مجموعة الالتواء

في نظرية المجموعات ، وهي فرع من الرياضيات ، مجموعة الالتواء أو المجموعة الدورية هي مجموعة يكون لكل عنصر فيها رتبة محدودة . أس هذه المجموعة، إذا كان موجودًا، هو المضاعف المشترك الأصغر لرتب العناصر.

على سبيل المثال، يتبع من نظرية لاجرانج أن كل مجموعة منتهية هي دورية ولها أس يقسم ترتيبها.

أمثلة لا حصر لها

تتضمن أمثلة المجموعات الدورية اللانهائية المجموعة المضافة لحلقة كثيرات الحدود على حقل منتهٍ، ومجموعة حاصل قسمة الأعداد النسبية على الأعداد الصحيحة، بالإضافة إلى مجموعها المباشر، مجموعات بروفر . مثال آخر هو المجموع المباشر لجميع المجموعات ثنائية السطوح . لا يحتوي أي من هذه الأمثلة على مجموعة توليد منتهية. تم إنشاء أمثلة صريحة للمجموعات الدورية اللانهائية المولدة بشكل منتهٍ بواسطة جولود، [1] بناءً على العمل المشترك مع شافاريفيتش (انظر نظرية جولود-شافاريفيتش )، ومن قبل أليشين ^[2] وجريجورشوك ^[3] باستخدام الأتمتة . تحتوي هذه المجموعات على أس لانهائي؛ أمثلة ذات أس منتهية تُعطى على سبيل المثال بواسطة مجموعات تارسكي العملاقة التي أنشأها أولشانسكي. ^[^4]

مشكلة بيرنسايد

مشكلة بيرنسايد هي سؤال كلاسيكي يتعامل مع العلاقة بين المجموعات الدورية والمجموعات المحدودة ، عندما يتم النظر فقط في المجموعات المتولدة بشكل محدود : هل تحديد الأس يفرض محدودية؟ إن وجود مجموعات دورية لا نهائية ومولدة بشكل محدود كما في الفقرة السابقة يوضح أن الإجابة هي "لا" بالنسبة لأس تعسفي. على الرغم من معرفة المزيد عن الأسس التي يمكن أن تحدث للمجموعات المتولدة بشكل محدود وغير محدودة، إلا أنه لا يزال هناك بعض الأسس التي لا تزال المشكلة مفتوحة لها.

بالنسبة لبعض فئات المجموعات، على سبيل المثال المجموعات الخطية ، فإن الإجابة على مسألة بيرنسايد المقيدة بالفئة إيجابية.

المنطق الرياضي

من الخصائص المثيرة للاهتمام للمجموعات الدورية أنه لا يمكن صياغة التعريف من حيث المنطق من الدرجة الأولى . وذلك لأن القيام بذلك يتطلب بديهية من النموذج

\forall x,{\big (}(x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots {\big )},

الذي يحتوي على انفصال لا نهائي وبالتالي فهو غير مقبول: يسمح المنطق من الدرجة الأولى بالكميات من نوع واحد ولا يمكنه التقاط خصائص أو مجموعات فرعية من هذا النوع. من غير الممكن أيضًا تجاوز هذا الانفصال اللانهائي باستخدام مجموعة لا نهائية من البديهيات: تشير نظرية الاكتناز إلى أنه لا يمكن لمجموعة من الصيغ من الدرجة الأولى وصف المجموعات الدورية. ^[5]

المفاهيم ذات الصلة

المجموعة الفرعية الالتوائية للمجموعة الإبيلية A هي المجموعة الفرعية للمجموعة A التي تتكون من جميع العناصر التي لها ترتيب محدود. المجموعة الإبيلية الالتوائية هي مجموعة إبيلية يكون لكل عنصر فيها ترتيب محدود. المجموعة الإبيلية الخالية من الالتوائية هي مجموعة إبيلية يكون فيها العنصر المتطابق هو العنصر الوحيد الذي له ترتيب محدود.

انظر أيضا

مراجع

^ ES Golod، على الجبر الصفري والمجموعات p القابلة للتقريب بشكل محدود ، Izv. أكاد. ناوك SSSR سر. حصيرة. 28 (1964) 273-276.
^ SV Aleshin، الأتمتة المحدودة ومشكلة برنسايد للمجموعات الدورية ، (الروسية) Mat. Zametki 11 (1972)، 319-328.
^ RI Grigorchuk, On Burnside's problem on period groups , Functional Anal. Appl. 14 (1980), no. 1, 41–43.
^ أ. يو. أولشانسكي ، مجموعة لا نهائية بها مجموعات فرعية من الرتب الأولية، مجلة الرياضيات للاتحاد السوفياتي 16 (1981)، 279-289؛ ترجمة مجلة إزفستيا أكاد. مجلة ناوك للاتحاد السوفياتي 44 (1980)، 309-321
^ إبنجهاوس، إتش.دي. فلوم، J.؛ توماس دبليو (1994). المنطق الرياضي (2. ed.، 4. pr. ed.). نيويورك [وا]: سبرينغر. ص 50. ردمك 978-0-387-94258-2تم الاسترجاع في 18 يوليو 2012. ومع ذلك، في المنطق من الدرجة الأولى، لا يمكننا تكوين انفصالات طويلة بلا حدود. في الواقع، سنوضح لاحقًا أنه لا توجد مجموعة من الصيغ من الدرجة الأولى التي تكون نماذجها هي المجموعات الدورية على وجه التحديد.

RI Grigorchuk، درجات نمو المجموعات المتولدة بشكل محدود ونظرية المتوسطات الثابتة ، Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48:5 (1984)، 939-985 (بالروسية).

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] ES Golod، على الجبر الصفري والمجموعات p القابلة للتقريب بشكل محدود ، Izv. أكاد. ناوك SSSR سر. حصيرة. 28 (1964) 273-276.

[2] SV Aleshin، الأتمتة المحدودة ومشكلة برنسايد للمجموعات الدورية ، (الروسية) Mat. Zametki 11 (1972)، 319-328.

[3] RI Grigorchuk, On Burnside's problem on period groups , Functional Anal. Appl. 14 (1980), no. 1, 41–43.

[4] أ. يو. أولشانسكي ، مجموعة لا نهائية بها مجموعات فرعية من الرتب الأولية، مجلة الرياضيات للاتحاد السوفياتي 16 (1981)، 279-289؛ ترجمة مجلة إزفستيا أكاد. مجلة ناوك للاتحاد السوفياتي 44 (1980)، 309-321

[5] إبنجهاوس، إتش.دي. فلوم، J.؛ توماس دبليو (1994). المنطق الرياضي (2. ed.، 4. pr. ed.). نيويورك [وا]: سبرينغر. ص 50. ردمك 978-0-387-94258-2تم الاسترجاع في 18 يوليو 2012. ومع ذلك، في المنطق من الدرجة الأولى، لا يمكننا تكوين انفصالات طويلة بلا حدود. في الواقع، سنوضح لاحقًا أنه لا توجد مجموعة من الصيغ من الدرجة الأولى التي تكون نماذجها هي المجموعات الدورية على وجه التحديد.