دائرة الدواسة

الموسوعة الحرة
△أبج{\displaystyle \triangle ABC}مع جوانبأ،ب،ج{\displaystyle a,b,c}وأشرP{\displaystyle P} أقدام العمودي:Pأ،Pب،Pج{\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}} مركز الدائرة المحيطة:يا{\displaystyle O} تُستخدم الأجزاء الخضراء في صيغة نصف القطر
△أبج{\displaystyle \triangle ABC}مع المترافقات المتساويةP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q} ستة أقدام على دائرة الدواسة:Pأ،Pب،Pج،سؤالأ،سؤالب،سؤالج{\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{b},Q_{c}} مركز دائرة الدواسة ونقطة المنتصفPسؤال{\displaystyle PQ}:م{\displaystyle M}منصفات الزوايا:wأ،wب،wج{\displaystyle w_{a},w_{b},w_{c}}
4 نقاطأ،ب،ج،د{\displaystyle A,B,C,D}وأربع دوائر دواسات متقاطعة فيS{\displaystyle S}

دائرة الدواسة للمثلثأبج{\displaystyle ABC}ونقطةP{\displaystyle P}في المستوى توجد دائرة خاصة تحددها هاتان الكيانان. وبشكل أكثر تحديدًا، بالنسبة للأعمدة الثلاثة المارة بالنقطةP{\displaystyle P}على جوانب المثلث الثلاثة (الممتدة)أ،ب،ج{\displaystyle a,b,c}ستحصل على ثلاث نقاط تقاطعPأ،Pب،Pج{\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}والدائرة المحددة بتلك النقاط الثلاث هي دائرة الدواسة. وبحسب التعريف، فإن دائرة الدواسة هي الدائرة المحيطة بمثلث الدواسة . [ 1 ] [ 2 ]

لنصف القطرر{\displaystyle r}بالنسبة لدائرة الدواسة، تنطبق الصيغة التالية معR{\displaystyle R}كونه نصف القطر ويا{\displaystyle O}كونها مركز الدائرة المحيطة: [ 2 ]

ر=|Pأ|⋅|Pب|⋅|Pج|2⋅(R2-|Pيا|2){\displaystyle r={\frac {|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^{2}-|PO|^{2})}}}

لاحظ أن المقام في الصيغة يصبح صفرًا إذا كانت النقطةP{\displaystyle P}تقع على الدائرة المحيطة. في هذه الحالة، النقاط الثلاث Pأ،Pب،Pج{\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}حدد دائرة متدهورة بنصف قطر لانهائي، أي خط مستقيم. هذا هو خط سيمسون .P{\displaystyle P}إذا كانت النقطة هي مركز الدائرة الداخلية للمثلث، فإن دائرة الدواسة هي الدائرة الداخلية للمثلث، وإذا كانت النقطة هي مركز الدائرة الداخلية للمثلثP{\displaystyle P}[ 3 ] مركز التعامد للمثلث، والدائرة الدواسة هي دائرة النقاط التسع .

لوP{\displaystyle P}إذا لم يقع على الدائرة المحيطة، فإن مرافقه المتساوي الزواياسؤال{\displaystyle Q}ينتج نفس دائرة الدواسة، أي النقاط الست Pأ،Pب،Pج{\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}و سؤالأ،سؤالب،سؤالج{\displaystyle Q_{a},Q_{b},Q_{c}}تقع على نفس الدائرة. علاوة على ذلك، تقع نقطة منتصف القطعة المستقيمةPسؤال{\displaystyle PQ}هو مركز دائرة الدواسة تلك. [ 1 ]

تنص نظرية غريفيث على أن جميع الدوائر الدواسة للنقاط الواقعة على خط يمر بمركز الدائرة المحيطة بالمثلث تشترك في نقطة مشتركة (ثابتة). [ 4 ]

لنفترض أربع نقاط لا تقع أي ثلاث منها على خط مستقيم واحد. عندئذٍ، يمكنك تكوين أربع مجموعات جزئية مختلفة من ثلاث نقاط. خذ نقاط هذه المجموعة الجزئية كرؤوس مثلث.أبج{\displaystyle ABC}والنقطة الرابعة هي النقطةP{\displaystyle P}ثم يقومون بتحديد دائرة الدواسة. تتقاطع دوائر الدواسة الأربع التي تحصل عليها بهذه الطريقة في نقطة مشتركة . [ 3 ]

مراجع

  1. 1 2 روس هونسبرغر : حلقات في الهندسة الإقليدية في القرنين التاسع عشر والعشرين . جمعية الرياضيات الأمريكية، 1995، ص 67-75
  2. 1 2 روجر أ. جونسون: الهندسة الإقليدية المتقدمة. دوفر 2007 (طبعة مُعاد طباعتها)، ISBN 978-0-486-46237-0، الصفحات 135-144، 155، 240
  3. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "دائرة الدواسة" . عالم الرياضيات .
  4. ^ وايسشتاين ، إريك دبليو. “نظرية جريفيث” . عالم الرياضيات .