دائرة محيطة

هناك طريقة بديلة لتحديد مركز الدائرة المحيطة بالمثلث، وهي رسم خطين ينطلق كل منهما من أحد رؤوس المثلث بزاوية مع الضلع المشترك، وتكون زاوية الانطلاق المشتركة 90° ناقص زاوية الرأس المقابل. (في حالة كون الزاوية المقابلة منفرجة، فإن رسم خط بزاوية سالبة يعني الخروج من المثلث).

في الملاحة الساحلية ، يُستخدم أحيانًا محيط المثلث كطريقة لتحديد خط الموقع باستخدام السدس عندما لا تتوفر البوصلة . وتُحدد الزاوية الأفقية بين معلمَين محيطَ المثلث الذي يقع عليه الراصد.

في المستوى الإقليدي ، من الممكن كتابة معادلة الدائرة المحيطة بشكل صريح بدلالة الإحداثيات الديكارتية لرؤوس المثلث المرسوم داخلها. لنفترض أن $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$$ تمثل إحداثيات النقاط A وB وC. وبالتالي، فإن الدائرة المحيطة هي المحل الهندسي لهذه النقاط.${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$في المستوى الديكارتي الذي يحقق المعادلات $${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$$ بضمان أن تكون النقاط A و B و C و v جميعها على نفس المسافة r من المركز المشترك${\displaystyle \mathbf {u} }$من الدائرة. باستخدام متطابقة الاستقطاب ، تُختزل هذه المعادلات إلى الشرط الذي تكون فيه المصفوفة$${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$$ لها نواة غير صفرية . وبالتالي، يمكن وصف الدائرة المحيطة بها بشكل بديل بأنها موضع أصفار محدد هذه المصفوفة: $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$$

باستخدام توسيع المرافقات ، لنفترض $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ ثم لدينا${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$أين${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$وبافتراض أن النقاط الثلاث لم تكن على خط مستقيم (وإلا فإن الدائرة المحيطة هي ذلك الخط الذي يمكن اعتباره أيضًا دائرة معممة مع النقطة S عند اللانهاية) -${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$إعطاء مركز الدائرة${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$ونصف القطر المحيط${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}$يسمح نهج مماثل باستنتاج معادلة الكرة المحيطة بالهرم الرباعي .

يُعطى متجه الوحدة العمودي على المستوى الذي يحتوي على الدائرة بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$$

وبالتالي، بمعلومية نصف القطر r ، والمركز P _c ، ونقطة على الدائرة P _0، ومتجه الوحدة العمودي على المستوى الذي يحتوي على الدائرة ،${\displaystyle {\widehat {n}},}$معادلة وسيطية واحدة للدائرة تبدأ من النقطة P ₀ وتتجه في اتجاه موجب (أي،باتجاه اليمين ) حول${\displaystyle {\widehat {n}}}$وهو ما يلي: $${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$$

معادلة الدائرة المحيطة في الإحداثيات الثلاثية x  : y  : z هي ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$معادلة الدائرة المحيطة في الإحداثيات الباريسنترية x  : y  : z هي${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}$

المرافق المتساوي الزوايا للدائرة المحيطة هو الخط عند اللانهاية ، المعطى في الإحداثيات الثلاثية بواسطة${\displaystyle ax+by+cz=0}$وفي الإحداثيات الباريسنترية بواسطة${\displaystyle x+y+z=0.}$

بالإضافة إلى ذلك، يمكن إيجاد الدائرة المحيطة بمثلث مُضمّن في ثلاثة أبعاد باستخدام طريقة معممة. لنفترض أن A و B و C نقاط ثلاثية الأبعاد تُشكّل رؤوس مثلث. نبدأ بنقل النظام لوضع النقطة C عند نقطة الأصل. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$$

إذن، نصف القطر المحيط r هو $${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$$ حيث θ هي الزاوية الداخلية بين a و b . مركز الدائرة المحيطة، p ₀ ، يُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle p_{0}={\frac {\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$$

لا تعمل هذه الصيغة إلا في ثلاثة أبعاد لأن الضرب الاتجاهي غير معرف في الأبعاد الأخرى، ولكن يمكن تعميمها على الأبعاد الأخرى عن طريق استبدال الضرب الاتجاهي بالمتطابقات التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$$

وهذا يعطينا المعادلة التالية لنصف قطر الدائرة المحيطة r : $${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}}$$ والمعادلة التالية لمركز الدائرة المحيطة p ₀ : $${\displaystyle p_{0}={\frac {\left(\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {a} -\left(\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }{2\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\right)}}+\mathbf {C} }$$ والتي يمكن تبسيطها إلى: $${\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)}{2\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\right)}}+\mathbf {C} }$$

الإحداثيات الديكارتية لمركز الدائرة المحيطة${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$نكون $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}\right)(B_{y}-C_{y})+\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}\right)(C_{y}-A_{y})+\left(C_{x}^{2}+C_{y}^{2}\right)(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}\right)(C_{x}-B_{x})+\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}\right)(A_{x}-C_{x})+\left(C_{x}^{2}+C_{y}^{2}\right)(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$$ مع $${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$$

دون الإخلال بعمومية المسألة، يمكن التعبير عن ذلك بصيغة مبسطة بعد نقل الرأس A إلى نقطة الأصل في نظام الإحداثيات الديكارتية، أي عندما${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$في هذه الحالة، إحداثيات الرؤوس${\displaystyle B'=B-A}$و${\displaystyle C'=C-A}$تمثل هذه المتجهات من الرأس A' إلى هذه الرؤوس. لاحظ أن هذا التحويل البسيط ممكن لجميع المثلثات، وإحداثيات مركز الدائرة المحيطة هي${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$يتبع المثلث △ A'B'C' كما يلي$${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$$ مع $${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$$

نتيجةً لانتقال الرأس A إلى نقطة الأصل، يمكن حساب نصف قطر الدائرة المحيطة r على النحو التالي:$${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$$ ويتبع ذلك مركز الدائرة المحيطة الفعلي للمثلث ABC كما يلي: $${\displaystyle U=U'+A}$$

مركز الدائرة المحيطة له إحداثيات ثلاثية الخطوط ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \cos \alpha$$ :\cos \beta  :\cos \gamma } حيث α و β و γ هي زوايا المثلث.

من حيث أطوال الأضلاع a و b و c ، فإن الأشكال ثلاثية الخطوط هي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$$

يحتوي مركز الدائرة المحيطة على إحداثيات مركزية ^{[ 4 ]}$${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$$ حيث a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث BC و CA و AB على التوالي.

من حيث زوايا المثلث α و β و γ ، فإن الإحداثيات الباريسنترية لمركز الدائرة المحيطة هي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \sin 2\alpha$$ :\sin 2\beta  :\sin 2\gamma .}

بما أن الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة هي متوسط ​​مرجح لإحداثيات الرؤوس، حيث تمثل الأوزان إحداثيات مركز الدائرة المحيطة بالنقطة بعد توحيدها بحيث يكون مجموعها واحدًا، فيمكن كتابة متجه مركز الدائرة المحيطة على النحو التالي: $${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$$

هنا ^، U هو متجه مركز الدائرة المحيطة، و A وB وC هي متجهات رؤوس المثلث. القاسم هنا يساوي 16S² ، حيث S هي مساحة المثلث.

في الفضاء الإقليدي ، توجد دائرة وحيدة تمر بأي ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة P1 و P2 و _{P3 .} باستخدام الإحداثيات الديكارتية _لتمثيل هذه النقاط كمتجهات مكانية ، يمكن استخدام الضرب القياسي والضرب الاتجاهي لحساب نصف قطر الدائرة ومركزها. $${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$$

إذن، يُعطى نصف قطر الدائرة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$$

مركز الدائرة يُعطى بواسطة التركيبة الخطية$${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$$