نظرية بيتر

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 53 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف نظرية بيتر (الخطية) ، نسبةً إلى جاك بيتر ، بأنها نتيجة للتحليل الوظيفي تُعطي توصيفًا للمؤثرات التفاضلية بدلالة تأثيرها على فضاءات الدوال المعممة ، دون التطرق إلى التفاضل صراحةً. تُعدّ نظرية بيتر مثالًا على نظرية الرتبة المحدودة، حيث يمكن إثبات أن دالة أو مؤثرًا ، مُعرّفًا بطريقة عامة جدًا، هو في الواقع متعدد حدود بسبب شرط خارجي أو تناظر مفروض عليه.

تتناول هذه المقالة شكلين من أشكال نظرية بيتر. الأول هو الشكل الأصلي الذي، على الرغم من فائدته الكبيرة في حد ذاته، إلا أنه في الواقع عام جدًا بالنسبة لمعظم التطبيقات.

نظرية بيتر الأصلية

ليكن M مشعبًا أملسًا ، وليكن E و F حزمتين متجهتين على M.

Γ∞(هـ)، و Γ∞(F){\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E),\ {\hbox{and}}\ \Gamma ^{\infty }(F)}

لتكن فضاءات المقاطع الملساء لـ E و F. عامل

د:Γ∞(هـ)→Γ∞(F){\displaystyle D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)}

هو تشاكل بين الحزم يكون خطيًا على المقاطع بحيث يكون دعم D غير متزايد : supp Ds ⊆ supp s لكل مقطع أملس s من E. تنص نظرية بيتر الأصلية على أنه لكل نقطة p في M ، توجد جوار U للنقطة p وعدد صحيح k (يعتمد على U ) بحيث يكون D مؤثرًا تفاضليًا من الرتبة k على U. هذا يعني أن D يتحلل من خلال تطبيق خطي i D من k - jet لمقاطع E إلى فضاء المقاطع الملساء لـ F.

د=أناد∘جك{\displaystyle D=i_{D}\circ j^{k}}

أين

جك:Γ∞هـ→جكهـ{\displaystyle j^{k}:\Gamma ^{\infty }E\rightarrow J^{k}E}

هو مشغل طائرة كيه جيت و

أناد:جكهـ→F{\displaystyle i_{D}:J^{k}E\rightarrow F}

هو عبارة عن تحويل خطي لحزم المتجهات.

دليل

المسألة ثابتة تحت التحويلات التفاضلية المحلية، لذا يكفي إثباتها عندما تكون M مجموعة مفتوحة في R n و E و F حزمتين تافهتين. عند هذه النقطة، يعتمد الأمر بشكل أساسي على لمتين:

  • اللمة 1. إذا تحققت فرضيات النظرية، فإنه لكل x ∈ M و C > 0، توجد جوار V لـ x وعدد صحيح موجب k بحيث أنه لأي y ∈ V \{ x } ولأي مقطع s من E الذي يتلاشى k -jet عند y ( j k s ( y )=0)، لدينا | Ds ( y )|<C.
  • اللمة 2. اللمة الأولى كافية لإثبات النظرية.

نبدأ بإثبات اللمة 1.

لنفترض أن اللمة خاطئة. عندئذٍ توجد متتالية x k تقترب من x ، ومتتالية من الكرات المنفصلة جدًا B k حول x k (بمعنى أن المسافة الجيوديسية بين أي كرتين من هذا النوع غير صفرية)، ومقاطع s k من E فوق كل B k بحيث يكون j k s k ( x k )=0 ولكن | Ds k ( x k )| ≥ C>0.
لنفترض أن ρ ( x ) يمثل دالة نتوء قياسية للكرة الوحدة عند الأصل: دالة حقيقية سلسة تساوي 1 على B 1/2 (0)، والتي تتلاشى إلى رتبة لا نهائية على حدود الكرة الوحدة.
ضع في اعتبارك كل مقطع s 2k . عند x 2k ، تحقق هذه الشروط
j 2k s 2k ( x 2k )=0.
لنفترض أن 2k معطاة. إذن، بما أن هذه الدوال سلسة وكل منها تحقق j 2k ( s 2k )( x 2k )=0، فمن الممكن تحديد كرة أصغر B ′ δ ( x 2k ) بحيث تخضع المشتقات ذات الرتبة الأعلى للتقدير التالي:
∑|α|≤ك رشفةy∈بدلتا′(x2ك)|∇αsك(y)|≤1مك(دلتا2)ك\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }s_{k}(y)|\leq {\frac {1}{M_{k}}}\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{k}}
أين
مك=∑|α|≤كرشفة|∇αρ|.{\displaystyle M_{k}=\sum _{|\alpha |\leq k}\sup |\nabla ^{\alpha }\rho |.}
الآن
ρ2ك(y):=ρ(y-x2كدلتا){\displaystyle \rho _{2k}(y):=\rho \left({\frac {y-x_{2k}}{\delta }}\right)}
هي دالة نتوء قياسية مدعومة في B ′ δ ( x 2k )، ومشتقة حاصل الضرب s 2k ρ 2k محدودة بطريقة تجعل
الأعلى|α|≤ك رشفةy∈بدلتا′(x2ك)|∇α(ρ2كs2ك)|≤2-ك.{\displaystyle \max _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }(\rho _{2k}s_{2k})|\leq 2^{-k}.}
ونتيجة لذلك، ولأن المتسلسلة التالية وجميع المجاميع الجزئية لمشتقاتها تتقارب بانتظام
q(y)=∑ك=1∞ρ2ك(y)s2ك(y)،{\displaystyle q(y)=\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{2k}(y)s_{2k}(y),}
q ( ​​y ) دالة سلسة على كامل V .
نلاحظ الآن أنه بما أن s 2k وρ{\displaystyle \rho }2k s 2k متساويان في جوار x 2k ،
ليمك→∞|دq(x2ك)|≥ج{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }|Dq(x_{2k})|\geq C}
وبالتالي، بحسب خاصية الاستمرارية، فإن | Dq ( x )| ≥ C>0. من جهة أخرى،
ليمك→∞دq(x2ك+1)=0{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }Dq(x_{2k+1})=0}
بما أن Dq ( x²k +1 ) = 0 لأن q تساوي صفرًا في B²k +1 و D دالة غير متزايدة، فإن Dq ( x ) = 0. وهذا تناقض.

نثبت الآن اللمة 2.

أولًا، دعونا نتجاهل الثابت C من اللمة الأولى. سنُبين أنه، في ظل نفس فرضيات اللمة 1، يكون |Ds(y)|=0. لنختر y في V \{ x } بحيث يكون j k s (y)=0 ولكن | Ds ( y )|= g >0. نعيد قياس s بمعامل 2 C /g. عندئذٍ، إذا كانت g غير صفرية، وبسبب خطية D ، يكون | Ds ( y )|=2 C > C ، وهو أمر مستحيل وفقًا لللمة 1. هذا يُثبت النظرية في الجوار المثقوب V \{ x }.
الآن، يجب علينا مدّ المؤثر التفاضلي إلى النقطة المركزية x في الجوار المثقوب. D هو مؤثر تفاضلي خطي بمعاملات سلسة. علاوة على ذلك، فإنه يرسل جراثيم الدوال السلسة إلى جراثيم الدوال السلسة عند x أيضًا. وبالتالي، فإن معاملات D سلسة أيضًا عند x .

تطبيق متخصص

ليكن M مشعبًا مضغوطًا أملسًا (ربما بحدود )، وليكن E و F حزمتين متجهتين محدودتي الأبعاد على M.

Γ∞(هـ){\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}لتكن مجموعة المقاطع الملساء من E. عامل
د:Γ∞(هـ)→Γ∞(F){\displaystyle D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)}

هي دالة سلسة ( للمشعبات فريشيه ) وهي خطية على الألياف وتحترم نقطة الأساس على M :

π∘دص=ص.{\displaystyle \pi \circ D_{p}=p.}

تنص نظرية بيتر على أنه لكل مؤثر D ، يوجد عدد صحيح k بحيث يكون D مؤثرًا تفاضليًا من الرتبة k . على وجه التحديد، يمكننا تفكيك

د=أناد∘جك{\displaystyle D=i_{D}\circ j^{k}}

أينأناد{\displaystyle i_{D}}هي عملية تحويل من نفاثات مقاطع E إلى الحزمة F. انظر أيضًا المؤثرات التفاضلية الجوهرية .

مثال: لابلاس

ضع في اعتبارك المعامل التالي:

(لو)(x0)=ليمر→02در21|Sر|∫Sر(و(x)-و(x0))دx{\displaystyle (Lf)(x_{0})=\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(f(x)-f(x_{0}))dx}

أينو∈ج∞(Rد){\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}وSر{\displaystyle S_{r}}هل الكرة مركزها عندx0{\displaystyle x_{0}}بنصف قطرر{\displaystyle r}هذا في الواقع هو لابلاس، كما يتضح من خلال نظرية تايلور. سنوضح ذلك.ل{\displaystyle L}هو مؤثر تفاضلي وفقًا لنظرية بيتر. الفكرة الرئيسية هي أنه بما أنلو(x0){\displaystyle Lf(x_{0})}يتم تعريفها فقط من حيثو{\displaystyle f}سلوكه بالقرب منx0{\displaystyle x_{0}}إنها ذات طبيعة محلية؛ على وجه الخصوص، إذاو{\displaystyle f}محليًا يساوي صفرًا، وكذلكلو{\displaystyle Lf}وبالتالي لا يمكن أن ينمو الدعم.

الدليل التقني هو كالتالي.

يتركم=Rد{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{d}}وهـ{\displaystyle E}وF{\displaystyle F}كن الرتبة1{\displaystyle 1}حزم تافهة.

ثمΓ∞(هـ){\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}وΓ∞(F){\displaystyle \Gamma ^{\infty }(F)}هي ببساطة المساحةج∞(Rد){\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}وظائف سلسة علىRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}كحزمة،F(يو){\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}هي مجموعة الدوال الملساء على المجموعة المفتوحةيو{\displaystyle U}والتقييد هو تقييد للوظيفة.

لترىل{\displaystyle L}هو بالفعل تشاكل، نحتاج إلى التحقق(لu)|V=ل(u|V){\displaystyle (Lu)|V=L(u|V)}للمجموعات المفتوحةيو{\displaystyle U}وV{\displaystyle V}بحيثV⊆يو{\displaystyle V\subseteq U}وu∈ج∞(يو){\displaystyle u\in C^{\infty }(U)}هذا واضح لأنx∈V{\displaystyle x\in V}، كلاهما[(لu)|V](x){\displaystyle [(Lu)|V](x)}و[ل(u|V)](x){\displaystyle [L(u|V)](x)}هي ببساطةليمر→02در21|Sر|∫Sر(u(y)-u(x))دy{\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(u(y)-u(x))dy}، كما هو الحالSر{\displaystyle S_{r}}وفي النهاية يجلس داخل كليهمايو{\displaystyle U}وV{\displaystyle V}على أي حال.

من السهل التحقق من ذلكل{\displaystyle L}خطي:

ل(و+ز)=ل(و)+ل(ز){\displaystyle L(f+g)=L(f)+L(g)}ول(أو)=أل(و){\displaystyle L(af)=aL(f)}

وأخيراً، نتحقق من ذلكل{\displaystyle L}محلي بمعنى أنsuصصلو⊆suصصو{\displaystyle suppLf\subseteq suppf}. لوx0∉suصص(و){\displaystyle x_{0}\notin supp(f)}، ثم∃ر>0{\displaystyle \exists r>0}بحيثو=0{\displaystyle f=0}في كرة نصف قطرها ر{\displaystyle r}مركزها فيx0{\displaystyle x_{0}}وهكذا، بالنسبة لـx∈ب(x0،ر){\displaystyle x\in B(x_{0},r)}،

∫Sر′(و(y)-و(x))دy=0{\displaystyle \int _{S_{r'}}(f(y)-f(x))dy=0}

لر′<ر-|x-x0|{\displaystyle r'<r-|x-x_{0}|}وبالتالي(لو)(x)=0{\displaystyle (Lf)(x)=0}. لذلك،x0∉suصصلو{\displaystyle x_{0}\notin suppLf}.

وبناءً على نظرية بيتر،ل{\displaystyle L}هو عامل تفاضلي.

مراجع

  • Peetre، J.، Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels أرشفة 2007-09-27 في آلة Wayback .، الرياضيات. سكاند. 7 (1959)، 211-218.
  • بيتر، ج.، تصحيح المقالة وصف مختصر للمشغلين المختلفين ، الرياضيات. سكاند. 8 (1960)، 116-120.
  • Terng, CL , Natural vector bundles and natural differential operators , Am. J. Math. 100 (1978), 775-828.