نظرية بيتوت

تنص نظرية بيتو في الهندسة على أنه في شكل رباعي مماس، يكون لكل زوجين من الأضلاع المتقابلة نفس الطول الإجمالي. وقد سُميت نسبةً إلى المهندس الفرنسي هنري بيتو . ^{[ 1 ]}

يُعرَّف الشكل الرباعي المماسي عادةً بأنه شكل رباعي محدب تكون جميع أضلاعه الأربعة مماسة لنفس الدائرة الداخلية . وتنص نظرية بيتو على أنه بالنسبة لهذه الأشكال الرباعية، يكون مجموع طولي الضلعين المتقابلين متساويًا. ويساوي كلا المجموعين نصف محيط الشكل الرباعي. ^{[ 2 ]}

والعكس صحيح أيضاً: فكلما كان للشكل الرباعي المحدب أزواج من الأضلاع المتقابلة التي لها مجموع أطوال متساوية، فإنه يحتوي على دائرة داخلية. لذا، فهذا وصف دقيق: الأشكال الرباعية المماسية هي تحديداً الأشكال الرباعية التي لها مجموع أطوال أضلاع متقابلة متساوٍ. ^{[ 2 ]}

إحدى طرق إثبات نظرية بيتو هي تقسيم أضلاع أي شكل رباعي مماس عند نقاط تماس الدائرة المحيطة به مع كل ضلع. يقسم هذا التقسيم الأضلاع الأربعة إلى ثمانية أجزاء، بين رأس الشكل الرباعي ونقطة التماس مع الدائرة. أي جزأين من هذه الأجزاء يلتقيان عند نفس الرأس لهما نفس الطول، مكونين زوجًا من الأجزاء المتساوية في الطول. أي ضلعين متقابلين يحتويان على جزء واحد من كل زوج من هذه الأجزاء. بالتالي، فإن الأجزاء الأربعة في ضلعين متقابلين لها نفس الطول، ومجموع أطوالها، مثل الأجزاء الأربعة في الضلعين المتقابلين الآخرين.

إحدى طرق إثبات عكس النظرية هي استخدام ثلاثة أضلاع لرسم الدائرة. أي، نرسم منصفات الزوايا عند النقطتين B وC، ونجعلها تتقاطع عند النقطة O - التي ستكون مركز الدائرة. ولتكن P وQ وR النقاط الوحيدة على (على التوالي) AB وBC وCD الأقرب إلى O. الخطوط الواصلة من O إلى كل من هذه النقاط تتقاطع مع الخطوط المقابلة لها بزاوية قائمة . المسافة |OQ| هي نصف قطر الدائرة. باستخدام اختبارات التطابق (زاوية -ضلع- زاوية )، تكون المسافات |OP| و|OQ| و|OR| متساوية. وبالتالي، فإن الأضلاع AB وBC وCD جميعها مماسية للدائرة المرسومة.

لنفترض (بهدف إثبات تناقض) أن الضلع الرابع (AD) ليس مماسًا للدائرة. نرسم ضلعًا جديدًا من A يكون مماسًا للدائرة. ليكن هذا الضلع متقاطعًا مع الخط المار بالدائرة CD عند النقطة E (يمكن أن تكون هذه النقطة داخلية أو خارجية للشكل الرباعي). بما أن ABCE شكل رباعي مماس، فبحسب نظرية بيتو، يكون |AB| + |CE| = |BC| + |EA|. ومن الفرضية أيضًا، يكون |AB| + |CD| = |BC| + |DA|. بأخذ الفروق، نحصل على |CE| - |CD| = |EA| - |DA|، والتي تصبح عمومًا max(|EA|,|DA|) - min(|EA|,|DA|) = ||CE|-|CD|| = |ED|. إذن، max(|EA|,|DA|) = min(|EA|,|DA|) + |ED|. وهذا يعني أن المثلث ذو الرؤوس ADE متدهور، وبالتالي فإن AD مماس للدائرة مما يؤدي إلى التناقض المطلوب.

أثبت هنري بيتو نظريته في عام 1725، بينما أثبت عالم الرياضيات السويسري جاكوب شتاينر العكس في عام 1846. ^{[ 2 ]}

تُعمم نظرية بيتو لتشمل الحركة المماسية${\displaystyle 2n}$في حالة المضلعات ذات n ضلعًا، يكون مجموع طولي الضلعين المتبادلين متساويًا. وينطبق نفس مبدأ البرهان. ^{[ 3 ]}

• ألكسندر بوغومولني، "متى يكون الشكل الرباعي قابلاً للكتابة؟" على موقع Cut-the-knot
• "تعميم لنظرية بيتو"