تقريب بيركوس-يفيك

في الميكانيكا الإحصائية، يُعد تقريب بيركوس -يفيك ^{[ 1 ]} علاقة إغلاق لحل معادلة أورنستين-زيرنيك . ويُشار إليه أيضًا باسم معادلة بيركوس-يفيك . ويُستخدم هذا التقريب بشكل شائع في نظرية الموائع للحصول على تعابير، على سبيل المثال، لدالة التوزيع الشعاعي . سُمّي هذا التقريب نسبةً إلى جيروم ك. بيركوس وجورج ج. يفيك .

تمثل دالة الارتباط المباشر الارتباط المباشر بين جسيمين في نظام يحتوي على N − 2 جسيمًا آخر. ويمكن تمثيلها بواسطة  

${\displaystyle c(r)=g_{\rm {total}}(r)-g_{\rm {indirect}}(r)\,}$

أين${\displaystyle g_{\rm {total}}(r)}$هي دالة التوزيع الشعاعي ، أي${\displaystyle g(r)=\exp[-\beta w(r)]}$(حيث w ( r ) هو جهد القوة المتوسطة ) و${\displaystyle g_{\rm {indirect}}(r)}$هي دالة التوزيع الشعاعي بدون التفاعل المباشر بين الأزواج${\displaystyle u(r)}$مشمول؛ أي أننا نكتب${\displaystyle g_{\rm {indirect}}(r)=\exp[-\beta (w(r)-u(r))]}$وبالتالي، نقوم بتقريب قيمة c ( r ) بواسطة

${\displaystyle c(r)=e^{-\beta w(r)}-e^{-\beta [w(r)-u(r)]}.\,}$

إذا أدخلنا الدالة${\displaystyle y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)}$بإدخال التقريب لـ c ( r ) نحصل على

${\displaystyle c(r)=g(r)-y(r)=e^{-\beta u}y(r)-y(r)=f(r)y(r).\,}$

هذا هو جوهر تقريب بيركوس-يفيك، فإذا استبدلنا هذه النتيجة في معادلة أورنستين-زيرنيك ، نحصل على معادلة بيركوس-يفيك :

${\displaystyle y(r_{12})=1+\rho \int f(r_{13})y(r_{13})h(r_{23})d\mathbf {r_{3}} .\,}$

تم تعريف التقريب بواسطة بيركوس ويفيك في عام 1958.

بالنسبة للكرات الصلبة ، يكون الجهد u(r) إما صفرًا أو لانهائيًا، وبالتالي يكون عامل بولتزمان${\displaystyle {\text{e}}^{-u/k_{\text{B}}T}}$تكون قيمة إما واحدًا أو صفرًا، بغض النظر عن درجة الحرارة T. لذلك، فإن بنية سائل الكرات الصلبة لا تعتمد على درجة الحرارة. وهذا يترك معيارين فقط: نصف قطر النواة الصلبة R (الذي يمكن حذفه عن طريق إعادة قياس المسافات أو الأعداد الموجية)، ونسبة التعبئة η (التي تبلغ قيمتها القصوى 0.64 للتعبئة العشوائية المتقاربة ).

في ظل هذه الظروف، فإن معادلة بيركوس-يفيك لها حل تحليلي، حصل عليه ويرثيم في عام 1963. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

دالة مزدوجة py ( مزدوجة qr ، مزدوجة eta ) { const double a = pow ( 1 + 2 * eta , 2 ) / pow ( 1 - eta , 4 ); const double b = -6 * eta * pow ( 1 + eta / 2 , 2 ) / pow ( 1 - eta , 4 ); const double c = eta / 2 * pow ( 1 + 2 * eta , 2 ) / pow ( 1 - eta , 4 ); const double A = 2 * qr ; const double A2 = A * A ; const double G = a / A2 * ( sin ( A ) - A * cos ( A )) + b / A / A2 * ( 2 * A * sin ( A ) + ( 2 - A2 ) * cos ( A ) -2 ) + c / pow ( A , 5 ) * ( - pow ( A , 4 ) * cos ( A ) + 4 * (( 3 * A2 -6 ) * cos ( A ) + A * ( A2 -6 ) * sin ( A ) + 6 ));العودة 1 / ( 1 + 24 * إيتا * G / A ); }

بالنسبة للكرات الصلبة في التدفق القصي ، تنشأ الدالة u(r) من حل معادلة سمولوشوفسكي ثنائية الجسم في حالة الاستقرار، أو معادلة سمولوشوفسكي ثنائية الجسم مع التدفق القصي. وقد تم إيجاد حل تحليلي تقريبي لمعادلة سمولوشوفسكي باستخدام طريقة التوسعات التقاربية المتطابقة بواسطة بانيتا وزاكون في المرجع ^{[ 5 ] .}

يمكن استخدام هذا الحل التحليلي مع تقريب بيركوس-يفيك في معادلة أورنستين-زيرنيك . ويمكن الحصول على حلول تقريبية لدالة توزيع الأزواج في قطاعي التمدد والانضغاط لتدفق القص ، وبالتالي دالة التوزيع الشعاعي المتوسطة زاويًا ، كما هو موضح في المرجع ^{[ 6 ]} ، وهي حلول تتوافق بشكل جيد مع البيانات العددية حتى نسب التعبئة، دون الحاجة إلى معلمات.${\displaystyle \eta \approx 0.5}$.

• معادلة السلسلة المتشابكة - علاقة إغلاق أخرى
• معادلة أورنستين-زيرنيك