المدى المقذوف

في الرياضيات ، المدى الإسقاطي هو مجموعة من النقاط في الهندسة الإسقاطية تُعتبر وحدةً متكاملة. قد يكون المدى الإسقاطي خطًا إسقاطيًا أو قطعًا مخروطيًا . وهو أيضًا ثنائي حزمة من الخطوط عند نقطة معينة. على سبيل المثال، يُبدّل الارتباط نقاط المدى الإسقاطي بخطوط حزمة الخطوط. يُقال إن الإسقاطية تعمل من مدى إلى آخر، مع أن المدىين قد يتطابقان كمجموعتين.

يُعبّر المدى الإسقاطي عن ثبات العلاقة بين المرافقات التوافقية الإسقاطية . في الواقع، تُحدّد ثلاث نقاط على خط إسقاطي نقطة رابعة بهذه العلاقة. ويؤدي تطبيق الإسقاطية على هذه المجموعة الرباعية إلى أربع نقاط أخرى في العلاقة التوافقية. تُسمى هذه المجموعة الرباعية من النقاط بالمدى التوافقي . في عام 1940، وصف جوليان كوليدج هذا التركيب وحدّد مبتكره: ^{[ 1 ]}

يُعرَّف شكلان أساسيان أحاديا البعد، مثل نطاقات النقاط أو حزم الخطوط أو المستويات، بأنهما إسقاطيان عندما تكون عناصرهما متناظرة تناظرًا تامًا، وتتوافق مجموعة توافقية لأحدهما مع مجموعة توافقية للآخر. وإذا رُبط شكلان أحاديا البعد بسلسلة من الإسقاطات والتقاطعات، فإن العناصر التوافقية ستتوافق مع العناصر التوافقية، وتكون إسقاطية بالمعنى الذي قصده فون شتاودت .

عند اختيار قطع مخروطي لنطاق إسقاطي، واختيار نقطة معينة E على القطع المخروطي كنقطة أصل، يمكن تعريف جمع النقاط على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

لنفترض أن النقطتين A و B تقعان ضمن المدى (القطع المخروطي)، وأن AB هو الخط الواصل بينهما. ولنفترض أن L هو الخط المار بالنقطة E والموازي لـ AB . مجموع النقطتين A و B ، أي A + B ، هو نقطة تقاطع L مع المدى.

الدائرة والقطع الزائد هما مثالان على القطع المخروطي ويمكن توليد مجموع الزوايا على أي منهما بطريقة "مجموع النقاط"، بشرط أن تكون النقاط مرتبطة بالزوايا على الدائرة والزوايا الزائدية على القطع الزائد.

• HSM Coxeter (1955) The Real Projective Plane , University of Toronto Press , p 20 for line, p 101 for conic .