مساحة صغيرة

وفقًا لمعايير التراص للفضاء الإقليدي كما وردت في نظرية هاين-بوريل ، فإن الفترة $A = [-\infty, -2]$ ليست متراصة لأنها غير محدودة. والفترة $C = [2, 4]$ ليست متراصة لأنها غير مغلقة (مع أنها محدودة). أما الفترة $B = [0, 1]$ فهي متراصة لأنها مغلقة ومحدودة.

في الرياضيات ، وخاصة في الطوبولوجيا العامة والتحليل الرياضي ، تُعدّ خاصية التراص خاصيةً للفضاء تجعله يتصرف في كثير من النواحي كمجموعة منتهية . ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، في مجموعة منتهية، يجب أن تأخذ كل متتالية لانهائية قيمةً ما عددًا لا نهائيًا من المرات، وفقًا لمبدأ خانة الحمام . بالنسبة للمجموعات الجزئية من الفضاء الإقليدي ، فإن العبارة المماثلة هي التراص التتابعي : تكون المجموعة متراصة إذا وفقط إذا كان لكل متتالية لانهائية فيها متتالية جزئية تتقارب إلى نقطة من المجموعة. وبالمثل، بينما تكون كل دالة حقيقية القيمة على مجموعة منتهية محدودة وتصل إلى قيمتها العظمى والصغرى، فإن كل دالة حقيقية القيمة متصلة على فضاء متراص تتمتع بهذه الخصائص. بالنسبة للمجموعات الجزئية المتراصة من الفضاء الإقليدي، تُعرف هذه الخاصية بنظرية القيمة القصوى .

من الخصائص الأساسية الأخرى للمجموعات المنتهية أن لكل غطاء لمجموعة منتهية بواسطة مجموعات جزئية غطاءً جزئيًا منتهيًا: إذ يمكن اختيار عنصر من الغطاء الذي يحتوي كل نقطة من المجموعة المنتهية. تُستخدم الخاصية الطوبولوجية المقابلة لتعريف التراص: يكون الفضاء الطوبولوجي متراصًا إذا كان لكل غطاء مفتوح غطاء جزئي منتهٍ. في الفضاءات المترية، يُكافئ هذا عدة صيغ أخرى، بما في ذلك التراص التتابعي ، مع أن هذه المكافئات قد لا تنطبق على الفضاءات الطوبولوجية الأكثر عمومية. فمثلاً، لكل متتالية في الفترة المغلقة $[0,1]$ متتالية جزئية متقاربة تنتهي في $[0,1]$ ، بينما لا ينطبق هذا على فضاءات مثل الفترة المفتوحة $(0,1)$ وخط الأعداد الحقيقية . بالنسبة للمجموعات الجزئية من الفضاء الإقليدي، يُكافئ التراص كون المجموعة مغلقة ومحدودة ، وفقًا لنظرية هاين-بوريل . غالبًا ما تسمح خاصية التراص بدمج المعلومات المحلية للوصول إلى استنتاجات شاملة. قد يشير مصطلح المجموعة المدمجة إما إلى فضاء طوبولوجي مدمج أو، بشكل أكثر شيوعًا، إلى مجموعة فرعية من فضاء طوبولوجي مدمجة في طوبولوجيا الفضاء الفرعي.

تم تقديم مفهوم التراص رسميًا من قِبل موريس فريشيه عام 1906 في عملٍ عمّم فيه نظرية بولزانو-فايرشتراس من مجموعات النقاط إلى فضاءات الدوال. لاحقًا، طوّر بافيل ألكسندروف وبافيل أوريسون صيغة الغطاء المفتوح التي أصبحت الآن معيارًا في علم الطوبولوجيا. يلعب التراص دورًا محوريًا في الرياضيات؛ فعلى سبيل المثال، تحقق الدوال الحقيقية المتصلة على الفضاءات المتراصة قيمًا عظمى وصغرى، وتعتمد نتائج رئيسية مثل نظرية أرزيلا-أسكولي ونظرية بيانو للوجود على التراص.

التطور التاريخي

في القرن التاسع عشر، تم فهم العديد من الخصائص الرياضية المتباينة التي اعتُبرت لاحقًا من نتائج التراص. فمن جهة، أدرك برنارد بولزانو ( 1817 ) أن أي متتالية محدودة من النقاط (على خط مستقيم أو مستوى، على سبيل المثال) لها متتالية جزئية لا بد أن تقترب في النهاية من نقطة أخرى، تُسمى نقطة النهاية . اعتمد برهان بولزانو على طريقة التنصيف : حيث وُضعت المتتالية في فترة قُسّمت إلى جزأين متساويين، ثم اختير جزء يحتوي على عدد لا نهائي من حدود المتتالية. ويمكن تكرار هذه العملية بتقسيم الفترة الأصغر الناتجة إلى أجزاء أصغر فأصغر، حتى تنتهي عند نقطة النهاية المطلوبة. لم تتضح الأهمية الكاملة لنظرية بولزانو ، وطريقة برهانها، إلا بعد ما يقرب من 50 عامًا عندما أعاد كارل فايرشتراس اكتشافها . ^{[ 2 ]}

في ثمانينيات القرن التاسع عشر، اتضح أنه يمكن صياغة نتائج مشابهة لنظرية بولزانو-فايرشتراس لفضاءات الدوال، وليس فقط للأعداد أو النقاط الهندسية. تعود فكرة اعتبار الدوال نقاطًا في فضاء مُعمَّم إلى أبحاث جوليو أسكولي وسيزار أرزيلا . ^{[ 3 ]} وقد تُوِّجت أبحاثهما بنظرية أرزيلا-أسكولي ، التي كانت تعميمًا لنظرية بولزانو-فايرشتراس لتشمل عائلات الدوال المتصلة ، وخلصت إلى إمكانية استخلاص متتالية دوال متقاربة بانتظام من عائلة دوال مناسبة. ثم لعبت النهاية المنتظمة لهذه المتتالية الدور نفسه الذي لعبته "نقطة النهاية" عند بولزانو. ومع بداية القرن العشرين، بدأت تتراكم نتائج مشابهة لنتائج أرزيلا وأسكولي في مجال المعادلات التكاملية ، كما بحثها ديفيد هيلبرت وإرهارد شميدت . بالنسبة لفئة معينة من دوال غرين الناتجة عن حلول المعادلات التكاملية، أثبت شميدت وجود خاصية مماثلة لنظرية أرزيلا-أسكولي، بمعنى التقارب المتوسط - أو التقارب في ما سيُعرف لاحقًا بفضاء هيلبرت . وقد أدى هذا في نهاية المطاف إلى مفهوم المؤثر المدمج كفرع من المفهوم العام للفضاء المدمج. وكان موريس فريشيه هو من استخلص، في عام 1906 ، جوهر خاصية بولزانو-فايرشتراس، وصاغ مصطلح "التراص" للإشارة إلى هذه الظاهرة العامة (وقد استخدم هذا المصطلح بالفعل في بحثه المنشور عام 1904 ^{[ 4 ]} والذي أدى إلى أطروحته الشهيرة عام 1906).

مع ذلك، ظهر مفهوم مختلف تمامًا للتراص تدريجيًا في أواخر القرن التاسع عشر من دراسة المتصل ، الذي اعتُبر أساسيًا للصياغة الدقيقة للتحليل. في عام ١٨٧٠، بيّن إدوارد هاينه أن الدالة المتصلة المعرفة على فترة مغلقة ومحدودة هي في الواقع متصلة بانتظام . وفي سياق البرهان، استخدم هاينه لِمّةً مفادها أنه من أي غطاء قابل للعد للفترة بواسطة فترات مفتوحة أصغر، يمكن اختيار عدد محدود من هذه الفترات التي تغطيها أيضًا. وقد أدرك إميل بوريل ( ١٨٩٥ ) أهمية هذه اللمة، وعمّمها بيير كوزان (١٨٩٥) وهنري لوبيغ ( ١٩٠٤ ) لتشمل مجموعات عشوائية من الفترات. تُعرف هذه النتيجة الآن باسم نظرية هاينه-بوريل ، وهي خاصية مميزة أخرى تمتلكها المجموعات المغلقة والمحدودة من الأعداد الحقيقية.

كانت هذه الخاصية مهمة لأنها سمحت بالانتقال من المعلومات المحلية حول مجموعة ما (مثل استمرارية دالة) إلى المعلومات الشاملة حول المجموعة (مثل الاستمرارية المنتظمة لدالة). وقد عبّر ليبيغ (1904) عن هذا المفهوم ، واستغله أيضًا في تطوير التكامل الذي يحمل اسمه الآن . في نهاية المطاف، صاغت المدرسة الروسية لطوبولوجيا المجموعات النقطية ، بقيادة بافل ألكسندروف وبافل أوريسون ، مفهوم التراص هاين-بوريل بطريقة يمكن تطبيقها على المفهوم الحديث للفضاء الطوبولوجي . بيّن ألكسندروف وأوريسون (1929) أن النسخة السابقة من التراص التي وضعها فريشيه، والتي تُسمى الآن التراص التسلسلي (النسبي) ، في ظل شروط مناسبة، انبثقت من نسخة التراص التي صيغت بدلالة وجود أغطية جزئية منتهية. لقد أصبح مفهوم التراص هذا هو المفهوم السائد، لأنه لم يكن مجرد خاصية أقوى، بل يمكن صياغته في إطار أكثر عمومية بأقل قدر من الآلات التقنية الإضافية، لأنه يعتمد فقط على بنية المجموعات المفتوحة في الفضاء.

أمثلة أساسية

أي فضاء محدود يكون متراصًا؛ ويمكن الحصول على غطاء جزئي محدود باختيار مجموعة مفتوحة تحتوي على كل نقطة. ومن الأمثلة المهمة على الفضاءات المتراصة الفترة $[0,1]$ (المغلقة) للأعداد الحقيقية . إذا اخترنا عددًا لا نهائيًا من النقاط المختلفة في هذه الفترة، فلا بد من وجود نقطة تراكم بين هذه النقاط. على سبيل المثال ، تقترب الحدود ذات الأرقام الفردية في المتتالية 1، 1/2 ، 1/3 ، 3/4 ، 1/5 ، 5/6 ، 1/7 ، 7/8 ، ... من الصفر بشكل عشوائي ، بينما تقترب الحدود ذات الأرقام الزوجية من الواحد بشكل عشوائي. توضح المتتالية المذكورة أهمية تضمين نقاط حدود الفترة ، لأن نقاط النهاية يجب أن تكون ضمن الفضاء نفسه - فالفترة المفتوحة ( أو شبه المفتوحة ) للأعداد الحقيقية ليست متراصة . من المهم أيضًا أن تكون الفترة محدودة ، لأنه في الفترة $[0,\infty)$ ، يمكن للمرء أن يختار سلسلة النقاط 0، 1، 2، 3، ... ، والتي لا تقترب أي سلسلة فرعية منها في النهاية بشكل تعسفي من أي عدد حقيقي معين.

في بُعدين، تُعتبر الأقراص المغلقة متراصة، لأنه لأي عدد لا نهائي من النقاط المأخوذة من قرص، لا بد أن تقترب مجموعة فرعية من هذه النقاط، مهما بلغت درجة قربها، إما من نقطة داخل القرص أو من نقطة على حدوده. وبالمثل، تُعتبر الدائرة في المستوى متراصة (يتضح ذلك من كونها مغلقة ومحدودة). مع ذلك، لا يُعتبر القرص المفتوح متراصًا، لأن سلسلة من النقاط يمكن أن تقترب من حدوده دون أن تقترب من أي نقطة داخله. كذلك، تُعتبر الكرات متراصة، لكن الكرة التي تفتقر إلى نقطة ليست كذلك، لأن سلسلة من النقاط يمكن أن تقترب من تلك النقطة المفقودة، وبالتالي لا تقترب من أي نقطة داخل الفضاء. أما الخطوط والمستويات، فلا تُعتبر متراصة، لأنه يمكن أخذ مجموعة من النقاط المتساوية التباعد في أي اتجاه دون الاقتراب من أي نقطة.

التعريفات

قد تنطبق تعريفات مختلفة للتراص، تبعًا لمستوى العمومية. على وجه الخصوص، تكون مجموعة جزئية من الفضاء الإقليدي متراصة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة . وهذا يعني، وفقًا لنظرية بولزانو-فايرشتراس ، أن أي متتالية لانهائية من المجموعة لها متتالية جزئية تتقارب إلى نقطة في المجموعة. ويمكن تطوير مفاهيم مكافئة مختلفة للتراص، مثل التراص المتسلسل والتراص عند نقطة النهاية ، في الفضاءات المترية العامة . ^[⁵^]

على النقيض من ذلك، فإن مفاهيم التراص المختلفة ليست متكافئة في الفضاءات الطوبولوجية العامة ، ويُعرَّف المفهوم الأكثر فائدة للتراص - والذي كان يُسمى في الأصل التراص الثنائي - باستخدام أغطية تتكون من مجموعات مفتوحة (انظر تعريف الغطاء المفتوح أدناه). يُعرف أن هذا الشكل من التراص ينطبق على المجموعات الفرعية المغلقة والمحدودة من الفضاء الإقليدي باسم نظرية هاين-بوريل . يسمح التراص، عند تعريفه بهذه الطريقة، غالبًا بأخذ المعلومات المعروفة محليًا - في جوار كل نقطة من نقاط الفضاء - وتعميمها لتشمل معلومات عامة في جميع أنحاء الفضاء. ومن الأمثلة على هذه الظاهرة نظرية ديريشليه، التي طبقها هاين في الأصل، والتي تنص على أن الدالة المتصلة على فترة مغلقة تكون متصلة بانتظام ؛ هنا، الاتصال خاصية محلية للدالة، والاتصال المنتظم هو الخاصية العامة المقابلة.

تعريف الغطاء المفتوح

بصورة رسمية، يُطلق على الفضاء الطوبولوجي $X اسم$ الفضاء المضغوط إذا كان لكل غطاء مفتوح لـ $X$ غطاء جزئي منتهٍ . [ ⁶^]^أي أن $X$ يكون مضغوطًا إذا كان لكل مجموعة $C$ من المجموعات الجزئية المفتوحة ^[⁷^] من $X$ بحيث

$X=\bigcup _{S\in C}S\ ,$

يوجد مجموعة جزئية منتهية $F$ ⊆ $C$ بحيث

$X=\bigcup _{S\in F}S\ .$

تستخدم بعض فروع الرياضيات، كالهندسة الجبرية ، المتأثرة عادةً بالمدرسة الفرنسية لبورباكي ، مصطلح "شبه متراص" للدلالة على المفهوم العام، وتخصّص مصطلح "متراص" للفضاءات الطوبولوجية التي تجمع بين خصائص هاوسدورف وشبه المتراصة . ويُشار أحيانًا إلى المجموعة المتراصة بـ" متراصة" (compactum )، وجمعها "متراصات " (compacta ).

تماسك المجموعات الجزئية

تكون المجموعة الجزئية $K$ من الفضاء الطوبولوجي $X$ متراصة إذا كان لكل مجموعة $C$ عشوائية من المجموعات الجزئية المفتوحة من $X$ بحيث

$K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,$

يوجد مجموعة جزئية منتهية $F$ ⊆ $C$ بحيث

$K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .$

بصورة مكافئة، تكون $K$ مجموعة مضغوطة كمجموعة جزئية من $X$ إذا وفقط إذا كانت الفضاء الطوبولوجي $K$ مضغوطًا في طوبولوجيا الفضاء الجزئي . على وجه الخصوص، إذا $K\subset Y\subset X$ إذا كانت المجموعة الجزئية $Y$ مزودة بطوبولوجيا الفضاء الجزئي، فإن $K$ تكون متراصة في $Y$ إذا وفقط إذا كانت $K$ متراصة في $X.$ علاوة على ذلك، فإن تراص $K$ كمجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي $X$ مستقل عن التضمين، بشرط أن تكون طوبولوجيا الفضاء الجزئي على $K$ هي نفسها.

توصيف

إذا كان $X$ فضاءً طوبولوجيًا، فإن ما يلي متكافئ:

$X$ مضغوطة؛ أي أن كل غطاء مفتوح لـ $X له$ غطاء فرعي محدود .
$X$ لها قاعدة فرعية بحيث يكون لكل غطاء للفضاء، بواسطة أعضاء القاعدة الفرعية، غطاء فرعي محدود ( نظرية القاعدة الفرعية لألكسندر ).
$X$ هي مجموعة ليندلوف ومضغوطة قابلة للعد . ^{[ 8 ]}
أي مجموعة من المجموعات الفرعية المغلقة من $X$ التي تتمتع بخاصية التقاطع المحدود لها تقاطع غير فارغ.
كل شبكة على $X$ لها شبكة فرعية متقاربة (انظر المقال عن الشبكات للحصول على برهان).
كل مرشح على $X$ له تحسين متقارب.
كل شبكة على $X$ لها نقطة تجميع.
كل مرشح على $X$ له نقطة تجميع.
كل مرشح فائق على $X$ يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل.
كل مجموعة جزئية لانهائية من $X$ لها نقطة تراكم كاملة . ^{[ 9 ]}
لكل فضاء طوبولوجي $Y$ ، الإسقاط $X\times Y\to Y$ هي دالة مغلقة ^{[ 10 ]} (انظر الخريطة المناسبة ).
كل غطاء مفتوح مرتب خطيًا حسب احتواء المجموعة الجزئية يحتوي ^على $X.$ [ ^{11 ]}

يعرّف بورباكي الفضاء المضغوط (الفضاء شبه المضغوط) بأنه فضاء طوبولوجي حيث يكون لكل مرشح نقطة تجميع (أي، 8 في ما سبق). ^{[ 12 ]}

الفضاء الإقليدي

بالنسبة لأي مجموعة جزئية $A$ من الفضاء الإقليدي ، تكون $A$ مضغوطة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة ؛ هذه هي نظرية هاين-بوريل .

بما أن الفضاء الإقليدي هو فضاء متري، فإن الشروط الواردة في القسم الفرعي التالي تنطبق أيضًا على جميع مجموعاته الجزئية. ومن بين جميع الشروط المكافئة، يُعد التحقق من كون مجموعة جزئية ما مغلقة ومحدودة، على سبيل المثال، بالنسبة لفترة مغلقة أو كرة مغلقة من الرتبة $n$ ، أسهل عمليًا .

المسافات المترية

بالنسبة لأي فضاء متري $(X ، d)$ ، فإن ما يلي متكافئ (بافتراض أن الاختيار قابل للعد ):

$(X, d)$ مجموعة متراصة.
$(X, d)$ كاملة ومحدودة تمامًا (وهذا يكافئ أيضًا التراص للفضاءات المنتظمة ). ^{[ 13 ]}
$(X, d)$ مضغوطة تسلسليًا؛ أي أن كل متتالية في $X$ لها متتالية فرعية متقاربة حدها في $X$ (وهذا يكافئ أيضًا التراص للفضاءات المنتظمة القابلة للعد الأول ).
$(X, d)$ هي مجموعة نقطية حدية مضغوطة (تسمى أيضًا مضغوطة بشكل ضعيف قابل للعد )؛ أي أن كل مجموعة جزئية لانهائية من $X لها$ نقطة حدية واحدة على الأقل في $X.$
$(X, d)$ مضغوطة قابلة للعد ؛ أي أن كل غطاء مفتوح قابل للعد لـ $X$ له غطاء فرعي محدود.
$X$ فارغة أو $(X ، d)$ هي صورة دالة متصلة من مجموعة كانتور . ^{[ 14 ]}
كل تسلسل متناقص متداخل من المجموعات الفرعية المغلقة غير الفارغة $S 1 \supseteq S 2 \supseteq ...$ في $(X, d)$ له تقاطع غير فارغ.
كل تسلسل متداخل متزايد من المجموعات الفرعية المفتوحة المناسبة $S 1 \subseteq S 2 \subseteq ...$ في $(X, d)$ يفشل في تغطية $X$ .

كما أن الفضاء المتري المضغوط $(X ، d)$ يحقق الخصائص التالية:

مبرهنة عدد ليبيغ : لكل غطاء مفتوح لـ $X$ ، يوجد عدد δ > 0 بحيث أن كل مجموعة جزئية من $X$ قطرها < $δ$ موجودة في عنصر ما من الغطاء.
$(X, d)$ فضاء قابل للعد من الدرجة الثانية ، وقابل للفصل ، ويتمتع بخاصية ليندلوف – هذه الشروط الثلاثة متكافئة بالنسبة للفضاءات المترية. والعكس غير صحيح؛ على سبيل المثال، قد يحقق فضاء منفصل قابل للعد هذه الشروط الثلاثة، ولكنه ليس متراصًا.
$X$ مجموعة مغلقة ومحدودة (كمجموعة جزئية من أي فضاء متري يكون مقياسه المقيد هو $d$ ). قد لا يكون العكس صحيحًا بالنسبة للفضاءات غير الإقليدية؛ على سبيل المثال، خط الأعداد الحقيقية المزود بالمقياس المنفصل مغلق ومحدود ولكنه ليس متراصًا، لأن مجموعة جميع العناصر المفردة في هذا الفضاء هي غطاء مفتوح لا يقبل أي غطاء جزئي منتهٍ. وهو كامل ولكنه ليس محدودًا تمامًا.

مساحات منظمة

بالنسبة للفضاء المرتب $(X ، <)$ (أي مجموعة مرتبة كليًا مزودة بطوبولوجيا الترتيب)، فإن ما يلي متكافئ:

$(X, <)$ متراصة.
كل مجموعة جزئية من $X$ لها قيمة عليا (أي حد أعلى أصغر) في $X.$
كل مجموعة جزئية من $X$ لها حد أدنى (أي حد أدنى كبير) في $X.$
كل مجموعة فرعية مغلقة غير فارغة من $X$ لها عنصر أقصى وعنصر أدنى.

يُطلق على الفضاء المرتب الذي يحقق (أيًا من) هذه الشروط اسم الشبكة الكاملة.

بالإضافة إلى ذلك، فإن ما يلي متكافئ لجميع الفضاءات المرتبة $(X ، <)$ ، ويكون صحيحًا (بافتراض الاختيار القابل للعد ) كلما كان $(X ، <)$ مضغوطًا (العكس يفشل بشكل عام إذا لم يكن $(X ، <)$ قابلًا للقياس أيضًا):

كل متتالية في $(X ، <)$ لها متتالية فرعية تتقارب في $(X ، <)$ .
كل متتالية متزايدة رتيبة في $X$ تتقارب إلى حد فريد في $X.$
كل متتالية متناقصة رتيبة في $X$ تتقارب إلى نهاية فريدة في $X.$
كل تسلسل متناقص متداخل من المجموعات الفرعية المغلقة غير الفارغة $S$ ₁ ⊇ $S$ ₂ ⊇ ... في $(X, <)$ له تقاطع غير فارغ.
كل تسلسل متداخل متزايد من المجموعات الفرعية المفتوحة المناسبة S $1$ _⊆ S $2$ _⊆ ... في $(X, <)$ يفشل في تغطية $X.$

التوصيف بواسطة الدوال المتصلة

ليكن $X$ فضاء هاوسدورف منتظمًا تمامًا، وليكن C ( $X) حلقة$ الدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية على $X.$ لكل $p \in X$ ، تكون خريطة التقييم $\operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R}$ مقدم من $\operatorname {ev} _{p}(f)=f(p)$ هو تشاكل حلقي . نواته $M_{p}=\ker(\operatorname {ev} _{p})$ هو مثالي أقصى ، لأنه وفقًا لنظرية التشاكل الأولى $C(X)/M_{p}\cong \mathbb {R} .$

بالنسبة لفضاء هاوسدورف منتظم تمامًا $X$ ، يكون $X$ شبه متراص إذا وفقط إذا كان كل مثالي أقصى M من C(X) حقيقيًا $،$ مما $يعني أن حقل$ البقايا الخاص به $C($ $X$ $)/$ $M$ متماثل مع $\mathbb {R} .$ علاوة على ذلك، تكون $X$ مجموعة حقيقية متراصة إذا وفقط إذا كان كل مثالي أعظمي حقيقي من الشكل $M p$ لبعض $p \in X.$ وبالتالي، تكون $X$ متراصة إذا وفقط إذا كان كل مثالي أعظمي في $C(X)$ هو نواة تشاكل تقييمي. ^{[ 15 ]}

إذا لم يكن $X شبه متراص، فإن$ $C(X)$ يحتوي على مثاليات قصوى تكون حقولها المتبقية امتدادات حقل مرتبة مناسبة لـ $\mathbb {R}$ ، والتي تسمى غالبًا بالحقول فائقة الواقعية . في إطار التحليل غير القياسي ، يتوافق هذا مع التوصيف التالي للتراص: ^{[ 16 ]} الفضاء الطوبولوجي $X$ يكون متراصًا إذا وفقط إذا كانت كل نقطة من الامتداد الطبيعي * $X$ قريبة بشكل لانهائي من نقطة ما في $X$ (أي تقع في موناد نقطة من $X$ ).

تعريف الواقعية المفرطة

الفضاء $X$ متراص إذا كان امتداده الفائق الحقيقي $*X$ (الذي يُنشأ، على سبيل المثال، باستخدام بناء القوة الفائقة ) يتمتع بخاصية أن كل نقطة من $*X$ قريبة بشكل لانهائي من نقطة ما في $X \subset *X$ . على سبيل المثال، الفترة الحقيقية المفتوحة $X = (0, 1)$ ليست متراصة لأن امتدادها الفائق الحقيقي $*(0,1)$ يحتوي على متناهية الصغر، وهي قريبة بشكل لانهائي من 0، الذي ليس نقطة من $X.$

شروط كافية

المجموعة الجزئية المغلقة من الفضاء المضغوط تكون مضغوطة. ^{[ 17 ]}
اتحاد عدد محدود من المجموعات المدمجة هو مجموعة مدمجة .
صورة الفضاء المتراص تحت دالة متصلة تكون متراصة. ^{[ 18 ]}
تقاطع أي مجموعة غير فارغة من المجموعات الفرعية المدمجة في فضاء هاوسدورف يكون مدمجًا (ومغلقًا).
- إذا لم تكن $X$ مجموعة هاوسدورف، فقد لا يكون تقاطع مجموعتين جزئيتين متراصتين متراصتين. ^{[ أ ]}
إن حاصل ضرب أي مجموعة من الفضاءات المتراصة هو فضاء متراص. (هذه هي نظرية تيكونوڤ ، وهي مكافئة لمسلمة الاختيار ).
في الفضاء القابل للقياس ، تكون المجموعة الجزئية مضغوطة إذا وفقط إذا كانت مضغوطة تسلسليًا (بافتراض وجود اختيار قابل للعد ).
المجموعة المنتهية المزودة بأي طوبولوجيا تكون متراصة.

خصائص المساحات المدمجة

يُطلق على الفضاء الذي تكون فيه كل مجموعة جزئية مضغوطة مغلقة اسم فضاء KC .
- المجموعة الجزئية المدمجة من فضاء هاوسدورف $X$ مغلقة.
- إذا لم تكن المجموعة $X$ مجموعة هاوسدورف، فقد لا تكون المجموعة الجزئية المدمجة من X مجموعة جزئية ^مغلقة $من$ $X.$ [ ^ب^]^[^ج^]
- إذا لم تكن $X$ مجموعة هاوسدورف، فقد لا يكون إغلاق المجموعة المدمجة مدمجًا. ^{[ د ]}
- إذا لم تكن $X$ مجموعة هاوسدورف، فإنه لا يزال من الممكن أن تكون كل مجموعة جزئية مضغوطة مغلقة. ^{[ هـ ]}
في أي فضاء متجهي طوبولوجي (TVS)، تكون المجموعة الجزئية المدمجة كاملة . ومع ذلك، يحتوي كل فضاء متجهي طوبولوجي غير هاوسدورف على مجموعات جزئية مدمجة (وبالتالي كاملة) غير مغلقة .
إذا كانت $A$ و $B$ مجموعتين جزئيتين مضغوطتين منفصلتين من فضاء هاوسدورف $X$ ، فإنه توجد مجموعتان مفتوحتان منفصلتان $U$ و $V$ في $X$ بحيث $A \subseteq U$ و $B \subseteq V.$
التقابل المستمر من فضاء متراص إلى فضاء هاوسدورف هو تماثل شكلي .
الفضاء الهاوسدورفي المضغوط طبيعي ومنتظم .
إذا كان الفضاء $X$ مضغوطًا وهاوسدورف، فلا توجد طوبولوجيا أدق على $X$ مضغوطة، ولا توجد طوبولوجيا أدق على $X$ هاوسدورف.
إذا كانت مجموعة جزئية من فضاء متري $(X ، d)$ مضغوطة، فإنها تكون محدودة $بـ d$ .

وظائف ومساحات مدمجة

بما أن صورة الفضاء المتراص تحت تأثير دالة متصلة تكون متراصة، فإن نظرية القيمة القصوى تنطبق على هذه الفضاءات: دالة حقيقية متصلة على فضاء متراص غير فارغ تكون محدودة من الأعلى وتصل إلى قيمتها العليا. ^{[ 19 ]} (بشكل أعم، ينطبق هذا على الدوال شبه المتصلة من الأعلى). وكعكس لما سبق، فإن الصورة العكسية للفضاء المتراص تحت تأثير تطبيق مناسب تكون متراصة.

عمليات التكثيف

كل فضاء طوبولوجي $X$ هو فضاء جزئي مفتوح وكثيف من فضاء متراص يحتوي على نقطة واحدة على الأكثر أكثر من $X$ ، وذلك وفقًا لتقنية ألكساندروف للتراص أحادي النقطة . وبنفس الطريقة، كل فضاء هاوسدورف متراص محليًا $X$ هو فضاء جزئي مفتوح وكثيف من فضاء هاوسدورف متراص يحتوي على نقطة واحدة على الأكثر أكثر من $X.$

مساحات صغيرة منظمة

تحتوي المجموعة الجزئية المدمجة غير الفارغة من الأعداد الحقيقية على عنصر أكبر وعنصر أصغر.

ليكن $X$ مجموعة مرتبة كليًا مزودة بطوبولوجيا الترتيب . عندئذٍ تكون $X$ متراصة إذا وفقط إذا كانت $X$ شبكة كاملة (أي أن جميع المجموعات الجزئية لها قيم عليا وقيم دنيا). ^{[ 20 ]}

أمثلة

أي فضاء طوبولوجي محدود ، بما في ذلك المجموعة الفارغة ، يكون متراصًا. وبشكل أعم، أي فضاء ذو طوبولوجيا محدودة (أي عدد محدود من المجموعات المفتوحة فقط) يكون متراصًا؛ وهذا يشمل على وجه الخصوص الطوبولوجيا التافهة .
أي فضاء يحمل طوبولوجيا محدودة يكون مضغوطاً.
يمكن تحويل أي فضاء هاوسدورف متراص محليًا إلى فضاء متراص بإضافة نقطة واحدة إليه، وذلك باستخدام تقنية التراص أحادي النقطة لألكساندروف . $\mathbb {R}$ متماثلة شكليًا مع الدائرة $S1 ؛$ التكثيف بنقطة واحدة لـ $\mathbb {R} ^{2}$ متماثلة شكليًا مع الكرة $S 2.$ باستخدام التكثيف بنقطة واحدة، يمكن للمرء أيضًا بسهولة إنشاء فضاءات مضغوطة ليست هاوسدورف، عن طريق البدء بفضاء غير هاوسدورف.
تكون طوبولوجيا الترتيب الأيمن أو طوبولوجيا الترتيب الأيسر على أي مجموعة محدودة مرتبة كليًا متراصة. وعلى وجه الخصوص، فإن فضاء سيربينسكي متراص.
لا يوجد فضاء منفصل ذو عدد لا نهائي من النقاط يكون متراصًا. مجموعة جميع العناصر المفردة في هذا الفضاء هي غطاء مفتوح لا يقبل أي غطاء جزئي منتهٍ. الفضاءات المنفصلة المنتهية متراصة.
في $\mathbb {R}$ مع وجود بنية الحد الأدنى ، لا توجد مجموعة غير قابلة للعد مضغوطة.
في الطوبولوجيا القابلة للعد المشترك على مجموعة غير قابلة للعد، لا توجد مجموعة لانهائية متراصة. وكما في المثال السابق، فإن الفضاء ككل ليس متراصًا محليًا ولكنه يظل فضاء ليندلوف .
الفترة المغلقة $[0, 1]$ متراصة. هذا ما يستنتج من نظرية هاين-بوريل . أما الفترة المفتوحة $(0, 1)$ فهي غير متراصة: الغطاء المفتوح ${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$ بالنسبة لـ $n = 3، 4، ...،$ لا يوجد غطاء جزئي منتهٍ. وبالمثل، فإن مجموعة الأعداد النسبية في الفترة المغلقة $[0، 1]$ ليست متراصة: مجموعات الأعداد النسبية في الفترات ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ and }}\left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$ تغطي هذه المجموعة جميع الأعداد النسبية في الفترة [0، 1] لـ $n = 4، 5، ...،$ ولكن هذه المجموعة لا تملك مجموعة فرعية منتهية. هنا، تكون المجموعات مفتوحة في طوبولوجيا الفضاء الفرعي على الرغم من أنها ليست مفتوحة كمجموعات فرعية من $\mathbb {R}$ .
المجموعة $\mathbb {R}$ مجموعة الأعداد الحقيقية ليست متراصة، إذ توجد مجموعة من الفترات المفتوحة لا تحتوي على غطاء جزئي منتهٍ. على سبيل المثال، الفترات $(n - 1, n + 1)$ ، حيث $n$ تأخذ جميع القيم الصحيحة في $Z$ ، تُغطي $\mathbb {R}$ لكن لا يوجد غطاء فرعي محدود.
من جهة أخرى، فإن خط الأعداد الحقيقية الممتد الذي يحمل الطوبولوجيا المماثلة يكون متراصًا؛ لاحظ أن الغطاء الموصوف أعلاه لن يصل أبدًا إلى النقاط عند اللانهاية، وبالتالي لن يغطي خط الأعداد الحقيقية الممتد. في الواقع، تتمتع المجموعة بتماثل طوبولوجي مع [−1, 1] حيث يتم ربط كل لانهاية بوحدة المقابلة لها، وكل عدد حقيقي بإشارته مضروبة في العدد الوحيد في الجزء الموجب من الفترة الذي ينتج عنه قيمته المطلقة عند قسمته على واحد ناقص نفسه، وبما أن التماثلات الطوبولوجية تحافظ على الأغطية، يمكن استنتاج خاصية هاين-بوريل.
لكل عدد طبيعي $n$ ، تكون الكرة $n-$ ية متراصة. وبناءً على نظرية هاين-بوريل، فإن الكرة المغلقة ذات الوحدة لأي فضاء متجهي معياري محدود الأبعاد تكون متراصة. هذا لا ينطبق على الأبعاد اللانهائية؛ في الواقع، يكون الفضاء المتجهي المعياري محدود الأبعاد إذا وفقط إذا كانت كرته المغلقة ذات الوحدة متراصة.
من جهة أخرى، فإن الكرة المغلقة ذات الوحدة في الفضاء الثنائي للفضاء المعياري تكون متراصة بالنسبة لطوبولوجيا * الضعيفة. ( نظرية علاء أوغلو )
مجموعة كانتور متراصة . في الواقع، كل فضاء متري متراص غير فارغ هو صورة متصلة لمجموعة كانتور.
لنعتبر المجموعة $K$ التي تضم جميع الدوال $f : R \to [0, 1]$ من خط الأعداد الحقيقية إلى الفترة المغلقة التي تساوي 1، ولنُعرّف طوبولوجيا على $K$ بحيث تكون متتالية $\{f_{n}\}$ تتقارب الدالة في $K$ نحو $f \in K$ إذا وفقط إذا $\{f_{n}(x)\}$ يتقارب نحو $f (x)$ لجميع الأعداد الحقيقية $x$ . أبسط أنواع هذه الطوبولوجيا، والتي تُسمى أحيانًا طوبولوجيا التقارب النقطي ، هي طوبولوجيا الضرب . في هذه الطوبولوجيا، يكون $K$ فضاءً طوبولوجيًا متراصًا؛ وهذا ما يُستنتج من نظرية تيكونوڤ .
تكون مجموعة فرعية من فضاء باناخ للدوال المستمرة ذات القيم الحقيقية على فضاء هاوسدورف مضغوط مضغوطة نسبيًا إذا وفقط إذا كانت متساوية الاستمرارية ومحدودة نقطيًا ( نظرية أرزيلا-أسكولي ).
لنعتبر المجموعة $K$ التي تضم جميع الدوال $f : [0, 1] \to [0, 1]$ التي تحقق شرط ليبشيتز $| f (x) - f (y) | \leq | x - y |$ لكل $x ، y \in [0, 1]$ . ولنعتبر على $K$ المقياس الناتج عن المسافة المنتظمة $d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.$ وبناءً على نظرية أرزيلا-أسكولي، فإن الفضاء $K$ يكون مضغوطاً.
طيف أي مؤثر خطي محدود على فضاء باناخ هو مجموعة جزئية مضغوطة غير فارغة من الأعداد المركبة $\mathbb {C}$ . وعلى العكس من ذلك، فإن أي مجموعة جزئية مضغوطة من $\mathbb {C}$ ينشأ هذا على هذا النحو، كطيف لبعض المؤثرات الخطية المحدودة. على سبيل المثال، مؤثر قطري على فضاء هيلبرت $\ell ^{2}$ قد تحتوي على أي مجموعة فرعية مضغوطة غير فارغة من $\mathbb {C}$ كطيف.
إن فضاء مقاييس احتمالية بوريل على فضاء هاوسدورف مضغوط يكون مضغوطًا بالنسبة للطوبولوجيا الغامضة ، وفقًا لنظرية ألاوغلو.
تُسمى مجموعة من مقاييس الاحتمال على مجموعات بوريل في الفضاء الإقليدي " مُحكمة" إذا وُجد، لأي قيمة موجبة لإبسيلون، مجموعة جزئية مُدمجة تحتوي على جميع كتل كل مقياس باستثناء قيمة لا تتجاوز إبسيلون. وبناءً على ذلك، تنص نظرية بروخوروف على أن مجموعة مقاييس الاحتمال تكون مُدمجة نسبيًا في حالة الطوبولوجيا الغامضة إذا وفقط إذا كانت مُحكمة.

أمثلة جبرية

لكل زمرة لي شبه بسيطة شكل حقيقي مضغوط ، وهو زمرة طوبولوجية مضغوطة ؛ ومن الأمثلة على ذلك الزمرة المتعامدة للشكل التربيعي الموجب المحدد. كما أن لها أشكالًا حقيقية غير مضغوطة، مثل الزمرة الخطية الخاصة أو زمرة لورنتز .
بما أن الأعداد الصحيحة $p$ -adic متماثلة مع مجموعة كانتور، فإنها تشكل مجموعة مضغوطة.
أي حقل عام K هو زمرة فرعية جمعية منفصلة من حلقة الأديل الخاصة به ، وفضاء القسمة متراص. وقد استُخدم هذا في أطروحة جون تيت للسماح باستخدام التحليل التوافقي في نظرية الأعداد .
إن طيف أي حلقة تبديلية ذات طوبولوجيا زاريسكي (أي مجموعة جميع المُثُل الأولية) يكون متراصًا، ولكنه ليس هاوسدورف أبدًا (إلا في حالات تافهة). في الهندسة الجبرية، تُعد هذه الفضاءات الطوبولوجية أمثلة على المخططات شبه المتراصة ، حيث تشير كلمة "شبه" إلى الطبيعة غير الهاوسدورفية للطوبولوجيا.
إن طيف الجبر البولياني متراص، وهي حقيقة تُعدّ جزءًا من نظرية تمثيل ستون . تُشكّل فضاءات ستون ، وهي فضاءات هاوسدورف متراصة ومنفصلة تمامًا ، الإطار المجرد الذي تُدرس فيه هذه الأطياف. كما تُفيد هذه الفضاءات في دراسة الزمر المنتهية .
إن فضاء البنية لجبر باناخ أحادي التبادل هو فضاء هاوسدورف مضغوط.
مكعب هيلبرت مضغوط، وهذا أيضاً نتيجة لنظرية تيكونوف.
المجموعة المنتهية ( مثل مجموعة غالوا ) تكون متراصة.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ ليكن $\mathbb {N}$ ، $\mathbb {N}$ ، و $\mathbb {N}$ زوّد $X$ بالطوبولوجيا المولدة بواسطة المجموعات المفتوحة الأساسية التالية: كل مجموعة جزئية من $\mathbb {N}$ إذا كانت المجموعة مفتوحة، فإن المجموعتين المفتوحتين الوحيدتين اللتين تحتويان على $a$ هما $X$ و $U$ ، والمجموعتين المفتوحتين الوحيدتين اللتين تحتويان على $b$ هما $X$ و $V.$ إذن، $U$ و $V$ مجموعتان جزئيتان متراصتان، لكن تقاطعهما، وهو $\mathbb {N}$ ، ليست مجموعة متراصة. لاحظ أن كلاً من $U$ و $V$ مجموعتان جزئيتان مفتوحتان متراصتان، وليست أي منهما مغلقة.
↑ ليكن $X = {a, b}$ ولنُزوّد $X$ بالطوبولوجيا ${X, \emptyset, {a}}$ . عندئذٍ، $تكون {a}$ مجموعة متراصة ولكنها ليست مغلقة.
↑ أي مجموعة جزئية لانهائية مناسبة من فضاء ذي طوبولوجيا متناهية هي مجموعة مضغوطة ولكنها ليست مغلقة.
↑ ليكن $X$ مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة. نُزوّد $X$ بطوبولوجيا النقاط الخاصة بتعريف مجموعة جزئية $U \subseteq X$ على أنها مفتوحة إذا وفقط إذا كان $0 \in U.$ عندئذٍ، $تكون S := {0}$ مجموعة متراصة، ويكون إغلاق $S$ هو كل $X$ ، لكن $X$ ليست متراصة لأن مجموعة المجموعات الجزئية المفتوحة ${{0, x} : x \in X}$ لا تملك غطاءً جزئيًا منتهيًا.
↑ بالنسبة للطوبولوجيا القابلة للعد على فضاء يحتوي على عدد لا يمكن عده من النقاط، والتي ليست هاوسدورف، تكون المجموعة الفرعية مضغوطة إذا وفقط إذا كانت منتهية، وجميع المجموعات الفرعية المنتهية مغلقة.

مراجع

↑ تاو، تيرينس (2008). "التراص والتراص". في: جوورز، تيموثي (محرر). دليل برينستون للرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. ص 169-170 . ISBN 978-0-691-11880-2.
↑ كلاين 1990 ، ص 952-953 ؛ بوير وميرزباخ 1991 ، ص 561
↑ كلاين 1990 ، الفصل 46، الفقرة 2
^ فريشيه، م. 1904. “تعميم نظرية Weierstrass” . تحليل الرياضيات .
↑ "التراص التسلسلي" . www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk . محاضرات مقرر MT 4522. تاريخ الاسترجاع: 25 نوفمبر 2019 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الفضاء المضغوط" . وولفرام ماث وورلد . تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2019 .
↑ هنا، تعني كلمة "مجموعة" " مجموعة "، ولكن تم استخدامها لأن "مجموعة من المجموعات الجزئية المفتوحة" أقل غرابة من "مجموعة من المجموعات الجزئية المفتوحة". وبالمثل، تعني كلمة "مجموعة فرعية" "مجموعة جزئية".
↑ Howes 1995 ، ص. xxvi–xxviii.
↑ كيلي 1955 ، ص 163
↑ بورباكي 2007 ، § 10.2. النظرية 1، النتيجة 1.
↑ ماك 1967 .
^ بوربكي 2007 ، § 9.1. التعريف 1.
^ أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، النظرية 5.3.7
↑ نظرية ويلارد 1970 رقم 30.7.
↑ جيلمان وجيريسون 1976 ، §5.6
↑ روبنسون 1996 ، النظرية 4.1.13
^ أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، النظرية 5.2.3
^ أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، النظرية 5.2.2
^ أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، النتيجة الطبيعية 5.2.1
↑ ستين وسيباخ 1995 ، ص 67

فهرس

ألكسندروف, بافيل ; يوريسون ، بافيل (1929). "Mémoire sur les espaces topologiques Compacts". Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam، وقائع قسم العلوم الرياضية . 14 .
أرخانجيلسكي، أ. ف .؛ فيدورتشوك، ف. ف. (1990). "المفاهيم والإنشاءات الأساسية للطوبولوجيا العامة". في: أرخانجيلسكي، أ. ف.؛ بونترياغين، ل. س. (محرران). الطوبولوجيا العامة 1. موسوعة العلوم الرياضية. المجلد 17. سبرينغر. ISBN 978-0-387-18178-3..
أرخانجيلسكي، أ. ف. (2001) [1994]، "الفضاء المتراص" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
بولزانو، برنارد (1817). Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes، حيث أن swischen je zwey Werthen، فإن إحدى النتائج المتقنة تتجه نحو بكرة Wurzel der Gleichung liege . فيلهلم إنجلمان.( برهان تحليلي بحت لنظرية مفادها أنه بين أي قيمتين تعطيان نتائج ذات إشارات متعاكسة، يوجد على الأقل جذر حقيقي واحد للمعادلة ).
بوريل ، إميل (1895). "Sur quelques point de la théorie des fonctions" . الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة . 3. 12 : 9 – 55. دوى : 10.24033/asens.406 . جي اف ام 26.0429.03 .
بورباكي، نيكولاس (2007). الطوبولوجيا العامة. الفصول من 1 إلى 4 . برلين: سبرينغر. دوى : 10.1007/978-3-540-33982-3 . رقم ISBN 978-3-540-33982-3.
بوير، كارل ب. (1959). تاريخ حساب التفاضل والتكامل وتطوره المفاهيمي . نيويورك: منشورات دوفر. MR 0124178 .
بوير، كارل بنيامين ؛ ميرزباخ، أوتا سي (1991). تاريخ الرياضيات (الطبعة الثانية ). جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-54397-8.
أرزيلا، سيزار (1895). "الوظيفة الكاملة للخط". م. العقاد. الخيال العلمي. IST. بولونيا كل. الخيال العلمي. فيس. حصيرة . 5 (5): 55-74 .
أرزيلا، سيزار (1882–1883). ""الصيانة داخل سلسلة الوظائف كلها"." مزق. ديل العقاد. ر.ديلي العلوم. معهد بولونيا : 142– 159.
أسكولي، ج. (1883-1884). "المنحنى محدود في مجموعة متنوعة من بيانات المنحنى". عطية ديلا ر. عقاد. Dei Lincei Memorie della Cl. الخيال العلمي. فيس. حصيرة. نات . 18 (3): 521- 586.
فريشيه، موريس (1906). "Sur quelques Points du calcul fonctionnel" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 22 (1): 1– 72. دوى : 10.1007/BF03018603 . اتش دي ال : 10338.dmlcz/100655 . S2CID 123251660 .
جيلمان، ليونارد؛ جيريسون، ماير (1976). حلقات الدوال المتصلة . سبرينغر-فيرلاغ.
هاوز، نورمان ر. (23 يونيو 1995). التحليل والطوبولوجيا الحديثة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC 31969970 . OL 1272666M .
كيلي، جون (1955). الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 27. سبرينغر-فيرلاغ.
كلاين، موريس (1990) [1972]. الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-506136-9.
ليبيسج، هنري (1904). دروس حول التكامل والبحث عن الوظائف الأولية . غوتييه فيلارز.
ماك، جون (1967). "الأغطية الموجهة والفضاءات شبه المتراصة". المجلة الكندية للرياضيات . 19 : 649-654 . doi : 10.4153/CJM-1967-059-0 . MR 0211382 .
روبنسون، أبراهام (1996). التحليل غير القياسي . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-04490-3MR 0205854 .
سكاربورو، كونيتيكت؛ ستون، أ.هـ. (1966). "حاصل ضرب الفضاءات شبه المتراصة" ( ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 124 (1): 131-147 . doi : 10.2307/1994440 . JSTOR 1994440. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 16 أغسطس 2017. .
ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، ج. آرثر الابن (1995) [1978]. أمثلة مضادة في الطوبولوجيا (إعادة طبع من منشورات دوفر لطبعة 1978). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446 .
ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . منشورات دوفر. ISBN 0-486-43479-6.

روابط خارجية

سوندستروم، مانيا رامان (2010). "تاريخ تربوي للتراص". arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

تتضمن هذه المقالة مواد من أمثلة على المساحات المدمجة على موقع PlanetMath ، المرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

[19] ليكن $\mathbb {N}$ ، $\mathbb {N}$ ، و $\mathbb {N}$ زوّد $X$ بالطوبولوجيا المولدة بواسطة المجموعات المفتوحة الأساسية التالية: كل مجموعة جزئية من $\mathbb {N}$ إذا كانت المجموعة مفتوحة، فإن المجموعتين المفتوحتين الوحيدتين اللتين تحتويان على $a$ هما $X$ و $U$ ، والمجموعتين المفتوحتين الوحيدتين اللتين تحتويان على $b$ هما $X$ و $V.$ إذن، $U$ و $V$ مجموعتان جزئيتان متراصتان، لكن تقاطعهما، وهو $\mathbb {N}$ ، ليست مجموعة متراصة. لاحظ أن كلاً من $U$ و $V$ مجموعتان جزئيتان مفتوحتان متراصتان، وليست أي منهما مغلقة.

[20] ليكن $X = {a, b}$ ولنُزوّد $X$ بالطوبولوجيا ${X, \emptyset, {a}}$ . عندئذٍ، $تكون {a}$ مجموعة متراصة ولكنها ليست مغلقة.

[21] أي مجموعة جزئية لانهائية مناسبة من فضاء ذي طوبولوجيا متناهية هي مجموعة مضغوطة ولكنها ليست مغلقة.

[22] ليكن $X$ مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة. نُزوّد $X$ بطوبولوجيا النقاط الخاصة بتعريف مجموعة جزئية $U \subseteq X$ على أنها مفتوحة إذا وفقط إذا كان $0 \in U.$ عندئذٍ، $تكون S := {0}$ مجموعة متراصة، ويكون إغلاق $S$ هو كل $X$ ، لكن $X$ ليست متراصة لأن مجموعة المجموعات الجزئية المفتوحة ${{0, x} : x \in X}$ لا تملك غطاءً جزئيًا منتهيًا.

[23] بالنسبة للطوبولوجيا القابلة للعد على فضاء يحتوي على عدد لا يمكن عده من النقاط، والتي ليست هاوسدورف، تكون المجموعة الفرعية مضغوطة إذا وفقط إذا كانت منتهية، وجميع المجموعات الفرعية المنتهية مغلقة.

[1] تاو، تيرينس (2008). "التراص والتراص". في: جوورز، تيموثي (محرر). دليل برينستون للرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. ص 169-170 . ISBN 978-0-691-11880-2.

[2] كلاين 1990 ، ص 952-953 ؛ بوير وميرزباخ 1991 ، ص 561

[3] كلاين 1990 ، الفصل 46، الفقرة 2

[4] فريشيه، م. 1904. “تعميم نظرية Weierstrass” . تحليل الرياضيات .

[:0-5] "التراص التسلسلي" . www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk . محاضرات مقرر MT 4522. تاريخ الاسترجاع: 25 نوفمبر 2019 .

[6] وايسشتاين، إريك دبليو. "الفضاء المضغوط" . وولفرام ماث وورلد . تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2019 .

[7] هنا، تعني كلمة "مجموعة" " مجموعة "، ولكن تم استخدامها لأن "مجموعة من المجموعات الجزئية المفتوحة" أقل غرابة من "مجموعة من المجموعات الجزئية المفتوحة". وبالمثل، تعني كلمة "مجموعة فرعية" "مجموعة جزئية".

[FOOTNOTEHowes1995xxvi–xxviii-8] Howes 1995 ، ص. xxvi–xxviii.

[9] كيلي 1955 ، ص 163

[Bourbaki-10] بورباكي 2007 ، § 10.2. النظرية 1، النتيجة 1.

[FOOTNOTEMack1967-11] ماك 1967 .

[BourbakiDefinition-12] بوربكي 2007 ، § 9.1. التعريف 1.

[13] أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، النظرية 5.3.7

[14] نظرية ويلارد 1970 رقم 30.7.

[15] جيلمان وجيريسون 1976 ، §5.6

[16] روبنسون 1996 ، النظرية 4.1.13

[17] أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، النظرية 5.2.3

[18] أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، النظرية 5.2.2

[24] أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، النتيجة الطبيعية 5.2.1

[25] ستين وسيباخ 1995 ، ص 67

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

6

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

على

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ أ ]

مغلقة

[

[ د ]

[ هـ ]

[ 19 ]

[ 20 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗