) لتطوير مجموعة جديدة من المعارف، تسمى الآن الفيزياء.

في أكسفورد، احتضنت كلية ميرتون نخبة من العلماء المتخصصين في العلوم الطبيعية، ولا سيما الفيزياء والفلك والرياضيات، والذين كانوا على نفس القدر من المكانة الفكرية لنظرائهم في جامعة باريس. قام توماس برادوردين بتوسيع نطاق الكميات الأرسطية كالمسافة والسرعة، ونسب إليها الشدة والامتداد. واقترح برادوردين قانونًا أُسّيًا يشمل القوة والمقاومة والمسافة والسرعة والزمن. ثم قام نيكولاس أورسم بتطوير حجج برادوردين. وأثبتت مدرسة ميرتون أن كمية حركة جسم يتحرك بتسارع منتظم تساوي كمية حركته المنتظمة عند السرعة التي يبلغها في منتصف مدة التسارع.

بالنسبة لدارسي علم الحركة قبل غاليليو ، ونظرًا لعدم إمكانية قياس الفترات الزمنية القصيرة، كانت العلاقة بين الزمن والحركة غامضة. فقد استخدموا الزمن كدالة للمسافة، وفي السقوط الحر، كانت السرعة الأكبر ناتجة عن الارتفاع الأكبر. وحده دومينغو دي سوتو ، اللاهوتي الإسباني، في تعليقه على كتاب أرسطو " الطبيعة " المنشور عام 1545، وبعد تعريفه للحركة "المنتظمة" (وهي حركة متسارعة بانتظام) - دون استخدام مصطلح السرعة - بأنها تتناسب مع الزمن، أعلن بشكل صحيح أن هذا النوع من الحركة يمكن تحديده بالأجسام والمقذوفات الساقطة سقوطًا حرًا، دون أن يثبت هذه الافتراضات أو يقترح صيغة تربط بين الزمن والسرعة والمسافة. وتُعد تعليقات دي سوتو دقيقة بشكل ملحوظ فيما يتعلق بتعريفات التسارع (حيث كان التسارع معدل تغير الحركة (السرعة) مع الزمن) وملاحظة أن التسارع يكون سالبًا أثناء الصعود.

$انتشرت مثل هذه الخطابات في جميع أنحاء$ $أوروبا ،$ وشكّلت أعمال غاليليو غاليلي وغيره $،$ وساعدت في وضع أسس علم الحركة. ^{[ 3 ]} استنتج غاليليو المعادلة $s = 1/2 gt 2$ في عمله هندسيًا، $[$ ^{4 ]} باستخدام قاعدة ميرتون ^، المعروفة الآن بأنها حالة خاصة من إحدى معادلات علم الحركة.

كان غاليليو أول من أثبت أن مسار المقذوف هو قطع مكافئ . كان لديه فهمٌ لقوة الطرد المركزي ، وقدّم تعريفًا دقيقًا للزخم . هذا التركيز على الزخم ككمية أساسية في الديناميكا له أهمية بالغة. قاس غاليليو الزخم بضرب السرعة في الوزن؛ أما الكتلة فهي مفهوم لاحق، طوّره هيغنز ونيوتن. في تأرجح البندول البسيط، يقول غاليليو في كتابه " محاورات " ^{[ 5 ]} : "كل زخم مكتسب في الهبوط على طول قوس يساوي الزخم الذي يجعل الجسم المتحرك نفسه يصعد عبر القوس نفسه". يشير تحليله للمقذوفات إلى أن غاليليو قد استوعب القانونين الأول والثاني للديناميكا الحرارية. لم يعممهما ويجعلهما قابلين للتطبيق على الأجسام غير الخاضعة لجاذبية الأرض، بل كانت هذه الخطوة إسهام نيوتن.

استخدم كيبلر مصطلح "القصور الذاتي" الذي طبقه على الأجسام الساكنة. (يُطلق على قانون نيوتن الأول للحركة الآن غالبًا اسم قانون القصور الذاتي).

لم يُدرك غاليليو تمامًا قانون الحركة الثالث، قانون تساوي الفعل ورد الفعل، رغم أنه صحّح بعض أخطاء أرسطو. كما شارك غاليليو مع ستيفن وآخرين في كتابة علم السكون. وقد صاغ مبدأ متوازي الأضلاع للقوى، لكنه لم يُدرك نطاقه بالكامل.

كان غاليليو مهتمًا أيضًا بقوانين البندول، وقد لاحظها لأول مرة في شبابه. ففي عام 1583، بينما كان يصلي في كاتدرائية بيزا، لفت انتباهه حركة المصباح الكبير المضاء والمتأرجح، والذي كان يقيس الوقت بناءً على نبضه. وبدا له أن الفترة الزمنية ثابتة حتى بعد أن خفت الحركة بشكل كبير، فاكتشف بذلك خاصية التزامن في البندول.

أظهرت تجارب أكثر دقة أجراها لاحقاً، ووصفها في كتابه "الخطابات"، أن فترة التذبذب تتغير مع الجذر التربيعي للطول ولكنها مستقلة عن كتلة البندول.

وهكذا نصل إلى رينيه ديكارت ، وإسحاق نيوتن ، وجوتفريد لايبنيتز ، وآخرين؛ والأشكال المتطورة لمعادلات الحركة التي بدأت تُعرف بأنها المعادلات الحديثة.

لاحقًا، ظهرت معادلات الحركة أيضًا في الديناميكا الكهربائية ، عند وصف حركة الجسيمات المشحونة في المجالات الكهربائية والمغناطيسية. تُعدّ قوة لورنتز المعادلة العامة التي تُعرّف المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي . مع ظهور النسبية الخاصة والنسبية العامة ، أدت التعديلات النظرية على الزمكان إلى تعديل معادلات الحركة الكلاسيكية أيضًا لمراعاة السرعة المحدودة للضوء وانحناء الزمكان . في جميع هذه الحالات، كانت المعادلات التفاضلية تُصاغ بدلالة دالة تصف مسار الجسيم بدلالة إحداثيات المكان والزمان، متأثرًا بالقوى أو تحولات الطاقة. ^{[ 6 ]}

مع ذلك، يمكن اعتبار معادلات ميكانيكا الكم "معادلات حركة"، لأنها معادلات تفاضلية للدالة الموجية ، التي تصف سلوك الحالة الكمومية بشكل مماثل باستخدام إحداثيات المكان والزمان للجسيمات. توجد نظائر لمعادلات الحركة في مجالات أخرى من الفيزياء، لمجموعات من الظواهر الفيزيائية التي يمكن اعتبارها موجات أو سوائل أو حقولًا.

المعادلات الحركية لجسيم واحد

الكميات الحركية

انطلاقاً من الموضع اللحظي $r = r (t)$ ، بمعنى لحظي عند قيمة زمنية $t$ ، فإن السرعة اللحظية $v = v (t)$ والتسارع $a = a (t)$ لهما تعريفات عامة مستقلة عن الإحداثيات؛ ^{[ 7 ]}

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

لاحظ أن السرعة تشير دائمًا إلى اتجاه الحركة، أي أنها في المسار المنحني تمثل متجه المماس . وبشكل عام، ترتبط المشتقات من الرتبة الأولى بمماسات المنحنيات. أما في الحركة بسرعة ثابتة، فيتجه التسارع نحو مركز انحناء المسار . وبالمثل، ترتبط المشتقات من الرتبة الثانية بالانحناء.

النظائر الدورانية هي "المتجه الزاوي" (الزاوية التي يدور بها الجسيم حول محور ما) $θ = θ (t)$ ، والسرعة الزاوية $ω = ω (t)$ ، والتسارع الزاوي $α = α (t)$ :

${\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,$

حيث $n̂$ هو متجه وحدة في اتجاه محور الدوران، و $θ$ هي الزاوية التي يدور بها الجسم حول المحور.

العلاقة التالية تنطبق على جسيم نقطي يدور حول محور ما بسرعة زاوية $ω$ : ^{[ 8 ]}

$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

حيث يمثل $r$ متجه موضع الجسيم (شعاعيًا من محور الدوران)، و $v$ السرعة المماسية للجسيم. بالنسبة لجسم صلب متصل دوار ، تنطبق هذه العلاقات على كل نقطة في الجسم الصلب.

تسارع منتظم

إن معادلة الحركة التفاضلية لجسيم يتحرك بتسارع ثابت أو منتظم في خط مستقيم بسيطة: التسارع ثابت، وبالتالي فإن المشتقة الثانية لموضع الجسم ثابتة. وفيما يلي ملخص لنتائج هذه الحالة.

تسارع انتقالي ثابت في خط مستقيم

تنطبق هذه المعادلات على جسيم يتحرك خطيًا في ثلاثة أبعاد في خط مستقيم بتسارع ثابت . ^{[ 9 ]} بما أن الموضع والسرعة والتسارع متوازية (تقع على نفس الخط) - فإن مقادير هذه المتجهات فقط هي المطلوبة، ولأن الحركة تتم على طول خط مستقيم، فإن المسألة تختزل فعليًا من ثلاثة أبعاد إلى بُعد واحد.

${\begin{aligned}v&=v_{0}+at&[1]\\r&=r_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[2]\\r&=r_{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(v+v_{0}\right)t&[3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\r&=r_{0}+vt-{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$

أين:

$r 0$ هو الموضع الابتدائي للجسيم
$يمثل r$ الموضع النهائي للجسيم
$v 0$ هي السرعة الابتدائية للجسيم
$v$ هي السرعة النهائية للجسيم
$a$ هو تسارع الجسيم
$t$ هي الفترة الزمنية

الاشتقاق

المعادلتان [ 1] و $[$ 2] ناتجتان عن تكامل تعريفات السرعة والتسارع، ^{[ 9 ]} مع مراعاة الشروط الأولية $r (t0) = r0$ و $v (t0) = v0 ؛$

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\int \mathbf {a} dt=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}\,,&[1]\\\mathbf {r} &=\int (\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0})dt={\frac {\mathbf {a} t^{2}}{2}}+\mathbf {v} _{0}t+\mathbf {r} _{0}\,,&[2]\\\end{aligned}}$

بالمقادير،

${\begin{aligned}v&=at+v_{0}\,,&[1]\\r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+v_{0}t+r_{0}\,.&[2]\\\end{aligned}}$

تتضمن المعادلة [3] متوسط السرعة $v$ $+$ $v₀$ $/$ $2$ $.$ وبشكل بديهي، تزداد السرعة خطيًا، لذا فإن متوسط السرعة مضروبًا في الزمن هو المسافة المقطوعة أثناء زيادة السرعة من $v₀$ $إلى$ v $، كما يمكن توضيح$ $ذلك$ $بيانيًا برسم السرعة مقابل الزمن$ كخط مستقيم. جبريًا، ينتج ذلك من حل المعادلة [1] لـ

$\mathbf {a} ={\frac {(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})}{t}}$

والتعويض في [2]

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})\,,$

ثم تبسيطها للحصول على

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0})$

أو بالمقادير

$r=r_{0}+\left({\frac {v+v_{0}}{2}}\right)t\quad [3]$

من [3]،

$t=\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)$

بالتعويض عن $t$ في [1]:

${\begin{aligned}v&=a\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)+v_{0}\\v\left(v+v_{0}\right)&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}\left(v+v_{0}\right)\\v^{2}+vv_{0}&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}v+v_{0}^{2}\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\\end{aligned}}$

من [3]،

$2\left(r-r_{0}\right)-vt=v_{0}t$

بالتعويض في [2]:

${\begin{aligned}r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+2r-2r_{0}-vt+r_{0}\\0&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+r-r_{0}-vt\\r&=r_{0}+vt-{\frac {{a}t^{2}}{2}}&[5]\end{aligned}}$

عادةً ما تكون الأربعة الأولى فقط مطلوبة، أما الخامس فهو اختياري.

هنا ، يُمثل $a$ التسارع الثابت ، أو في حالة الأجسام المتحركة تحت تأثير الجاذبية ، يُستخدم تسارع الجاذبية القياسي $g$ . لاحظ أن كل معادلة تحتوي على أربعة من المتغيرات الخمسة، لذا في هذه الحالة، يكفي معرفة ثلاثة من المتغيرات الخمسة لحساب المتغيرين المتبقيين.

في بعض البرامج، مثل برنامج الفيزياء IGCSE وبرنامج الفيزياء IB DP (برامج دولية، لكنها شائعة بشكل خاص في المملكة المتحدة وأوروبا)، تُكتب الصيغ نفسها بمجموعة مختلفة من المتغيرات المفضلة. حيث يحل $u محل$ $v₀$ $،$ و $s$ محل $r$ $-$ $r₀$ $.$ ويُشار إليها غالبًا بمعادلات SUVAT ، حيث "SUVAT" اختصار للمتغيرات : $s$ = الإزاحة، $u$ = السرعة الابتدائية، $v$ = السرعة النهائية، $a$ = التسارع، $t$ = الزمن. ^[¹⁰^]^[¹¹^] وباستخدام هذه المتغيرات، تُكتب معادلات الحركة.

${\begin{aligned}v&=u+at&[1]\\s&=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[2]\\s&={\tfrac {1}{2}}(u+v)t&[3]\\v^{2}&=u^{2}+2as&[4]\\s&=vt-{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[5]\\\end{aligned}}$

تسارع خطي ثابت في أي اتجاه

لا يشترط أن تكون متجهات الموضع الابتدائي والسرعة الابتدائية والتسارع على استقامة واحدة، وتتخذ معادلات الحركة شكلاً متطابقاً تقريباً. والفرق الوحيد هو أن مربعات السرعات تتطلب الضرب القياسي . أما الاشتقاقات فهي نفسها تقريباً كما في حالة الاستقامة.

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}&[1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t&[3]\\\mathbf {v} ^{2}&=\mathbf {v} _{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)&[4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$ على الرغم من أنه يمكن اشتقاق معادلة توريتشيلي [4] باستخدام خاصية التوزيع للضرب النقطي على النحو التالي: $v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}$ $(2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}$ $\therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))$

التطبيقات

تتضمن الأمثلة الأساسية والشائعة في علم الحركة المقذوفات ، ككرة تُقذف لأعلى في الهواء. بمعرفة السرعة الابتدائية $u$ ، يمكن حساب أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة قبل أن تبدأ بالسقوط. التسارع هو تسارع الجاذبية الأرضية $g$ . على الرغم من أن هذه الكميات تبدو قياسية ، إلا أن اتجاه الإزاحة والسرعة والتسارع مهم. في الواقع، يمكن اعتبارها متجهات أحادية الاتجاه. باختيار $s$ لقياس الارتفاع من الأرض، يكون التسارع $a في الواقع$ $-g$ ، لأن قوة الجاذبية تؤثر لأسفل، وبالتالي يكون التسارع المؤثر على الكرة ناتجًا عنها أيضًا.

عند أعلى نقطة، ستكون الكرة في حالة سكون: وبالتالي فإن $v = 0.$ باستخدام المعادلة [4] في المجموعة أعلاه، نحصل على:

$s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}.$

استبدال وإلغاء علامات الطرح يعطي:

$s={\frac {u^{2}}{2g}}.$

تسارع دائري ثابت

يمكن كتابة المعادلات المماثلة للمعادلات المذكورة أعلاه للدوران . ومرة أخرى، يجب أن تكون جميع هذه المتجهات المحورية موازية لمحور الدوران، لذا فإن مقادير المتجهات فقط هي المطلوبة.

${\begin{aligned}\omega &=\omega _{0}+\alpha t\\\theta &=\theta _{0}+\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\theta &=\theta _{0}+{\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t\\\omega ^{2}&=\omega _{0}^{2}+2\alpha (\theta -\theta _{0})\\\theta &=\theta _{0}+\omega t-{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\end{aligned}}$

حيث $α$ هو التسارع الزاوي الثابت ، $وω$ هي السرعة الزاوية ، $وω 0$ هي السرعة الزاوية الأولية، $وθ$ هي الزاوية التي تم الدوران بها ( الإزاحة الزاوية )، $وθ 0$ هي الزاوية الأولية، و $t$ هو الوقت المستغرق للدوران من الحالة الأولية إلى الحالة النهائية.

الحركة المستوية العامة

متجه الموضع

r

يشير دائمًا بشكل شعاعي من نقطة الأصل.

متجه السرعة

v

، وهو دائماً مماس لمسار الحركة.

متجه التسارع

a

، ليس موازياً للحركة الشعاعية ولكنه منحرف بفعل التسارع الزاوي وتسارع كوريوليس، وليس مماساً للمسار ولكنه منحرف بفعل التسارع المركزي والشعاعي.

المتجهات الحركية في الإحداثيات القطبية المستوية. لاحظ أن الإعداد لا يقتصر على الفضاء ثنائي الأبعاد، بل يشمل أي مستوى في أي بُعد أعلى.

هذه هي المعادلات الحركية لجسيم يتحرك في مسار مستوٍ، موصوفًا بالموضع $r = r (t)$ . ^{[ 12 ]} وهي ببساطة المشتقات الزمنية لمتجه الموضع في الإحداثيات القطبية المستوية ، باستخدام تعريفات الكميات الفيزيائية المذكورة أعلاه للسرعة الزاوية $ω$ والتسارع الزاوي $α$ . هذه كميات لحظية تتغير مع الزمن.

موضع الجسيم هو

$\mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}$

حيث يمثل $ê r$ و $ê θ$ متجهي الوحدة القطبيين . وبمفاضلة هذه المعادلة بالنسبة للزمن، نحصل على السرعة.

$\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

بمركبة شعاعية $dr$ $/$ $dt$ ومركبة إضافية $rω$ ناتجة عن الدوران. وبمفاضلة المعادلة بالنسبة للزمن مرة أخرى نحصل $على$ $التسارع$

$\mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

والذي ينقسم إلى التسارع الشعاعي $⁠$ $d$ $2$ $r$ $/$ $dt$ $2$ $⁠$ ، والتسارع المركزي $-$ $rω$ $2$ ، وتسارع كوريوليس $2$ $ω$ $⁠$ $dr$ $/$ $dt$ $⁠$ ، والتسارع الزاوي $rα$ .

تُلخّص الجداول أدناه حالات خاصة من الحركة الموصوفة بهذه المعادلات. وقد سبق مناقشة حالتين منها، وهما عندما تكون المركبات القطرية أو الزاوية معدومة، وتصف المركبة غير الصفرية للحركة تسارعًا منتظمًا.

حالة الحركة	ثابت $r$	$r$ خطي في $t$	$r$ تربيعي في $t$	r غير خطي في t
ثابت $θ$	القرطاسية	انتقال منتظم (سرعة انتقالية ثابتة)	تسارع انتقالي منتظم	ترجمة غير موحدة
$θ$ خطي في $t$	حركة زاوية منتظمة في دائرة (سرعة زاوية ثابتة)	حركة زاوية منتظمة في مسار حلزوني، سرعة شعاعية ثابتة	حركة زاوية في مسار حلزوني، بتسارع شعاعي ثابت	حركة زاوية في مسار حلزوني، بتسارع شعاعي متغير
$θ$ تربيعية في $t$	تسارع زاوي منتظم في دائرة	تسارع زاوي منتظم في مسار حلزوني، وسرعة شعاعية ثابتة	تسارع زاوي منتظم في مسار حلزوني، تسارع شعاعي ثابت	تسارع زاوي منتظم في مسار حلزوني، وتسارع شعاعي متغير
$θ$ غير خطية في $t$	تسارع زاوي غير منتظم في دائرة	تسارع زاوي غير منتظم في مسار حلزوني، وسرعة شعاعية ثابتة	تسارع زاوي غير منتظم في مسار حلزوني، وتسارع شعاعي ثابت	تسارع زاوي غير منتظم في مسار حلزوني، وتسارع شعاعي متغير

حركات ثلاثية الأبعاد عامة

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تُعمَّم المعادلات في الإحداثيات الكروية $(r ، θ ، φ)$ مع متجهات الوحدة المناظرة $êr ،$ $êθ ،$ و $êφ ،$ أي الموضع والسرعة والتسارع على التوالي إلى

${\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!$

في حالة $φ$ الثابتة ، يختزل هذا إلى المعادلات المستوية المذكورة أعلاه.

معادلات الحركة الديناميكية

الميكانيكا النيوتونية

كانت معادلة نيوتن الثانية للحركة أول معادلة عامة للحركة تم تطويرها . وتنص في صورتها العامة على أن معدل تغير كمية الحركة $p = p (t) = mv (t)$ لجسم ما يساوي القوة $F = F (x (t), v ($ $t$ $)$ $,$ $t$ $)$ المؤثرة عليه، ^{[ 13 ]}^{: 1112}

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

القوة في المعادلة ليست القوة التي يبذلها الجسم. وباستبدال الزخم بضرب الكتلة في السرعة، يُكتب القانون أيضًا بشكل أكثر شهرة على النحو التالي:

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

بما أن $m$ ثابت في الميكانيكا النيوتونية .

ينطبق قانون نيوتن الثاني على الجسيمات النقطية، وعلى جميع النقاط في الجسم الصلب . كما ينطبق على كل نقطة في وسط متصل الكتلة، مثل المواد الصلبة أو الموائع القابلة للتشوه، ولكن يجب مراعاة حركة النظام؛ انظر المشتقة المادية . في حالة عدم ثبات الكتلة، لا يكفي استخدام قاعدة الضرب للمشتقة الزمنية للكتلة والسرعة، ويتطلب قانون نيوتن الثاني تعديلًا يتوافق مع قانون حفظ الزخم ؛ انظر نظام الكتلة المتغيرة .

قد يكون من السهل كتابة معادلات الحركة بصيغة متجهة باستخدام قوانين نيوتن، لكن مركباتها قد تتغير بطرق معقدة مع الإحداثيات المكانية والزمن، وحلها ليس بالأمر الهين. غالبًا ما يكون هناك عدد كبير من المتغيرات لحل المسألة بشكل كامل، لذا فإن قوانين نيوتن ليست دائمًا الطريقة الأمثل لتحديد حركة النظام. في الحالات البسيطة للهندسة المستطيلة، تعمل قوانين نيوتن بشكل جيد في الإحداثيات الديكارتية، لكنها قد تصبح معقدة للغاية في أنظمة الإحداثيات الأخرى.

يُفضّل استخدام صيغة الزخم لأنها قابلة للتعميم بسهولة على أنظمة أكثر تعقيدًا، مثل النسبية الخاصة والعامة (انظر الزخم الرباعي ). ^[¹³^]^:¹¹² ويمكن استخدامها أيضًا مع قانون حفظ الزخم. مع ذلك، فإن قوانين نيوتن ليست أكثر جوهرية من قانون حفظ الزخم، لأن قوانين نيوتن تتوافق فقط مع حقيقة أن انعدام محصلة القوى المؤثرة على جسم ما يعني ثبات الزخم، بينما تعني محصلة القوى أن الزخم ليس ثابتًا. ويبقى قانون حفظ الزخم صحيحًا دائمًا بالنسبة لنظام معزول لا يخضع لمحصلة قوى.

بالنسبة لعدد من الجسيمات (انظر مسألة الأجسام المتعددة )، فإن معادلة الحركة لجسيم واحد $i$ متأثر بجسيمات أخرى هي ^{[ 7 ]}^{[ 1 ]} ${\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}$

حيث يمثل $pᵢ$ زخم الجسيم $i$ ، $و$ $Fᵢⱼ$ القوة المؤثرة على الجسيم $i$ $من$ $الجسيم$ j $،$ و $Fᵢⱼ$ القوة الخارجية المحصلة الناتجة عن أي عامل ليس جزءًا من النظام. لا يؤثر الجسيم $i على نفسه بقوة.$

تتشابه قوانين أويلر للحركة مع قوانين نيوتن، لكنها تُطبق تحديدًا على حركة الأجسام الصلبة . وتجمع معادلات نيوتن-أويلر القوى والعزوم المؤثرة على جسم صلب في معادلة واحدة.

يأخذ قانون نيوتن الثاني للدوران شكلاً مشابهاً لحالة الانتقال، ^{[ 13 ]}

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,$

عن طريق مساواة عزم الدوران المؤثر على الجسم بمعدل تغير زخمه الزاوي $L.$ وبالمثل، فإن موتر عزم القصور الذاتي $I$ يعتمد على توزيع الكتلة حول محور الدوران، والتسارع الزاوي هو معدل تغير السرعة الزاوية.

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}.$

مرة أخرى، تنطبق هذه المعادلات على الجسيمات النقطية، أو على كل نقطة من الجسم الصلب.

وبالمثل، بالنسبة لعدد من الجسيمات، فإن معادلة الحركة لجسيم واحد $i$ هي ^{[ 7 ]}

${\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,$

حيث يمثل $Li$ الزخم الزاوي للجسيم $i$ $،$ و $τij$ $عزم$ الدوران المؤثر على الجسيم $i$ $من$ الجسيم $j$ ، و $τE$ عزم الدوران الخارجي الناتج (بسبب أي عامل ليس جزءًا من النظام). لا يؤثر الجسيم $i على نفسه بعزم دوران.$

التطبيقات

تتضمن بعض الأمثلة ^{[ 14 ]} لقانون نيوتن وصف حركة البندول البسيط ،

$-mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(\ell \theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \,,$

ومذبذب توافقي مخمد يعمل بموجة جيبية ،

$F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.$

لوصف حركة الكتل بفعل الجاذبية، يمكن دمج قانون نيوتن للجاذبية مع قانون نيوتن الثاني. على سبيل المثال، كرة كتلتها $m$ تُقذف في الهواء، في تيارات هوائية (مثل الرياح) موصوفة بحقل متجه من قوى المقاومة $R = R (r, t)$ ،

$-{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A}$

حيث $G$ هو ثابت الجاذبية ، $و$ $M$ كتلة الأرض، و $A = R / m هو$ تسارع المقذوف بسبب تيارات الهواء عند الموضع $r$ والوقت $t$ .

تُعتبر مسألة الأجسام $N$ الكلاسيكية ، التي تتفاعل فيها $N$ جسيمات مع بعضها البعض بسبب الجاذبية، مجموعة من $N$ معادلات تفاضلية عادية من الدرجة الثانية غير خطية ومترابطة.

${\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})$

حيث $i = 1، 2، ...، N$ تشير إلى الكميات (الكتلة، الموضع، إلخ) المرتبطة بكل جسيم.

الميكانيكا التحليلية

لا داعي لاستخدام جميع إحداثيات الفضاء ثلاثي الأبعاد إذا كانت هناك قيود على النظام. إذا كان للنظام $N$ درجة حرية ، فيمكن استخدام مجموعة من $N$ إحداثيات معممة $q (t) = [q1 (t), q2 (t) ... qN (t)]$ لتحديد شكل النظام. يمكن أن تكون هذه الإحداثيات على شكل $أطوال$ أقواس أو زوايا . تُعدّ هذه الإحداثيات تبسيطًا كبيرًا لوصف الحركة، لأنها تستفيد من القيود الجوهرية التي تحدّ $من$ حركة النظام، كما أنها تُقلّل عدد الإحداثيات إلى الحد الأدنى. المشتقات الزمنية للإحداثيات المعممة هي السرعات المعممة.

$\mathbf {\dot {q}} ={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}\,.$

معادلات أويلر -لاغرانج هي ^{[ 2 ]}^{[ 16 ]}

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,$

حيث أن $لاغرانجيان$ هو دالة للتكوين $q$ ومعدل تغيره الزمني $d$ $q$ $/$ $dt$ ( وربما الزمن $t$ $)$

$L=L{\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t\right]}\,.$

من خلال إعداد لاغرانجيان النظام، ثم التعويض في المعادلات وتقييم المشتقات الجزئية وتبسيطها، يتم الحصول على مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية $N$ المقترنة في الإحداثيات.

معادلات هاميلتون هي ^{[ 2 ]}^{[ 16 ]}

$\mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,$

أين الهاميلتوني

$H=H{\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t\right]}\,,$

هي دالة للتكوين $q$ والزخم "المعمم" المترافق

$\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,,$

حيث $⁠$ $\partial$ $/$ $\partial$ $q$ $⁠$ $=$ $($ $⁠$ $\partial$ $/$ $\partial$ $q$ $1$ $⁠$ $,$ $⁠$ $\partial$ $/$ $\partial$ $q$ $2$ $⁠$ $, \dots,$ $⁠$ $\partial$ $/$ $\partial$ $q$ $N$ $⁠$ $)$ هو اختصار لمتجه المشتقات الجزئية بالنسبة للمتغيرات المشار إليها (انظر على سبيل المثال حساب المصفوفات لهذا الترميز المقامي)، وربما الزمن $t$ ،

من خلال إعداد الهاميلتوني للنظام، ثم التعويض في المعادلات وتقييم المشتقات الجزئية وتبسيطها، يتم الحصول على مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية $من$ $الدرجة الأولى 2N$ المقترنة في الإحداثيات $q i$ والزخم $p i .$

معادلة هاميلتون -جاكوبي هي ^{[ 2 ]}

$-{\frac {\partial S(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)}\,.$

أين

$S[\mathbf {q} ,t]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\,dt\,,$

الدالة الرئيسية لهاملتون ، والتي تُسمى أيضًا الفعل الكلاسيكي، هي دالة لـ $L.$ في هذه الحالة، تُعطى كميات الحركة بواسطة

$\mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,.$

على الرغم من أن المعادلة لها شكل عام بسيط، إلا أنها بالنسبة لهاملتوني معين، هي في الواقع معادلة تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الأولى ، في $N$ $+ 1$ متغير. يسمح الفعل $S$ بتحديد الكميات المحفوظة للأنظمة الميكانيكية، حتى عندما لا يمكن حل المسألة الميكانيكية نفسها بشكل كامل، لأن أي تناظر قابل للتفاضل لفعل نظام فيزيائي له قانون حفظ مقابل ، وهي نظرية منسوبة إلى إيمي نوثر .

يمكن اشتقاق جميع معادلات الحركة الكلاسيكية من مبدأ التغير المعروف باسم مبدأ هاميلتون لأقل فعل

$\delta S=0\,,$

يشير إلى أن المسار الذي يسلكه النظام عبر مساحة التكوين هو المسار الذي يحتوي على أقل عدد من الإجراءات $S.$

الديناميكا الكهربائية

في الديناميكا الكهربائية، القوة المؤثرة على جسيم مشحون بشحنة $q$ هي قوة لورنتز : ^{[ 17 ]}

$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

يؤدي الجمع مع قانون نيوتن الثاني إلى معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى للحركة، بدلالة موضع الجسيم:

$m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {B} \right)$

أو زخمها:

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {p} \times \mathbf {B} }{m}}\right)$

يمكن الحصول على نفس المعادلة باستخدام لاغرانجيان (وتطبيق معادلات لاغرانج أعلاه) لجسيم مشحون كتلته $m$ وشحنته $q$ : ^{[ 16 ]}

$L={\tfrac {1}{2}}m\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi$

حيث $A$ و $ϕ$ هما حقلا الجهد الكهرومغناطيسي القياسي والمتجهي . يشير لاغرانجيان إلى تفصيل إضافي: الزخم الكنسي في ميكانيكا لاغرانج يُعطى بالعلاقة التالية : $\mathbf {P} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A}$ بدلاً من مجرد $m v$ ، مما يعني أن حركة الجسيم المشحون تتحدد أساساً بكتلة الجسيم وشحنته. وقد استُخدم تعبير لاغرانج لأول مرة لاشتقاق معادلة القوة.

أو بدلاً من ذلك، الهاميلتوني (مع التعويض في المعادلات): ^{[ 16 ]} $H={\frac {\left(\mathbf {P} -q\mathbf {A} \right)^{2}}{2m}}+q\phi$ يمكن اشتقاق معادلة قوة لورنتز.

النسبية العامة

معادلة الحركة الجيوديسية

المعادلات المذكورة أعلاه صالحة في الزمكان المسطح. أما في الزمكان المنحني ، فتصبح الأمور أكثر تعقيدًا من الناحية الرياضية لعدم وجود خط مستقيم؛ ويتم تعميم ذلك واستبداله بخط جيوديسي للزمكان المنحني (أقصر طول منحنى بين نقطتين). بالنسبة للمشعبات المنحنية ذات موتر متري $g$ ، يوفر المقياس مفهوم طول القوس (انظر عنصر الخط لمزيد من التفاصيل). يُعطى طول القوس التفاضلي بالعلاقة التالية: ^[¹⁹^]^:¹¹⁹⁹

$ds={\sqrt {g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}}$

والمعادلة الجيوديسية هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية في الإحداثيات. الحل العام هو عائلة من الجيوديسيات: ^{[ 19 ]}^{: 1200}

${\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}{\frac {dx^{\beta }}{ds}}$

حيث $Γ μ αβ$ هو رمز كريستوفيل من النوع الثاني ، والذي يحتوي على المقياس (بالنسبة لنظام الإحداثيات).

بالنظر إلى توزيع الكتلة والطاقة المُحدد بواسطة موتر الإجهاد والطاقة $T αβ$ ، فإن معادلات أينشتاين للمجال هي مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية من الرتبة الثانية في المقياس، وتُشير إلى أن انحناء الزمكان يُكافئ مجال الجاذبية (انظر مبدأ التكافؤ ). إن سقوط كتلة في زمكان منحني يُكافئ سقوط كتلة في مجال جاذبية - لأن الجاذبية قوة وهمية . ويُعطى التسارع النسبي لخط جيوديسي بالنسبة لآخر في زمكان منحني بواسطة معادلة انحراف الخط الجيوديسي .

${\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}$

حيث $ξ α = x 2 α - x 1 α$ هو متجه الفصل بين مسارين جيوديسيين، و D / ds ( $وليس$ $فقط$ $d$ $/$ $ds$ ) هو $المشتق$ $المتغير$ $،$ $و$ R α βγδ $هو$ $موتر$ $انحناء$ ريمان ، الذي يحتوي على رموز كريستوفيل. بعبارة أخرى $،$ معادلة انحراف المسار الجيوديسي هي معادلة حركة الكتل في الزمكان المنحني، وهي مماثلة لمعادلة قوة لورنتز للشحنات في مجال كهرومغناطيسي. ^[¹⁸^]^:^34-35

في الزمكان المسطح، يكون المقياس عبارة عن موتر ثابت، لذا تختفي رموز كريستوفيل، وتكون حلول معادلة الجيوديسية عبارة عن خطوط مستقيمة. وهذه هي الحالة الحدية أيضًا عندما تتحرك الكتل وفقًا لقانون نيوتن للجاذبية .

الأجسام الدوارة

في النسبية العامة، تُوصف الحركة الدورانية بواسطة موتر الزخم الزاوي النسبي ، بما في ذلك موتر اللف المغزلي ، والذي يدخل في معادلات الحركة تحت مشتقات متغيرة بالنسبة للزمن الخاص . وتصف معادلات ماثيسون-بابابترو-ديكسون حركة الأجسام الدوارة التي تتحرك في مجال جاذبية .

نظائر للأمواج والمجالات

بخلاف معادلات الحركة التي تصف ميكانيكا الجسيمات، والتي هي عبارة عن أنظمة من المعادلات التفاضلية العادية المترابطة، فإن المعادلات المماثلة التي تحكم ديناميكيات الموجات والمجالات هي دائمًا معادلات تفاضلية جزئية ، لأن الموجات أو المجالات هي دوال للمكان والزمان. وللحصول على حل معين، يجب تحديد الشروط الحدية إلى جانب الشروط الابتدائية.

في بعض الأحيان، وفي السياقات التالية، تسمى معادلات الموجة أو المجال أيضًا "معادلات الحركة".

معادلات المجال

تُسمى المعادلات التي تصف التبعية المكانية والتطور الزمني للحقول بمعادلات الحقل . وتشمل هذه المعادلات ما يلي:

معادلات ماكسويل للمجال الكهرومغناطيسي ،
معادلة بواسون للجهود الكهروستاتيكية أو الجاذبية النيوتونية ،
معادلة أينشتاين للمجال للجاذبية ( قانون نيوتن للجاذبية هو حالة خاصة لحقول الجاذبية الضعيفة والسرعات المنخفضة للجسيمات).

هذا المصطلح ليس عالميًا: على سبيل المثال، على الرغم من أن معادلات نافيير-ستوكس تحكم مجال سرعة السائل ، إلا أنها لا تسمى عادةً "معادلات المجال"، لأنها في هذا السياق تمثل زخم السائل وتسمى "معادلات الزخم" بدلاً من ذلك.

معادلات الموجة

تُسمى معادلات حركة الموجات بمعادلات الموجة . تُعطي حلول معادلة الموجة تطور السعة مع الزمن واعتمادها المكاني . وتُحدد الشروط الحدية ما إذا كانت الحلول تصف موجات متحركة أم موجات ثابتة .

يمكن اشتقاق معادلات الموجات الميكانيكية، وموجات الجاذبية ، والموجات الكهرومغناطيسية من معادلات الحركة الكلاسيكية ومعادلات المجال . معادلة الموجة الخطية العامة في ثلاثة أبعاد هي:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X$

حيث $X = X (r, t)$ هي أي سعة مجال ميكانيكي أو كهرومغناطيسي، على سبيل المثال: ^{[ 20 ]}

الإزاحة العرضية أو الطولية لقضيب أو سلك أو كابل أو غشاء مهتز، إلخ .
الضغط المتذبذب لوسط ما، ضغط الصوت ،
المجالات الكهربائية $E$ أو $D$ ، أو المجالات المغناطيسية $B$ أو $H$ ،
الجهد $V$ أو التيار $I$ في دائرة التيار المتردد ،

و $v$ هي سرعة الطور . تُنمذج المعادلات غير الخطية اعتماد سرعة الطور على السعة، باستبدال $v$ بـ $v (X)$ . توجد معادلات موجية خطية وغير خطية أخرى لتطبيقات محددة للغاية، انظر على سبيل المثال معادلة كورتيغ-دي فريس .

نظرية الكم

في نظرية الكم، يظهر كل من مفهومي الموجة والمجال.

في ميكانيكا الكم، فإن نظير معادلات الحركة الكلاسيكية (قانون نيوتن، معادلة أويلر-لاغرانج، معادلة هاميلتون-جاكوبي، إلخ) هو معادلة شرودنغر في شكلها الأكثر عمومية:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,$

حيث $Ψ$ هي دالة الموجة للنظام، $وĤ$ هو مؤثر هاميلتون الكمومي ، وليس دالة كما في الميكانيكا الكلاسيكية، و $ħ$ هو ثابت بلانك مقسومًا على 2π $.$ يؤدي وضع الهاميلتوني وإدخاله في المعادلة إلى معادلة موجية، وحلها هو دالة الموجة كدالة للمكان والزمان. تختزل معادلة شرودنغر نفسها إلى معادلة هاميلتون-جاكوبي عند الأخذ في الاعتبار مبدأ التوافق ، في حالة تساوي $ħ$ صفرًا. للمقارنة مع القياسات، يجب تطبيق مؤثرات الكميات القابلة للرصد على دالة الموجة الكمومية وفقًا للتجربة المُجراة، مما يؤدي إلى نتائج موجية أو جسيمية .

في جميع جوانب نظرية الكم، النسبية وغير النسبية، توجد صيغ بديلة مختلفة لمعادلة شرودنغر التي تحكم التطور الزمني وسلوك النظام الكمي، على سبيل المثال:

تشبه معادلة هايزنبرغ للحركة التطور الزمني للكميات القابلة للرصد الكلاسيكية كدوال للموقع والزخم والزمن، إذا استبدلنا الكميات الديناميكية القابلة للرصد بمؤثراتها الكمومية وقوس بواسون الكلاسيكي بالمبدل .
تتبع صياغة فضاء الطور بشكل وثيق ميكانيكا هاميلتون الكلاسيكية، حيث تضع الموضع والزخم على قدم المساواة.
إن صياغة فاينمان للتكامل المساري توسع مبدأ الفعل الأدنى ليشمل ميكانيكا الكم ونظرية المجال، مع التركيز على استخدام لاغرانجيان بدلاً من هاميلتونيان.

مراجع

1 2 آر. جي. ليرنر ؛ جورج إل. تريج (1991). موسوعة الفيزياء (الطبعة الثانية ). نيويورك: دار نشر VCH. ISBN 0-89573-752-3. OCLC 20853637 .
1 2 3 4 هاند، لويس ن.؛ جانيت د. فينش (1998). الميكانيكا التحليلية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-57572-0. OCLC 37903527 .
^ دليل بريتانيكا لتاريخ الرياضيات، أد. إريك جريجرسن
↑ خطابات، غاليليو
↑ حوارات حول علمين جديدين، بقلم غاليليو غاليلي؛ ترجمة هنري كرو، ألفونسو دي سالفيو
↑ هاليداي، ديفيد؛ ريسنيك، روبرت؛ ووكر، جيرل (16-06-2004). أساسيات الفيزياء (الطبعة السابعة ). وايلي. ISBN 0-471-23231-9.
1 2 3 فورشو، الابن؛ أ. جافين سميث (2009). الديناميكا والنسبية . تشيتشستر، المملكة المتحدة: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-01460-8. OCLC 291193458 .
^ السيد شبيغل. س. ليبشوتز؛ د. سبيلمان (2009). تحليل المتجهات . الخطوط العريضة لشوم ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ص. 33. ردمك 978-0-07-161545-7.
1 2 ويلان، بي إم؛ هودجسون، إم جيه (1978). المبادئ الأساسية للفيزياء (الطبعة الثانية ). لندن: جون موراي. ISBN 0-7195-3382-1. OCLC 7102249 .
↑ هانراهان، فال؛ بوركيس، ر (2003). الرياضيات الإضافية لـ OCR . لندن: هودر وستوكتون. ص 219. ISBN 0-340-86960-7.
↑ جونسون، كيث (2001). الفيزياء لك: طبعة منقحة من المنهج الوطني لشهادة الثانوية العامة ( الطبعة الرابعة). نيلسون ثورنز. ص 135. ISBN 978-0-7487-6236-1يتم تذكر الرموز الخمسة بواسطة "suvat" . بمعرفة أي ثلاثة منها، يمكن إيجاد الرمزين الآخرين.
↑ هالبرن، ألفين م. (1988). 3000 مسألة محلولة في الفيزياء . سلسلة شوم. نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-025734-4. OCLC 27398318 .
1 2 3 كليبنر، دانيال؛ روبرت ج. كولينكو (2010). مقدمة في الميكانيكا . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-19821-9. OCLC 573196466 .
↑ باين، إتش جيه (1983). فيزياء الاهتزازات والأمواج ( الطبعة الثالثة). تشيتشستر [ساسكس]: وايلي. ISBN 0-471-90182-2. OCLC 9392845 .
↑ ر. بنروز (2007). الطريق إلى الواقع . كتب فينتج. ص 474. ISBN 978-0-679-77631-4.
1 2 3 4 كيبيل، تي دبليو بي (1973). الميكانيكا الكلاسيكية . سلسلة الفيزياء الأوروبية ( الطبعة الثانية). لندن، المملكة المتحدة: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-084018-0. OCLC 856410 .
↑ جرانت، آي إس؛ فيليبس، دبليو آر (1990). الكهرومغناطيسية . سلسلة مانشستر للفيزياء ( الطبعة الثانية). وايلي. ISBN 0-471-92712-0. OCLC 21447877 .
1 2 ج. أ. ويلر؛ س. ميسنر؛ ك. س. ثورن (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-0344-0.
1 2 سي. بي. باركر (1994). موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-051400-3.
↑ إتش دي يونغ؛ آر إيه فريدمان (2008). فيزياء الجامعة ( الطبعة الثانية عشرة). أديسون-ويسلي (بيرسون إنترناشونال). رقم ISBN 978-0-321-50130-1.

[Physics_1991-1] 1 2 آر. جي. ليرنر ؛ جورج إل. تريج (1991). موسوعة الفيزياء (الطبعة الثانية ). نيويورك: دار نشر VCH. ISBN 0-89573-752-3. OCLC 20853637 .

[Analytical_Mechanics_2008-2] 1 2 3 4 هاند، لويس ن.؛ جانيت د. فينش (1998). الميكانيكا التحليلية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-57572-0. OCLC 37903527 .

[book-3] دليل بريتانيكا لتاريخ الرياضيات، أد. إريك جريجرسن

[4] خطابات، غاليليو

[5] حوارات حول علمين جديدين، بقلم غاليليو غاليلي؛ ترجمة هنري كرو، ألفونسو دي سالفيو

[Halliday2004-6] هاليداي، ديفيد؛ ريسنيك، روبرت؛ ووكر، جيرل (16-06-2004). أساسيات الفيزياء (الطبعة السابعة ). وايلي. ISBN 0-471-23231-9.

[Relativity-7] 1 2 3 فورشو، الابن؛ أ. جافين سميث (2009). الديناميكا والنسبية . تشيتشستر، المملكة المتحدة: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-01460-8. OCLC 291193458 .

[8] السيد شبيغل. س. ليبشوتز؛ د. سبيلمان (2009). تحليل المتجهات . الخطوط العريضة لشوم ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ص. 33. ردمك 978-0-07-161545-7.

[Physics_P.M-9] 1 2 ويلان، بي إم؛ هودجسون، إم جيه (1978). المبادئ الأساسية للفيزياء (الطبعة الثانية ). لندن: جون موراي. ISBN 0-7195-3382-1. OCLC 7102249 .

[Hanrahan2003-10] هانراهان، فال؛ بوركيس، ر (2003). الرياضيات الإضافية لـ OCR . لندن: هودر وستوكتون. ص 219. ISBN 0-340-86960-7.

[11] جونسون، كيث (2001). الفيزياء لك: طبعة منقحة من المنهج الوطني لشهادة الثانوية العامة ( الطبعة الرابعة). نيلسون ثورنز. ص 135. ISBN 978-0-7487-6236-1يتم تذكر الرموز الخمسة بواسطة "suvat" . بمعرفة أي ثلاثة منها، يمكن إيجاد الرمزين الآخرين.

[12] هالبرن، ألفين م. (1988). 3000 مسألة محلولة في الفيزياء . سلسلة شوم. نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-025734-4. OCLC 27398318 .

[Mechanics,_D._Kleppner_2010-13] 1 2 3 كليبنر، دانيال؛ روبرت ج. كولينكو (2010). مقدمة في الميكانيكا . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-19821-9. OCLC 573196466 .

[Waves_1983-14] باين، إتش جيه (1983). فيزياء الاهتزازات والأمواج ( الطبعة الثالثة). تشيتشستر [ساسكس]: وايلي. ISBN 0-471-90182-2. OCLC 9392845 .

[15] ر. بنروز (2007). الطريق إلى الواقع . كتب فينتج. ص 474. ISBN 978-0-679-77631-4.

[Classical_Mechanics_1973-16] 1 2 3 4 كيبيل، تي دبليو بي (1973). الميكانيكا الكلاسيكية . سلسلة الفيزياء الأوروبية ( الطبعة الثانية). لندن، المملكة المتحدة: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-084018-0. OCLC 856410 .

[17] جرانت، آي إس؛ فيليبس، دبليو آر (1990). الكهرومغناطيسية . سلسلة مانشستر للفيزياء ( الطبعة الثانية). وايلي. ISBN 0-471-92712-0. OCLC 21447877 .

[Gravitation-18] 1 2 ج. أ. ويلر؛ س. ميسنر؛ ك. س. ثورن (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-0344-0.

[ParkerEncycl-19] 1 2 سي. بي. باركر (1994). موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-051400-3.

[20] إتش دي يونغ؛ آر إيه فريدمان (2008). فيزياء الجامعة ( الطبعة الثانية عشرة). أديسون-ويسلي (بيرسون إنترناشونال). رقم ISBN 978-0-321-50130-1.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[

[

1199

1200

[ 20 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

الأنواع

تاريخ

المعادلات الحركية لجسيم واحد

الكميات الحركية

تسارع منتظم

تسارع انتقالي ثابت في خط مستقيم

تسارع خطي ثابت في أي اتجاه

التطبيقات

تسارع دائري ثابت

الحركة المستوية العامة

حركات ثلاثية الأبعاد عامة

معادلات الحركة الديناميكية

الميكانيكا النيوتونية

التطبيقات

الميكانيكا التحليلية

الديناميكا الكهربائية

النسبية العامة

معادلة الحركة الجيوديسية

الأجسام الدوارة

نظائر للأمواج والمجالات

معادلات المجال

معادلات الموجة

نظرية الكم

انظر أيضاً

مراجع