الدالة التربيعية

في الرياضيات ، الدالة التربيعية لمتغير واحد هي دالة من الشكل ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$$ مع​${\displaystyle a\neq 0}$، حيث​${\displaystyle x}$⁠ هو متغيره، و ⁠${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$هي معاملات . التعبير ​​${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c}$الدالة ، وخاصة عند التعامل معها ككائن مستقل بدلاً من كونها دالة، هيمتعددة حدود من الدرجة الثانية. في الرياضيات الابتدائية ، نادراً ما يتم التمييز بين متعددة الحدود ودالة متعددة الحدود المرتبطة بها،مصطلحا الدالة التربيعية ومتعددة الحدود التربيعية بشكل مترادف ويُختصران عادةً إلى تربيعي .

يمثل الرسم البياني لدالة تربيعية حقيقية ذات متغير واحد قطعًا مكافئًا . إذا ساوينا دالة تربيعية بالصفر، فإن النتيجة هي معادلة تربيعية . حلول المعادلة التربيعية هي أصفار (أو جذور ) الدالة التربيعية المناظرة، والتي قد يكون عددها اثنين أو واحدًا أو صفرًا. تُوصف الحلول بالصيغة التربيعية .

يمكن أن تتضمن الدالة التربيعية أو كثيرة الحدود من الدرجة الثانية أكثر من متغير واحد. على سبيل المثال، دالة تربيعية بمتغيرين${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$له الشكل

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

مع واحد على الأقل مما يلي${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$لا يساوي الصفر. بشكل عام ، تصف أصفار هذه الدالة التربيعية مقطعًا مخروطيًا ( دائرة أو قطع ناقص آخر ، أو قطع مكافئ ، أو قطع زائد ) في${\displaystyle x}$–​​${\displaystyle y}$المستوى . يمكن أن تحتوي الدالة التربيعية على عدد كبير من المتغيرات. تشكل مجموعة أصفارها سطحًا تربيعيًا ، وهو سطح في حالة ثلاثة متغيرات وسطح فائق في الحالة العامة.

الصفة "تربيعي" مشتقة من الكلمة اللاتينية quadrātum (" مربع "). مصطلح مرفوع للأس الثاني مثل${\displaystyle \textstyle x^{2}}$يُطلق على ⁠ اسم مربع في الجبر لأنه مساحة مربع طول ضلعه ⁠${\displaystyle x}$⁠ .

يمكن التعبير عن الدالة التربيعية أحادية المتغير بثلاثة أشكال: ^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ يُطلق عليه الشكل القياسي ،
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$يُطلق عليه الشكل المُحلل ، حيث r ₁ و r ₂ هما جذور الدالة التربيعية وحلول المعادلة التربيعية المقابلة.
• ${\displaystyle f(x)=a(xh)^{2}+k}$يُطلق عليه شكل الرأس ، حيث h و k هما إحداثيات x و y للرأس، على التوالي.

المعامل a له نفس القيمة في جميع الصيغ الثلاث. لتحويل الصيغة القياسية إلى الصيغة المُحلَّلة _، يكفي استخدام القانون العام للمعادلة التربيعية لتحديد الجذرين r₁ و r₂ _. لتحويل الصيغة القياسية إلى صيغة الرأس ، يلزم إجراء عملية تُسمى إكمال المربع . لتحويل الصيغة المُحلَّلة (أو صيغة الرأس) إلى الصيغة القياسية، يلزم ضرب العوامل وفكّها و/أو توزيعها.

بغض النظر عن التنسيق، فإن الرسم البياني لدالة تربيعية أحادية المتغير${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$هو قطع مكافئ (كما هو موضح على اليمين). وبصورة مكافئة، هذا هو الرسم البياني للمعادلة التربيعية ذات المتغيرين${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$.

• إذا كانت قيمة a > 0 ، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى.
• إذا كانت قيمة a < 0 ، فإن القطع المكافئ يفتح للأسفل.

يتحكم المعامل a في درجة انحناء الرسم البياني؛ حيث تعطي القيمة الأكبر لـ a الرسم البياني مظهرًا أكثر انغلاقًا (منحنيًا بشدة).

يتحكم المعاملان b و a معًا في موقع محور التناظر للقطع المكافئ (وكذلك الإحداثي x للرأس والمعامل h في صيغة الرأس) والذي يقع عند

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

يتحكم المعامل c في ارتفاع القطع المكافئ؛ وبشكل أكثر تحديدًا، فهو ارتفاع القطع المكافئ عند نقطة تقاطعه مع المحور y .

يؤدي الجذر التربيعي لدالة تربيعية أحادية المتغير إلى أحد القطوع المخروطية الأربعة، ودائمًا تقريبًا إما إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد .

لو${\displaystyle a>0,}$ثم المعادلة${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$يصف هذا الشكل قطعًا زائدًا، كما يتضح من تربيع كلا الطرفين. وتُحدد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة إحداثيات النقطة الدنيا للقطع المكافئ المقابل.${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$إذا كانت قيمة الإحداثي سالبة، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (الذي يمر برؤوسه) يكون أفقيًا، بينما إذا كانت قيمة الإحداثي موجبة، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد يكون رأسيًا.

لو${\displaystyle a<0,}$ثم المعادلة${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$يصف إما دائرة أو شكلًا بيضاويًا آخر أو لا يصف شيئًا على الإطلاق. إذا كان إحداثي النقطة القصوى للقطع المكافئ المقابل ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$إذا كانت قيمة الإحداثي موجبة، فإن جذرها التربيعي يصف شكلًا بيضاويًا، ولكن إذا كانت قيمة الإحداثي سالبة، فإنها تصف موضعًا فارغًا من النقاط.

لتكرار دالة${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$، يقوم المرء بتطبيق الدالة بشكل متكرر، باستخدام الناتج من تكرار واحد كمدخل للتكرار التالي.

لا يمكن دائمًا استنتاج الشكل التحليلي لـ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$، مما يعني التكرار ^رقم ن من${\displaystyle f(x)}$(يمكن تمديد الرمز العلوي ليشمل الأعداد السالبة، في إشارة إلى تكرار معكوس ).${\displaystyle f(x)}$(إذا كان العكس موجودًا.) ولكن هناك بعض الحالات التي يمكن معالجتها تحليليًا .

على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة التكرارية

${\displaystyle f(x)=a(xc)^{2}+c}$

يمتلك المرء

${\displaystyle f(x)=a(xc)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

أين

${\displaystyle g(x)=ax^{2}}$و${\displaystyle h(x)=xc.}$

إذن بالاستقراء،

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

يمكن الحصول عليها، حيث${\displaystyle g^{(n)}(x)}$يمكن حسابها بسهولة على النحو التالي

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

وأخيراً، لدينا

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(xc)^{2^{n}}+c}$

كحل.

See Topological conjugacy for more detail about the relationship between f and g. And see Complex quadratic polynomial for the chaotic behavior in the general iteration.

The logistic map

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

with parameter 2<r<4 can be solved in certain cases, one of which is chaotic and one of which is not. In the chaotic case r=4 the solution is

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

where the initial condition parameter ${\displaystyle \theta }$ is given by ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$. For rational ${\displaystyle \theta }$, after a finite number of iterations ${\displaystyle x_{n}}$ maps into a periodic sequence. But almost all ${\displaystyle \theta }$ are irrational, and, for irrational ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle x_{n}}$ never repeats itself – it is non-periodic and exhibits sensitive dependence on initial conditions, so it is said to be chaotic.

The solution of the logistic map when r=2 is

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

for ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$. Since ${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$ for any value of ${\displaystyle x_{0}}$ other than the unstable fixed point 0, the term ${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$ goes to 0 as n goes to infinity, so ${\displaystyle x_{n}}$ goes to the stable fixed point ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

A bivariate quadratic function is a second-degree polynomial of the form

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

where A, B, C, D, and E are fixed coefficients and F is the constant term. Such a function describes a quadratic surface. Setting ${\displaystyle f(x,y)}$ equal to zero describes the intersection of the surface with the plane ${\displaystyle z=0,}$ which is a locus of points equivalent to a conic section.

• Quadratic form
• Quadratic equation
• Matrix representation of conic sections
• Quadric
• Periodic points of complex quadratic mappings
• List of mathematical functions

• جلينكو، ماكجرو هيل (2003). الجبر 1. جلينكو/ماكجرو هيل. ISBN 9780078250835.
• ساكسون، جون هـ. (مايو 1991). الجبر 2. دار ساكسون للنشر. رقم ISBN 9780939798629.