مجموعة بروفر

في الرياضيات، وتحديداً في نظرية الزمر ، زمرة بروفر p أو الزمرة شبه الدورية p أو${\displaystyle p^{\infty }}$-مجموعة،${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$، بالنسبة لعدد أولي p، فإن المجموعة p الفريدة التي يكون لكل عنصر فيها p جذر مختلف من الرتبة p .

مجموعات بروفر p هي مجموعات أبيلية قابلة للعد وهي مهمة في تصنيف المجموعات الأبيلية اللانهائية: فهي (إلى جانب مجموعة الأعداد النسبية ) تشكل أصغر اللبنات الأساسية لجميع المجموعات القابلة للقسمة .

سميت هذه المجموعات على اسم هاينز بروفر ، وهو عالم رياضيات ألماني من أوائل القرن العشرين.

يمكن تعريف مجموعة بروفر p بأنها المجموعة الفرعية لمجموعة الدائرة ،${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$، والتي تتكون من جميع الجذور النونية ^للوحدة عندما تتراوح قيمة n على جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Z} (p^{\infty })&=\{e^{2\pi im/p^{n}}\mid 0\leq m<p^{n},\,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}\\&=\{z\in \mathbb {C} \mid z^{(p^{n})}=1{\text{ for some }}n\in \mathbb {Z} ^{+}\}.\end{aligned}}}$

العملية الجماعية هنا هي ضرب الأعداد المركبة . يوجد عرض توضيحي.

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .}$

هنا، عملية المجموعة في${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$تُكتب على شكل عملية ضرب.

أو بصورة مكافئة، يمكن تعريف مجموعة بروفر p على أنها مجموعة سيلو p الفرعية لمجموعة القسمة${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$، والتي تتكون من تلك العناصر التي يكون ترتيبها قوة للعدد p :

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$

(أين${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$يشير إلى مجموعة جميع الأعداد النسبية التي يكون مقامها قوة من قوى العدد p ، باستخدام جمع الأعداد النسبية كعملية جماعية).

لكل عدد طبيعي n ، ضع في اعتبارك مجموعة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$والتضمين${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$ينتج عن الضرب في p . الحد المباشر لهذا النظام هو${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$:

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\varinjlim \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

إذا قمنا بإجراء النهاية المباشرة في فئة المجموعات الطوبولوجية ، فسنحتاج إلى فرض طوبولوجيا على كل منها.${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ثم قم بتطبيق التكوين النهائي على${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$إذا رغبنا في${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$لكي يكون النظام هاوسدورف ، يجب علينا فرض الطوبولوجيا المنفصلة على كل عنصر من عناصره.${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$، مما أدى إلى${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$أن يكون لها بنية منفصلة.

يمكننا أيضًا أن نكتب

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$

أين${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يرمز إلى المجموعة الجمعية للأعداد p -adic و${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$هي المجموعة الفرعية من الأعداد الصحيحة p -adic.

القائمة الكاملة للمجموعات الفرعية لمجموعة بروفر p${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$يكون:

${\displaystyle 0\subsetneq \left({1 \over p}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{2}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{3}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {Z} (p^{\infty })}$

هنا، كل${\displaystyle \left({1 \over p^{n}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} }$هي مجموعة فرعية دورية من${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$يحتوي على p ⁿ عنصرًا؛ ويحتوي تحديدًا على تلك العناصر من${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$الذي يقسم ترتيبه p ⁿ ويتوافق مع مجموعة الجذور p ⁿ للوحدة.

تُعدّ زمر بروفر من الرتبة p الزمر اللانهائية الوحيدة التي تكون زمرها الجزئية مرتبة ترتيبًا كليًا بالاحتواء. يُعبّر هذا التسلسل من الاحتواءات عن زمرة بروفر من الرتبة p كحد مباشر لزمرها الجزئية المنتهية. ولأنه لا توجد زمرة جزئية عظمى لزمرة بروفر من الرتبة p ، فإنها تُشكّل زمرة فراتيني الخاصة بها .

بالنظر إلى هذه القائمة من الزمر الجزئية، يتضح أن زمر بروفر من الرتبة p غير قابلة للتحليل (لا يمكن كتابتها كمجموع مباشر لزمر جزئية فعلية). بل إن زمر بروفر من الرتبة p غير قابلة للاختزال شبه المباشر . وتكون الزمرة الأبيلية غير قابلة للاختزال شبه المباشر إذا وفقط إذا كانت متماثلة مع زمرة دورية منتهية من الرتبة p أو مع زمرة بروفر.

مجموعة بروفر p هي المجموعة اللانهائية الوحيدة من نوع p التي تتميز بدورية محلية (أي أن كل مجموعة منتهية من العناصر تولد مجموعة دورية). وكما رأينا أعلاه، فإن جميع المجموعات الجزئية الفعلية من${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$هي محدودة. مجموعات بروفر من الرتبة p هي المجموعات الأبيلية اللانهائية الوحيدة التي تتمتع بهذه الخاصية. ^{[ 1 ]}

زمر بروفر من الرتبة p قابلة للقسمة . وتلعب دورًا هامًا في تصنيف الزمر القابلة للقسمة؛ فهي، إلى جانب الأعداد النسبية، أبسط الزمر القابلة للقسمة. بتعبير أدق: تكون الزمرة الأبيلية قابلة للقسمة إذا وفقط إذا كانت مجموعًا مباشرًا لعدد (قد يكون لانهائيًا) من نسخ${\displaystyle \mathbb {Q} }$وعدد لا نهائي (ربما) من نسخ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$لكل عدد أولي p . عدد النسخ ( الأصلي ) من${\displaystyle \mathbb {Q} }$و${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$تحدد العناصر المستخدمة في هذا المجموع المباشر المجموعة القابلة للقسمة حتى التشاكل. ^{[ 2 ]}

كمجموعة أبيلية (أي كوحدة نمطية Z )،${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$هو أرتيني ولكنه ليس نوثيري . ^{[ 3 ]} وبالتالي يمكن استخدامه كمثال مضاد لفكرة أن كل وحدة أرتينية هي نوثيرية (في حين أن كل حلقة أرتينية هي نوثيرية).

حلقة التشكل الداخلي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$متماثل مع حلقة الأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$[ ^{1 ]​}

في نظرية المجموعات الطوبولوجية المدمجة محليًا، تُعتبر مجموعة بروفر p (المجهزة بالطوبولوجيا المنفصلة ) هي المجموعة الثنائية لبونترياجين للمجموعة المدمجة للأعداد الصحيحة p -adic ، وتُعتبر مجموعة الأعداد الصحيحة p -adic هي المجموعة الثنائية لبونترياجين لمجموعة بروفر p . ^{[ 4 ]}

• الأعداد الصحيحة p -adic ، والتي يمكن تعريفها على أنها النهاية العكسية للمجموعات الفرعية المنتهية لمجموعة بروفر p .
• الأعداد النسبية الثنائية هي أعداد نسبية على الصورة a /2b ^. يمكن اعتبار مجموعة بروفر 2 بمثابة الأعداد النسبية الثنائية بتردد  1.
• المجموعة الدورية ( نظير محدود )
• مجموعة دائرية ( نظير لا نهائي غير قابل للعد )