الإغلاق (الرياضيات)

في الرياضيات، تُعتبر مجموعة جزئية من مجموعة أكبر مغلقة تحت عملية معينة على المجموعة الأكبر إذا كان إجراء تلك العملية على عناصر المجموعة الجزئية ينتج عنه دائمًا عنصر من تلك المجموعة. على سبيل المثال، الأعداد الطبيعية مغلقة تحت عملية الجمع، ولكنها ليست مغلقة تحت عملية الطرح: 1 - 2 ليس عددًا طبيعيًا، على الرغم من أن 1 و2 عددان طبيعيان.

وبالمثل، يقال إن مجموعة فرعية مغلقة تحت مجموعة من العمليات إذا كانت مغلقة تحت كل عملية من العمليات على حدة.

إغلاق مجموعة جزئية هو نتيجة تطبيق عامل الإغلاق عليها. ويُعرف إغلاق مجموعة جزئية تحت تأثير عمليات معينة بأنه أصغر مجموعة شاملة مغلقة تحت تأثير هذه العمليات. ويُطلق عليه غالبًا اسم الامتداد (مثل الامتداد الخطي ) أو المجموعة المولدة .

ليكن S مجموعة مزودة بطريقة واحدة أو أكثر لإنتاج عناصر من S من عناصر أخرى من S. ^{[ ملاحظة 1} ] يُقال إن ^مجموعة جزئية X من S مغلقة في ظل هذه الطرق إذا كان إدخال عناصر X فقط ينتج عنه دائمًا عنصر لا يزال في X. في بعض الأحيان، يمكن القول أيضًا أن X لهاخاصية الإغلاق .

الخاصية الرئيسية للمجموعات المغلقة، والتي تنتج مباشرة من التعريف، هي أن كل تقاطع لمجموعتين مغلقتين هو مجموعة مغلقة . ويترتب على ذلك أنه لكل مجموعة جزئية Y من S ، توجد أصغر مجموعة جزئية مغلقة X من S بحيث${\displaystyle Y\subseteq X}$( هو تقاطع جميع المجموعات الجزئية المغلقة التي تحتوي على Y ). اعتمادًا على السياق، يُطلق على X اسم إغلاق Y أو المجموعة المولدة أو الممتدة بواسطة Y.

غالبًا ما يتم توسيع مفهومي المجموعات المغلقة والانغلاق ليشمل أي خاصية من خصائص المجموعات الجزئية التي تكون مستقرة تحت التقاطع؛ أي أن كل تقاطع لمجموعات جزئية تمتلك الخاصية يمتلك أيضًا الخاصية. على سبيل المثال، في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$المجموعة المغلقة زاريسكي ، والمعروفة أيضًا باسم المجموعة الجبرية ، هي مجموعة الأصفار المشتركة لعائلة من كثيرات الحدود، وإغلاق زاريسكي لمجموعة V من النقاط هو أصغر مجموعة جبرية تحتوي على V.

علاقة ثنائية${\displaystyle R}$على مجموعة${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle A\times A}$وهي مجموعة جميع الأزواج المرتبة على${\displaystyle A}$. تدوين الوسط${\displaystyle xRy}$يُستخدم عادةً لـ${\displaystyle (x,y)\in R}$يمكننا تعريف أنواع مختلفة من إغلاقات${\displaystyle R}$على${\displaystyle A}$من خلال خصائصها وعملياتها. على سبيل المثال: ^{[ ملاحظة 2 ]}

الانعكاسية

بما أن كل تقاطع للعلاقات الانعكاسية هو انعكاسي، فإننا نحدد الإغلاق الانعكاسي لـ${\displaystyle R}$على${\displaystyle A}$باعتبارها أصغر علاقة انعكاسية على${\displaystyle A}$الذي يحتوي${\displaystyle R}$.

التناظر

كما يمكننا تعريف عملية أحادية على${\displaystyle A\times A}$تلك الخرائط${\displaystyle (x,y)}$ل${\displaystyle (y,x)}$، نُعرّف الإغلاق المتناظر لـ${\displaystyle R}$على${\displaystyle A}$باعتبارها أصغر علاقة على${\displaystyle A}$الذي يحتوي${\displaystyle R}$ويتم إغلاقها بموجب هذه العملية الأحادية.

خاصية التعدي

كما يمكننا تعريف عملية ثنائية جزئية على${\displaystyle A\times A}$تلك الخرائط${\displaystyle (x,y)}$و${\displaystyle (y,z)}$ل${\displaystyle (x,z)}$، نُعرّف الإغلاق المتعدي لـ${\displaystyle R}$على${\displaystyle A}$باعتبارها أصغر علاقة على${\displaystyle A}$الذي يحتوي${\displaystyle R}$وهي مغلقة في ظل هذه العملية الثنائية الجزئية.

العلاقة الجزئية هي علاقة انعكاسية ومتعدية. وبناءً على ذلك، فإن الإغلاق الانعكاسي المتعدي لعلاقة ما هو أصغر علاقة جزئية تحتويها. وبالمثل، فإن الإغلاق الانعكاسي المتعدي المتناظر أو إغلاق التكافؤ لعلاقة ما هو أصغر علاقة تكافؤ تحتويها.

• في نظرية الماترويد ، يكون إغلاق X هو أكبر مجموعة فائقة من X لها نفس رتبة X.
• الإغلاق المتعدي لمجموعة . ^{[ 1 ]}​
• الإغلاق الجبري للحقل . ^{[ 2 ]}​
• الإغلاق التكاملي لمجال تكاملي في حقل يحتويه.
• الجذر الخاص بمثالي في حلقة تبديلية .
• في الهندسة ، الغلاف المحدب لمجموعة S من النقاط هو أصغر مجموعة محدبة تكون S مجموعة جزئية منها . ^{[ 3 ]}
• في اللغات الرسمية ، يمكن وصف إغلاق كلين للغة بأنه مجموعة السلاسل التي يمكن تكوينها عن طريق دمج صفر أو أكثر من السلاسل من تلك اللغة.
• في نظرية الزمر ، فإن الإغلاق المترافق أو الإغلاق الطبيعي لمجموعة من عناصر الزمرة هو أصغر زمرة فرعية طبيعية تحتوي على المجموعة.
• في التحليل الرياضي وفي نظرية الاحتمالات ، يُطلق على إغلاق مجموعة من المجموعات الفرعية لـ X تحت عدد لا نهائي من عمليات المجموعات اسم الجبر σ الناتج عن المجموعة.

في الأقسام السابقة، تمّت دراسة الإغلاقات للمجموعات الجزئية من مجموعة معينة. تُشكّل المجموعات الجزئية من مجموعة ما مجموعةً مرتبةً جزئيًا (poset) للاحتواء . تسمح عوامل الإغلاق بتعميم مفهوم الإغلاق ليشمل أي مجموعة مرتبة جزئيًا.

بالنظر إلى مجموعة جزئية مرتبة S يُرمز إلى ترتيبها الجزئي بالرمز ≤ ، فإن عامل الإغلاق على S هو دالة${\displaystyle C:S\to S}$إنه

• زيادة (${\displaystyle x\leq C(x)}$للجميع${\displaystyle x\in S}$)
• متماثل (${\displaystyle C(C(x))=C(x)}$)، و
• رتيب (${\displaystyle x\leq y\implies C(x)\leq C(y)}$). ^{[ 4 ]}

بصورة مكافئة، تكون الدالة من S إلى S عامل إغلاق إذا${\displaystyle x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)}$للجميع${\displaystyle x,y\in S.}$

يكون عنصر من المجموعة S مغلقًا إذا كان إغلاقًا لنفسه، أي إذا${\displaystyle x=C(x).}$بحسب خاصية التكرار، يكون العنصر مغلقًا إذا وفقط إذا كان إغلاقًا لعنصر ما من S.

من الأمثلة على ذلك عامل الإغلاق الطوبولوجي ؛ ففي توصيف كوراتوفسكي ، تتوافق البديهيات K2 وK3 وK4' مع الخصائص التعريفية المذكورة أعلاه. ومن الأمثلة التي لا تعمل على المجموعات الجزئية دالة السقف ، التي تربط كل عدد حقيقي x بأصغر عدد صحيح لا يقل عن x .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الإغلاق الجبري" . عالم الرياضيات .