دالة متعددة التعريف

الموسوعة الحرة

رسم بياني للدالة الخطية المجزأةو(x)={-3-xلوx≤-3x+3لو-3≤x≤03-2xلو0≤x≤30.5x-4.5لو3≤x{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.}

في الرياضيات ، الدالة المُعرَّفة على أجزاء (وتُسمى أيضًا الدالة المُعرَّفة على أجزاء ، أو الدالة الهجينة، أو الدالة المُعرَّفة بالحالات) هي دالة يُقسَّم مجالها إلى عدة فترات ( " مجالات فرعية " ) يُمكن تعريف الدالة عليها بطرق مختلفة. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] التعريف على أجزاء هو في الواقع طريقة لتحديد الدالة، وليس سمة من سمات الدالة الناتجة نفسها، إذ يُمكن إعادة كتابة أي دالة يحتوي مجالها على نقطتين على الأقل كدالة مُعرَّفة على أجزاء. تتناول الفقرات الثلاث الأولى من هذه المقالة هذا المعنى الأول لمصطلح "مُعرَّفة على أجزاء".

تُعدّ مصطلحات مثل "خطية متقطعة" و "سلسة متقطعة" و "متصلة متقطعة " وغيرها شائعة جدًا أيضًا. ويعني مصطلح "متقطعة" أن تكون الدالةP{\displaystyle P}، لعقارP{\displaystyle P}، وهو تقريبًا أن مجال الدالة يمكن تقسيمه إلى أجزاء يكون فيها الخاصيةP{\displaystyle P}صحيح، لكن هذا المصطلح يُستخدم بشكل مختلف قليلاً من قِبل مؤلفين مختلفين. [ 4 ] [ 5 ] على عكس المعنى الأول، هذه خاصية للدالة نفسها وليست مجرد طريقة لتحديدها. أحيانًا يُستخدم المصطلح بمعنى أشمل يشمل التثليثات؛ انظر: متعدد الشعب الخطي القطعي .

الترميز والتفسير

رسم بياني لدالة القيمة المطلقة ،y=|x|{\displaystyle y=\vert x\vert }⁠
الوظيفة​و(x)=مين(1،x2){\displaystyle f(x)=\min(1,x^{2})}هي دالة رتيبة جزئياً(مجالات فرعية)(-∞،0]{\displaystyle (-\infty ,0]}، ⁠[0،+∞){\displaystyle [0,+\infty )}) وقابلة للتفاضل على أجزاء(مجالات فرعية )(-∞،-1]{\displaystyle (-\infty ,-1]}،​​[-1،+1]{\displaystyle [-1,+1]}و​​[+1،+∞){\displaystyle [+1,+\infty )}) .

يمكن تعريف الدوال المتعددة التعريف باستخدام الترميز الوظيفي الشائع ، حيث يكون جسم الدالة عبارة عن مصفوفة من الدوال والمجالات الفرعية المرتبطة بها. وقد تلي أعمدة الدوال الفرعية أو المجالات الفرعية فاصلة منقوطة أو فاصلة . [ 2 ]لو{\displaystyle {\text{if}}}أول{\displaystyle {\text{لـ}}}نادراً ما يتم حذفها في بداية العمود الأيمن. [ 2 ]

يجب أن تغطي المجالات الفرعية مجتمعةً المجال بأكمله ؛ وفي بعض الأحيان يُشترط أيضًا أن تكون منفصلة مثنى مثنى، أي أن تُشكّل تجزئةً للمجال. [ 6 ] هذا كافٍ لكي تكون الدالة "مُعرّفة بالحالات"، ولكن لكي تكون الدالة الكلية "مُجزّأة"، يُشترط عادةً أن تكون المجالات الفرعية فترات غير فارغة (قد يكون بعضها فترات مُنحلة، أي نقاط مفردة أو فترات غير محدودة)، وغالبًا لا يُسمح لها باحتواء عدد لا نهائي من المجالات الفرعية في أي فترة محدودة. هذا يعني أن الدوال ذات المجالات المحدودة سيكون لها عدد محدود فقط من المجالات الفرعية، بينما يمكن للدوال ذات المجالات غير المحدودة أن تحتوي على عدد لا نهائي من المجالات الفرعية، طالما أنها موزعة بشكل مناسب.

كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك التعريف المجزأ لدالة القيمة المطلقة : [ 2 ]|x|={-x،لو x<0+x،لو x≥0.{\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}} لجميع قيمx{\displaystyle x}أقل من الصفر، الدالة الفرعية الأولى (-x{\displaystyle -x}يُستخدم الرمز ) الذي يعكس إشارة قيمة الإدخال، مما يجعل الأعداد السالبة موجبة. لجميع قيمx{\displaystyle x}أكبر من أو يساوي الصفر، الدالة الفرعية الثانية (x{\displaystyle x}يتم استخدام ) ، والذي يتم تقييمه بشكل بديهي إلى قيمة الإدخال نفسها.

يوضح الجدول التالي دالة القيمة المطلقة عند قيم معينة لـx{\displaystyle x}:

xf ( x )الوظيفة الفرعية المستخدمة
-33-x{\displaystyle -x}
-0.10.1-x{\displaystyle -x}
00x{\displaystyle x}
نصفنصفx{\displaystyle x}
55x{\displaystyle x}

لتقييم دالة معرفة على أجزاء عند قيمة إدخال معينة، يجب اختيار المجال الفرعي المناسب لاختيار الدالة الفرعية الصحيحة - وإنتاج قيمة الإخراج الصحيحة.

أمثلة

  • دالة متدرجة أو دالة ثابتة متعددة الأجزاء، تتكون من دوال فرعية ثابتة
  • الدالة الخطية المجزأة ، تتكون من دوال فرعية خطية
  • دالة سلسة متعددة الأجزاء، تتكون من دوال فرعية سلسة
  • قانون القوة المكسور ، وهو دالة تتكون من دوال فرعية لقانون القوة
  • Spline ، دالة تتكون من دوال فرعية متعددة الحدود، وغالبًا ما تكون مقيدة لتكون سلسة عند المفاصل بين القطع
  • و(x)={خبرة⁡(-11-x2)،x∈(-1،1)0،خلاف ذلك{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}وبعض دوال Bump الشائعة الأخرى . هذه الدوال قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية، لكن خاصية التحليلية تنطبق فقط على الدوال المجزأة.

استمرارية وقابلية اشتقاق الدوال المعرفة على أجزاء

رسم بياني للدالة التربيعية المجزأةو(x)={x2لوx<0.7071.5-(x-1.414)2لو0.707≤x{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.}انقطاعها الوحيد هو عندx0=0.707{\displaystyle x_{0}=0.707}.

تكون الدالة المعرفة على أجزاء متصلة على فترة معينة في مجالها إذا تحققت الشروط التالية:

  • تكون وظائفها الفرعية متصلة على الفترات (المجالات الفرعية) المقابلة،
  • لا يوجد انقطاع عند نقطة نهاية أي نطاق فرعي ضمن تلك الفترة.

الدالة الموضحة، على سبيل المثال، متصلة على أجزاء في جميع نطاقاتها الفرعية، ولكنها غير متصلة على النطاق بأكمله، لأنها تحتوي على انقطاع قفزي عندx0{\displaystyle x_{0}}تشير الدائرة المظللة إلى أن قيمة الدالة الفرعية اليمنى مستخدمة في هذا الموضع.

لكي تكون الدالة المعرفة على أجزاء قابلة للتفاضل على فترة معينة في مجالها، يجب استيفاء الشروط التالية بالإضافة إلى شروط الاستمرارية المذكورة أعلاه:

  • تكون دوالها الفرعية قابلة للتفاضل على الفترات المفتوحة المقابلة ،
  • توجد المشتقات أحادية الجانب عند جميع نقاط نهاية الفترات،
  • عند النقاط التي تتلامس فيها فترتان جزئيتان، تتطابق المشتقات أحادية الجانب المتناظرة للفترتين الجزئيتين المتجاورتين. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

التطبيقات

في التحليل الرياضي التطبيقي، وُجد أن الدوال "المنتظمة جزئيًا" تتوافق مع العديد من نماذج النظام البصري البشري ، حيث تُدرك الصور في المرحلة الأولى على أنها تتكون من مناطق ملساء تفصلها حواف (كما في الرسوم المتحركة )؛ [ 10 ] الدالة الشبيهة بالرسوم المتحركة هي دالة من الفئة C2 ، ملساء باستثناء وجود منحنيات عدم الاستمرارية. [ 11 ] على وجه الخصوص، استُخدمت دوال القص كنظام تمثيل لتوفير تقريبات متفرقة لهذه الفئة من النماذج في بعدين وثلاثة أبعاد.

تُستخدم الدوال المعرفة على أجزاء بشكل شائع أيضًا للاستيفاء، كما هو الحال في استيفاء أقرب جار .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "الدوال القطعية" . www.mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 أغسطس 2020 .
  2. 1 2 3 4 وايسشتاين، إريك دبليو. "الدالة القطعية" . عالم الرياضيات .
  3. ↑ "الدوال القطعية" . brilliant.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-09-2020 .
  4. ↑ إس إم نيكولسكي (1977). دورة في التحليل الرياضي، المجلد 1. ص 178. 
  5. ↑ سوفرونيديس، نيكولاوس إفستاثيو (2005). "مجموعة الدوال المتصلة القابلة للتفاضل على أجزاء" . مجلة تبادل التحليل الحقيقي . 31 (1): 13-22 . doi : 10.14321/realanalexch.31.1.0013 (غير نشط 2025-08-11).{{cite journal}}: صيانة CS1: تم تعطيل DOI اعتبارًا من أغسطس 2025 ( رابط )
  6. ↑ من المتطلبات الأضعف الممكنة أن تتفق جميع التعريفات على المجالات الفرعية المتقاطعة.
  7. ↑ ريمان، أولف (2001) [1994]. "المشتقة أحادية الجانب" . موسوعة الرياضيات . دار نشر EMS .
  8. ↑ إيلين، ف. أ.؛ بوزنياك، إ. ج. (1982). أساسيات التحليل الرياضي . المجلد 1. ترجمة إيرين ألكسانوفا من الروسية. دار نشر مير، موسكو. الصفحات 146، 177. ISBN   978-93-859-2386-9.
  9. ↑ كانوتو، كلاوديو؛ تاباكو، أنيتا (2008). التحليل الرياضي 1. ترجمة: سيمون ج. كيوسي. ميلانو: سبرينغر-فيرلاغ إيطاليا. ص 83، 176. ISBN  978-88-470-0875-5.
  10. ↑ كوتينيوك، جيتا ؛ لاباتي، ديميتريو (2012). "مقدمة في قصات الصوف" (ملف PDF) . قصات الصوف . بيركهاوزر : 1-38 .هنا: صفحة 8
  11. ↑ كوتينيوك، جيتا؛ ليم، وانغ-كيو (2011). "القصات ذات الدعم المدمج تكون متفرقة على النحو الأمثل". مجلة نظرية التقريب . 163 (11): 1564-1589 . arXiv : 1002.2661 . doi : 10.1016/j.jat.2011.06.005 .