Piecewise function

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

Plot of the piecewise linear functionf(x)={−3−xifx≤−3x+3if−3≤x≤03−2xif0≤x≤30.5x−4.5if3≤x{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.}

In mathematics, a piecewise function (also called a piecewise-defined function, a hybrid function, or a function defined by cases) is a function whose domain is partitioned into several intervals ("subdomains") on which the function may be defined differently.[1][2][3] Piecewise definition is actually a way of specifying the function, rather than a characteristic of the resulting function itself, as every function whose domain contains at least two points can be rewritten as a piecewise function. The first three paragraphs of this article only deal with this first meaning of "piecewise".

Terms like piecewise linear, piecewise smooth, piecewise continuous, and others are also very common. The meaning of a function being piecewise P{\displaystyle P}, for a property P{\displaystyle P}, is roughly that the domain of the function can be partitioned into pieces on which the property P{\displaystyle P} holds, but this term is used slightly differently by different authors.[4][5] Unlike the first meaning, this is a property of the function itself and not only a way to specify it. Sometimes the term is used in a more global sense involving triangulations; see Piecewise linear manifold.

Notation and interpretation

Graph of the absolute value function, ⁠y=|x|{\displaystyle y=\vert x\vert }⁠
The function ⁠f(x)=min(1,x2){\displaystyle f(x)=\min(1,x^{2})}⁠ is piecewise monotonic (subdomains (−∞,0]{\displaystyle (-\infty ,0]}, ⁠[0,+∞){\displaystyle [0,+\infty )}⁠) and piecewise differentiable (subdomains ⁠(−∞,−1]{\displaystyle (-\infty ,-1]}⁠, ⁠[−1,+1]{\displaystyle [-1,+1]}⁠, and ⁠[+1,+∞){\displaystyle [+1,+\infty )}⁠).

Piecewise functions can be defined using the common functional notation, where the body of the function is an array of functions and associated subdomains. A semicolon or comma may follow the subfunction or subdomain columns.[2] The if{\displaystyle {\text{if}}} or for{\displaystyle {\text{لـ}}} is rarely omitted at the start of the right column.[2]

يجب أن تغطي المجالات الفرعية مجتمعةً المجال بأكمله ؛ وفي بعض الأحيان يُشترط أيضًا أن تكون منفصلة مثنى مثنى، أي أن تُشكّل تجزئةً للمجال. [ 6 ] هذا كافٍ لكي تكون الدالة "مُعرّفة بالحالات"، ولكن لكي تكون الدالة الكلية "مُجزّأة"، يُشترط عادةً أن تكون المجالات الفرعية فترات غير فارغة (قد يكون بعضها فترات مُنحلة، أي نقاط مفردة أو فترات غير محدودة)، وغالبًا لا يُسمح لها باحتواء عدد لا نهائي من المجالات الفرعية في أي فترة محدودة. هذا يعني أن الدوال ذات المجالات المحدودة سيكون لها عدد محدود فقط من المجالات الفرعية، بينما يمكن للدوال ذات المجالات غير المحدودة أن تحتوي على عدد لا نهائي من المجالات الفرعية، طالما أنها موزعة بشكل مناسب.

كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك التعريف المجزأ لدالة القيمة المطلقة : [ 2 ]|x|={-x،لو x<0+x،لو x≥0.{\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}} لجميع قيمx{\displaystyle x}أقل من الصفر، الدالة الفرعية الأولى (-x{\displaystyle -x}يُستخدم الرمز ) الذي يعكس إشارة قيمة الإدخال، مما يجعل الأعداد السالبة موجبة. لجميع قيمx{\displaystyle x}أكبر من أو يساوي الصفر، الدالة الفرعية الثانية (x{\displaystyle x}يتم استخدام ) ، والذي يتم تقييمه بشكل بديهي إلى قيمة الإدخال نفسها.

يوضح الجدول التالي دالة القيمة المطلقة عند قيم معينة لـx{\displaystyle x}:

xf ( x )الوظيفة الفرعية المستخدمة
-33-x{\displaystyle -x}
-0.10.1-x{\displaystyle -x}
00x{\displaystyle x}
نصفنصفx{\displaystyle x}
55x{\displaystyle x}

لتقييم دالة معرفة على أجزاء عند قيمة إدخال معينة، يجب اختيار المجال الفرعي المناسب لاختيار الدالة الفرعية الصحيحة - وإنتاج قيمة الإخراج الصحيحة.

أمثلة

  • دالة متدرجة أو دالة ثابتة متعددة الأجزاء، تتكون من دوال فرعية ثابتة
  • الدالة الخطية المجزأة ، تتكون من دوال فرعية خطية
  • دالة سلسة متعددة الأجزاء، تتكون من دوال فرعية سلسة
  • قانون القوة المكسور ، وهو دالة تتكون من دوال فرعية لقانون القوة
  • Spline ، دالة تتكون من دوال فرعية متعددة الحدود، وغالبًا ما تكون مقيدة لتكون سلسة عند المفاصل بين القطع
  • و(x)={خبرة⁡(-11-x2)،x∈(-1،1)0،خلاف ذلك{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}وبعض دوال Bump الشائعة الأخرى . هذه الدوال قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية، لكن خاصية التحليلية تنطبق فقط على الدوال المجزأة.

استمرارية وقابلية اشتقاق الدوال المعرفة على أجزاء

رسم بياني للدالة التربيعية المجزأةو(x)={x2لوx<0.7071.5-(x-1.414)2لو0.707≤x{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.}انقطاعها الوحيد هو عندx0=0.707{\displaystyle x_{0}=0.707}.

تكون الدالة المعرفة على أجزاء متصلة على فترة معينة في مجالها إذا تحققت الشروط التالية:

  • تكون وظائفها الفرعية متصلة على الفترات (المجالات الفرعية) المقابلة،
  • لا يوجد انقطاع عند نقطة نهاية أي نطاق فرعي ضمن تلك الفترة.

الدالة الموضحة، على سبيل المثال، متصلة على أجزاء في جميع نطاقاتها الفرعية، ولكنها غير متصلة على النطاق بأكمله، لأنها تحتوي على انقطاع قفزي عندx0{\displaystyle x_{0}}تشير الدائرة المظللة إلى أن قيمة الدالة الفرعية اليمنى مستخدمة في هذا الموضع.

لكي تكون الدالة المعرفة على أجزاء قابلة للتفاضل على فترة معينة في مجالها، يجب استيفاء الشروط التالية بالإضافة إلى شروط الاستمرارية المذكورة أعلاه:

  • تكون دوالها الفرعية قابلة للتفاضل على الفترات المفتوحة المقابلة ،
  • توجد المشتقات أحادية الجانب عند جميع نقاط نهاية الفترات،
  • عند النقاط التي تتلامس فيها فترتان جزئيتان، تتطابق المشتقات أحادية الجانب المتناظرة للفترتين الجزئيتين المتجاورتين. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

التطبيقات

في التحليل الرياضي التطبيقي، وُجد أن الدوال "المنتظمة جزئيًا" تتوافق مع العديد من نماذج النظام البصري البشري ، حيث تُدرك الصور في المرحلة الأولى على أنها تتكون من مناطق ملساء تفصلها حواف (كما في الرسوم المتحركة )؛ [ 10 ] الدالة الشبيهة بالرسوم المتحركة هي دالة من الفئة C2 ، ملساء باستثناء وجود منحنيات عدم الاستمرارية. [ 11 ] على وجه الخصوص، استُخدمت دوال القص كنظام تمثيل لتوفير تقريبات متفرقة لهذه الفئة من النماذج في بعدين وثلاثة أبعاد.

تُستخدم الدوال المعرفة على أجزاء بشكل شائع أيضًا للاستيفاء، كما هو الحال في استيفاء أقرب جار .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "الدوال القطعية" . www.mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 أغسطس 2020 .
  2. 1 2 3 4 وايسشتاين، إريك دبليو. "الدالة القطعية" . عالم الرياضيات .
  3. ↑ "الدوال القطعية" . brilliant.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-09-2020 .
  4. ↑ إس إم نيكولسكي (1977). دورة في التحليل الرياضي، المجلد 1. ص 178. 
  5. ↑ سوفرونيديس، نيكولاوس إفستاثيو (2005). "مجموعة الدوال المتصلة القابلة للتفاضل على أجزاء" . مجلة تبادل التحليل الحقيقي . 31 (1): 13-22 . doi : 10.14321/realanalexch.31.1.0013 (غير نشط 2025-08-11).{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من أغسطس 2025 ( رابط )
  6. ↑A feasible weaker requirement is that all definitions agree on intersecting subdomains.
  7. ↑Rehmann, Ulf (2001) [1994]. "One-sided derivative". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
  8. ↑Ilyin, V. A.; Poznyak, E. G. (1982). Fundamentals Of Mathematical Analysis. Vol. 1. Translated from Russian by Irene Aleksanova. Mir Publishers Moscow. pp. 146, 177. ISBN 978-93-859-2386-9.
  9. ↑Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2008). Mathematical Analysis I. Translated by: Simon G. Chiossi. Milan: Springer-Verlag Italia. pp. 83, 176. ISBN 978-88-470-0875-5.
  10. ↑Kutyniok, Gitta; Labate, Demetrio (2012). "Introduction to shearlets"(PDF). Shearlets. Birkhäuser: 1–38. Here: p.8
  11. ↑Kutyniok, Gitta; Lim, Wang-Q (2011). "Compactly supported shearlets are optimally sparse". Journal of Approximation Theory. 163 (11): 1564–1589. arXiv:1002.2661. doi:10.1016/j.jat.2011.06.005.