شيرليت

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي التطبيقي، تُعدّ تقنية القصّ إطارًا متعدد المقاييس يسمح بترميز الخصائص غير المتجانسة بكفاءة في فئات المسائل متعددة المتغيرات . وقد طُرحت تقنية القصّ لأول مرة عام 2006 [ 1 ] لتحليل الدوال وتقريبها بشكل متفرق.و∈ل2(R2){\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}إنها امتداد طبيعي للمويجات ، لاستيعاب حقيقة أن الدوال متعددة المتغيرات عادة ما تخضع لخصائص متباينة الخواص مثل الحواف في الصور، لأن المويجات، كأجسام متجانسة الخواص، غير قادرة على التقاط مثل هذه الظواهر.

تُبنى الموجات القصية الصغيرة (Shearlets) من خلال التوسيع والقص والإزاحة القطعية المطبقة على عدد قليل من الدوال المولدة . على المقاييس الدقيقة، تُدعم هذه الموجات بشكل أساسي ضمن حواف رفيعة وموجهة تتبع قانون التوسيع القطعي، الذي ينص على أن الطول² ≈ العرض . على غرار الموجات الصغيرة، تنشأ الموجات القصية الصغيرة من المجموعة الأفينية وتسمح بمعالجة موحدة للمتصل والحالة الرقمية مما يؤدي إلى تطبيقات دقيقة. على الرغم من أنها لا تشكل أساسًا متعامدًا لـل2(R2){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}لا تزال هذه الدوال تشكل إطارًا يسمح بتوسعات مستقرة للدوال العشوائيةو∈ل2(R2){\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}.

من أهم خصائص الدوال القصية قدرتها على توفير تقريبات متفرقة مثالية (بمعنى المثالية في [ 2 ] ) للدوال الشبيهة بالرسوم المتحركةو{\displaystyle f}في علوم التصوير، تُستخدم الدوال الشبيهة بالرسوم المتحركة كنموذج للخصائص غير المتناحية، وتكون ذات دعم مضغوط في[0،1]2{\displaystyle [0,1]^{2}}بينما هوج2{\displaystyle C^{2}}باستثناء القطع المغلقةج2{\displaystyle C^{2}}منحنى التفرد ذو الانحناء المحدود. معدل اضمحلالل2{\displaystyle L^{2}}- خطأ منشمال{\displaystyle N}تقريب القص ذو الحد - الذي تم الحصول عليه بأخذشمال{\displaystyle N}أكبر المعاملات من توسيع القص هي في الواقع الأمثل حتى عامل لوغاريتمي: [ 3 ] [ 4 ]

‖و-وشمال‖ل22≤جشمال-2(سجل⁡شمال)3،شمال→∞،{\displaystyle \|f-f_{N}\|_{L^{2}}^{2}\leq CN^{-2}(\log N)^{3},\quad N\to \infty ,}

حيث الثابتج{\displaystyle C}يعتمد فقط على أقصى انحناء لمنحنى التفرد وأقصى قيم لـو{\displaystyle f}،و′{\displaystyle f'}وو".{\displaystyle f''.}يُحسّن معدل التقريب هذا بشكل كبير من الأفضلشمال{\displaystyle N}معدل تقريب الموجات الصغيرة الذي يوفر فقطيا(شمال-1){\displaystyle O(N^{-1})}بالنسبة لهذه الفئة من الدوال.

تُعدّ تقنية القصّ (Shearlet) حتى الآن نظام التمثيل الاتجاهي الوحيد الذي يُوفّر تقريبًا مُخفّفًا للخصائص غير المتناحية، مع توفير معالجة موحدة للمتصل والمجال الرقمي، مما يسمح بالتنفيذ الدقيق. وتشمل امتدادات أنظمة القصّ (Shearlet) ما يلي:ل2(Rد)،د≥2{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d}),d\geq 2}وهي متاحة أيضاً. يمكن الاطلاع على عرض شامل لنظرية وتطبيقات القصات في [ 5 ] .

تعريف

أنظمة القص المستمر

التدرج المكافئ
قص
التأثيرات الهندسية للتحجيم المكافئ والقص مع عدة معلمات a و s.

يعتمد بناء أنظمة القص المستمر على مصفوفات القياس المكافئة.

أأ=[أ00أ1/2]،أ>0{\displaystyle A_{a}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a^{1/2}\end{bmatrix}},\quad a>0}

كوسيلة لتغيير الدقة، على مصفوفات القص

Ss=[1s01]،s∈R{\displaystyle S_{s}={\begin{bmatrix}1&s\\0&1\end{bmatrix}},\quad s\in \mathbb {R} }

كوسيلة لتغيير الاتجاه، وأخيرًا على عمليات النقل لتغيير الموضع. بالمقارنة مع المنحنيات ، تستخدم القصات عمليات القص بدلًا من الدوران، وتكمن الميزة في أن عامل القصSs{\displaystyle S_{s}}يُبقي الشبكة الصحيحة ثابتة في حالةs∈Z{\displaystyle s\in \mathbb {Z} }، أي،SsZ2⊆Z2.{\displaystyle S_{s}\mathbb {Z} ^{2}\subseteq \mathbb {Z} ^{2}.}وهذا يسمح بالفعل بمعالجة موحدة للمجال المتصل والرقمي، مما يضمن تنفيذاً رقمياً أميناً.

لψ∈ل2(R2){\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}نظام القص المستمر الناتج عنψ{\displaystyle \psi }ثم يُعرَّف على النحو التالي:

شجoنت⁡(ψ)={ψأ،s،ت=أ3/4ψ(Ssأأ(⋅-ت))|أ>0،s∈R،ت∈R2}،{\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )=\{\psi _{a,s,t}=a^{3/4}\psi (S_{s}A_{a}(\cdot -t))\mid a>0,s\in \mathbb {R} ,t\in \mathbb {R} ^{2}\},}

ويُعطى تحويل القص المستمر المقابل بواسطة الخريطة

و↦Sحψو(أ،s،ت)=⟨و،ψأ،s،ت⟩،و∈ل2(R2)،(أ،s،ت)∈R>0×R×R2.{\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(a,s,t)=\langle f,\psi _{a,s,t}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (a,s,t)\in \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}

أنظمة القص المنفصلة

يمكن الحصول على نسخة منفصلة من أنظمة القص مباشرة منشجoنت⁡(ψ){\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )}عن طريق تقسيم مجموعة المعلمات R>0×R×R2.{\displaystyle \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}توجد طرق عديدة لتحقيق ذلك، ولكن الطريقة الأكثر شيوعًا هي تلك التي يقدمها

{(2ج،ك،أ2ج-1Sك-1م)|ج∈Z،ك∈Z،م∈Z2}⊆R>0×R×R2.{\displaystyle \{(2^{j},k,A_{2^{j}}^{-1}S_{k}^{-1}m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\}\subseteq \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}

ومن هذا، نظام القص المنفصل المرتبط بمولد القصψ{\displaystyle \psi }يتم تعريفها بواسطة

ش⁡(ψ)={ψج،ك،م=23ج/4ψ(Sكأ2ج⋅-م)|ج∈Z،ك∈Z،م∈Z2}،{\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},}

ويتم تعريف تحويل القص المنفصل المرتبط به بواسطة

و↦Sحψو(ج،ك،م)=⟨و،ψج،ك،م⟩،و∈ل2(R2)،(ج،ك،م)∈Z×Z×Z2.{\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(j,k,m)=\langle f,\psi _{j,k,m}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (j,k,m)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{2}.}

أمثلة

دعم التردد الكلاسيكي للقص
الدعم الترددي شبه المنحرف للقص الكلاسيكي.
تبليط التردد الكلاسيكي للقص
تبليط التردد لنظام القص الكلاسيكي (المنفصل).

يتركψ1∈ل2(R){\displaystyle \psi _{1}\in L^{2}(\mathbb {R} )}لتكن دالة تحقق شرط كالديرون المنفصل ، أي

∑ج∈Z|ψ^1(2-جξ)|2=1،لـ ae ξ∈R،{\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {Z} }|{\hat {\psi }}_ {1}(2^{-j}\xi )|^{2}=1,{\text{for ae }}\xi \in \mathbb {R} ,}

معψ^1∈ج∞(R){\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}ومكمل غذائي⁡ψ^1⊆[-12،-116]∪[116،12]،{\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{1}\subseteq [-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{16}}]\cup [{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{2}}],} أينψ^1{\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}}يرمز إلى تحويل فورييه لـψ1.{\displaystyle \psi _{1}.}على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يختارψ1{\displaystyle \psi _{1}}أن تكون موجة ماير . علاوة على ذلك، دعψ2∈ل2(R){\displaystyle \psi _{2}\in L^{2}(\mathbb {R} )}أن يكون على هذا النحوψ^2∈ج∞(R)،{\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ),}مكمل غذائي⁡ψ^2⊆[-1،1]{\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{2}\subseteq [-1,1]}و

∑ك=-11|ψ^2(ξ+ك)|2=1،لـ ae ξ∈[-1،1].{\displaystyle \sum _{k=-1}^{1}|{\hat {\psi }}_{2}(\xi +k)|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \left[-1,1\right].}

يختار المرء عادةψ^2{\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}}لتكون دالة نتوء سلسة . ثمψ∈ل2(R2){\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}مقدم من

ψ^(ξ)=ψ^1(ξ1)ψ^2(ξ2ξ1)،ξ=(ξ1،ξ2)∈R2،{\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )={\hat {\psi }}_{1}(\xi _{1}){\hat {\psi }}_{2}\left({\tfrac {\xi _{2}}{\xi _{1}}}\right),\quad \xi =(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2},}

يُطلق عليه اسم القص الكلاسيكي . ويمكن إثبات أن نظام القص المنفصل المقابلش⁡(ψ){\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}يشكل إطار بارسيفال لـل2(R2){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}يتألف من وظائف محدودة النطاق . [ 5 ]

ومن الأمثلة الأخرى أنظمة القص ذات الدعم المدمج ، حيث تكون الدالة ذات الدعم المدمجψ∈ل2(R2){\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}يمكن اختيارها بحيثش⁡(ψ){\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}يشكل إطارًا لـل2(R2){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] في هذه الحالة، جميع عناصر القص فيش⁡(ψ){\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}تتميز هذه الأنظمة بدعمها المدمج، مما يوفر تحديدًا مكانيًا فائقًا مقارنةً بالقصات الكلاسيكية ذات النطاق الترددي المحدود. على الرغم من أن نظام القصات المدعوم بشكل مدمج لا يشكل عادةً إطار بارسيفال، إلا أن أي دالةو∈ل2(R2){\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}يمكن تمثيلها بواسطة توسيع القص بسبب خاصية الإطار الخاصة بها.

قصبات شعر مخروطية الشكل

من عيوب القصّات المعرّفة كما سبق ذكره، الانحياز الاتجاهي لعناصر القصّات المرتبطة بمعاملات القصّ الكبيرة. هذا التأثير واضحٌ بالفعل في تبليط الترددات للقصّات الكلاسيكية (انظر الشكل في قسم الأمثلة )، حيث يزداد توافق نطاق تردد القصّات مع اتجاه التردد.ξ2{\displaystyle \xi _{2}}المحور - كمعامل القصs{\displaystyle s}تؤول إلى اللانهاية. وهذا يُسبب مشاكل خطيرة عند تحليل دالة يتركز تحويل فورييه الخاص بها حولξ2{\displaystyle \xi _{2}}-محور.

تحليل مجال التردد إلى مخاريط
تحليل مجال التردد إلى مخاريط.

ولمعالجة هذه المشكلة، يتم تقسيم مجال التردد إلى جزء منخفض التردد ومنطقتين مخروطيتين (انظر الشكل):

R={(ξ1،ξ2)∈R2||ξ1|،|ξ2|≤1}،جح={(ξ1،ξ2)∈R2||ξ2/ξ1|≤1،|ξ1|>1}،جv={(ξ1،ξ2)∈R2||ξ1/ξ2|≤1،|ξ2|>1}.{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {R}}&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}|,|\xi _{2}|\leq 1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{2}/\xi _{1}|\leq 1,|\xi _{1}|>1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}/\xi _{2}|\leq 1,|\xi _{2}|>1\right\}.\end{aligned}}}
تبليط التردد لنظام القص المتكيّف مع المخروط
تبليط التردد لنظام القص المتكيف مع المخروط الناتج عن القص الكلاسيكي.

يتكون نظام القص المنفصل المتوافق مع المخروط من ثلاثة أجزاء، كل جزء منها يتوافق مع أحد مجالات التردد هذه. ويتم توليده بواسطة ثلاث وظائف.ϕ،ψ،ψ~∈ل2(R2){\displaystyle \phi ,\psi ,{\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}وعامل أخذ عينات الشبكةج=(ج1،ج2)∈(R>0)2:{\displaystyle c=(c_{1},c_{2})\in (\mathbb {R} _{>0})^{2}:}

ش⁡(ϕ،ψ،ψ~؛ج)=Φ(ϕ؛ج1)∪Ψ(ψ؛ج)∪Ψ~(ψ~؛ج)،{\displaystyle \operatorname {SH} (\phi ,\psi ,{\tilde {\psi }};c)=\Phi (\phi ;c_{1})\cup \Psi (\psi ;c)\cup {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c),}

أين

Φ(ϕ؛ج1)={ϕم=ϕ(⋅-ج1م)|م∈Z2}،Ψ(ψ؛ج)={ψج،ك،م=23ج/4ψ(Sكأ2ج⋅-مجم)|ج≥0،|ك|≤⌈2ج/2⌉،م∈Z2}،Ψ~(ψ~؛ج)={ψ~ج،ك،م=23ج/4ψ(S~كأ~2ج⋅-م~جم)|ج≥0،|ك|≤⌈2ج/2⌉،م∈Z2}،{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\phi ;c_{1})&=\{\phi _{m}=\phi (\cdot {}-c_{1}m)\mid m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\\Psi (\psi ;c)&=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-M_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\{\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c)&=\{{\tilde {\psi }}_{j,k,m}=2^{3j/4}\psi ({\tilde {S}}_{k}{\tilde {A}}_{2^{j}}\cdot {}-{\tilde {M}}_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\end{aligned}}}

مع

أ~أ=[أ1/200أ]،أ>0،S~s=[10s1]،s∈R،مج=[ج100ج2]،وم~ج=[ج200ج1].{\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {A}}_{a}={\begin{bmatrix}a^{1/2}&0\\0&a\end{bmatrix}},\;a>0,\quad {\tilde {S}}_{s}={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix}},\;s\in \mathbb {R} ,\quad M_{c}={\begin{bmatrix}c_{1}&0\\0&c_{2}\end{bmatrix}},\quad {\text{and}}\quad {\tilde {M}}_{c}={\begin{bmatrix}c_{2}&0\\0&c_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

الأنظمةΨ(ψ){\displaystyle \Psi (\psi )}وΨ~(ψ~){\displaystyle {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }})}يختلفان بشكل أساسي في الأدوار المعكوسة لـx1{\displaystyle x_{1}}وx2{\displaystyle x_{2}}وبالتالي، فإنها تتوافق مع المناطق المخروطيةجح{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }}وجv{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }}على التوالي. وأخيرًا، دالة القياسϕ{\displaystyle \phi }يرتبط بالجزء ذي التردد المنخفضR{\displaystyle {\mathcal {R}}}.

التطبيقات

التعميمات والتوسعات

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غو، كانغوي، غيتا كوتينيوك ، وديميتريو لاباتي. "التمثيلات متعددة الأبعاد المتفرقة باستخدام معاملات التمدد والقص غير المتناحية." الموجات الصغيرة والشرائح (أثينا، جورجيا، 2005)، جي. تشين وإم جي لاي، محرران، مطبعة ناشبورو، ناشفيل، تينيسي (2006): 189-201. "PDF" (PDF) .
  2. ↑ دونوهو، ديفيد لي. "المكونات المتفرقة للصور والتحليلات الذرية المثلى". التقريب البنّاء 17.3 (2001): 353-382. "PDF". CiteSeerX 10.1.1.379.8993 . 
  3. ↑ غو، كانغوي، وديميتريو لاباتي. "التمثيل الأمثل متعدد الأبعاد باستخدام القصّات." مجلة SIAM للتحليل الرياضي 39.1 (2007): 298-318. "PDF" (PDF) .
  4. 1 2 كوتينيوك، جيتا ، ووانغ-كيو ليم. "القصات المدعومة بشكل مضغوط تكون متفرقة بشكل مثالي." مجلة نظرية التقريب 163.11 (2011): 1564-1589. "PDF" (PDF) .
  5. 1 2 3 4 5 كوتينيوك، جيتا ، وديميتريو لاباتي، محرران. Shearlets: تحليل متعدد المقاييس للبيانات متعددة المتغيرات . سبرينغر، 2012، ISBN 0-8176-8315-1
  6. ↑ كيتيبوم، بيساماي، جيتا كوتينيوك ، ووانغ-كيو ليم. "بناء إطارات القص ذات الدعم المدمج". التقريب البنائي 35.1 (2012): 21-72. كيتيبوم، ب.؛ كوتينيوك، ج.؛ ليم، و. (2010). "PDF". arXiv : 1003.5481 [ math.FA ].
  7. 1 2 3 كوتينيوك، جيتا ، جاكوب ليمفيج، ووانغ-كيو ليم. "تقريبات متفرقة مثلى للدوال ثلاثية الأبعاد بواسطة إطارات القص ذات الدعم المدمج." مجلة SIAM للتحليل الرياضي 44.4 (2012): 2962-3017. كوتينيوك، جيتا؛ ليمفيج، جاكوب؛ ليم، وانغ-كيو (2011). "PDF". arXiv : 1109.5993 [ math.FA ].
  8. ↑ بورنندو بانيرجي وبي بي تشودري، "تحديد موقع نص الفيديو باستخدام تحويلات المويجات والقص"، في وقائع SPIE 9021، التعرف على المستندات واسترجاعها XXI، 2014 (doi:10.1117/12.2036077). بانيرجي، بورنندو؛ تشودري، بي بي (2013). "تحديد موقع نص الفيديو باستخدام تحويلات المويجات والقص". في كواسنون، برتراند؛ رينجر، إريك ك (محرران). التعرف على المستندات واسترجاعها XXI . المجلد 9021. ص 90210B. arXiv : 1307.4990 . doi : 10.1117/12.2036077 . S2CID 10659099 .   
  9. ↑ غو، كانغوي، وديميتريو لاباتي. "بناء إطارات بارسيفال الملساء للقصات." النمذجة الرياضية للظواهر الطبيعية 8.01 (2013): 82-105. "PDF" (PDF) .
  10. ↑ غروس، فيليب وكوتينيوك، غيتا . "الجزيئات المكافئة". أسس الرياضيات الحاسوبية (قيد النشر) غروس، فيليب؛ كوتينيوك، غيتا (2012). "PDF". arXiv : 1206.1958 [ math.FA ].
  11. ^ إيسلي ، جلين ر. قوه، كانغوي؛ لاباتي، ديميتريو. باهاري ، باسانتا ر. (2020-08-10). "التمثيلات المتناثرة على النحو الأمثل للبيانات الأسطوانية الشبيهة بالرسوم المتحركة" . مجلة التحليل الهندسي . 39 (9): 8926-8946 . دوى : 10.1007 / s12220-020-00493-0 . S2CID 221675372 . تم الاسترجاع 2022-01-22 . 
  12. ↑ برنارد، برنارد ج.؛ لاباتي، ديميتريو؛ باهاري، باسانتا ر. (29-10-2019). "الإسقاطات الملساء وبناء إطارات بارسيفال الملساء للقص" . التقدم في الرياضيات الحاسوبية . 45 ( 5-6 ): 3241-3264 . doi : 10.1007/s10444-019-09736-3 . S2CID 210118010. تاريخ الاسترجاع: 22-01-2022 .