مشعب فريشي

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصة في التحليل غير الخطي ، فإن مشعب فريشيه هو فضاء طوبولوجي مصمم على أساس فضاء فريشيه بنفس الطريقة التي يتم بها تصميم المشعب على أساس الفضاء الإقليدي .

وبشكل أدق، يتكون مشعب فريشيه من فضاء هاوسدورفX{\displaystyle X}مع أطلس لخرائط الإحداثيات فوق فضاءات فريشيه التي تكون انتقالاتها عبارة عن تحويلات سلسة . وبالتاليX{\displaystyle X}له غطاء مفتوح{يوα}α∈أنا،{\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}_{\alpha \in I},}ومجموعة من التشاكلات المتماثلةϕα:يوα→Fα{\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to F_{\alpha }}على صورهم، حيثFα{\displaystyle F_{\alpha }}هي مساحات فريشيه ، بحيث ϕαβ:=ϕα∘ϕβ-1|ϕβ(يوβ∩يوα){\displaystyle \phi _{\alpha \beta }:=\phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1}|_{\phi _{\beta }\left(U_{\beta }\cap U_{\alpha }\right)}}يكون سلسًا لجميع أزواج المؤشراتα،β.{\displaystyle \alpha ,\beta .}

التصنيف حتى التماثل المتماثل

ليس صحيحاً بأي حال من الأحوال أن مشعبًا محدود الأبعاد ذو بُعدن{\displaystyle n}متماثل عالميًا معRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}أو حتى مجموعة فرعية مفتوحة منRن.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} مع ذلك، في سياق لانهائي الأبعاد، من الممكن تصنيف مشعبات فريشيه " حسنة السلوك " بدقة تامة حتى التشاكل الموضعي. تنص نظرية ديفيد هندرسون لعام 1969 على أن كل مشعب فريشيه متري قابل للفصل ولانهائي الأبعاد هو مشعب فريشيه لانهائي الأبعاد .X{\displaystyle X}يمكن تضمينها كمجموعة فرعية مفتوحة من فضاء هيلبرت القابل للفصل ذي الأبعاد اللانهائية ،ح{\displaystyle H}(باستثناء التشاكل الخطي، لا يوجد سوى فضاء واحد من هذا النوع).

يمكن استخدام التماثل المضمن كمخطط عالمي لـX.{\displaystyle X.} وبالتالي، في حالة الفضاءات المترية القابلة للفصل ذات الأبعاد اللانهائية، وحتى التشاكل الموضعي، فإن مشعبات فريشيه الطوبولوجية "الوحيدة" هي المجموعات الفرعية المفتوحة من فضاء هيلبرت اللانهائي الأبعاد القابل للفصل. أما في حالة مشعبات فريشيه القابلة للتفاضل أو الملساء (حتى المفهوم المناسب للتشاكل التفاضلي)، فإن هذا لا ينطبق .

انظر أيضاً

مراجع