التجانس الكتابي

في الهندسة الإسقاطية ، يُعرَّف التماثل الهندسي بأنه تماثل بين الفضاءات الإسقاطية ، ناتج عن تماثل بين فضاءات المتجهات التي تُشتق منها هذه الفضاءات. ^{[ 1 ]} وهو تقابل يُسقط الخطوط على بعضها، وبالتالي فهو تماثل خطي . عمومًا، بعض التماثلات الخطية ليست تماثلات هندسية، لكن النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية تُؤكد أن هذا لا ينطبق على الفضاءات الإسقاطية الحقيقية ذات البُعد اثنين على الأقل. ومن المرادفات: الإسقاطية ، والتحويل الإسقاطي ، والتماثل الخطي الإسقاطي .

تاريخيًا، استُخدمت التحويلات المتماثلة (والفضاءات الإسقاطية) لدراسة المنظور والإسقاطات في الهندسة الإقليدية ، ويعود مصطلح التحويل المتماثل ، الذي يعني لغويًا تقريبًا "الرسم المتشابه"، إلى ذلك الوقت. في نهاية القرن التاسع عشر، طُرحت تعريفات رسمية للفضاءات الإسقاطية، والتي وسّعت الفضاءات الإقليدية والخطية بإضافة نقاط جديدة تُسمى نقاط اللانهاية . نشأ مصطلح "التحويل الإسقاطي" من هذه البنى المجردة. تنقسم هذه البنى إلى فئتين ثبت تكافؤهما. يمكن بناء الفضاء الإسقاطي كمجموعة خطوط فضاء متجهي فوق حقل مُعطى (يستند التعريف أعلاه إلى هذه الصيغة)؛ يُسهّل هذا البناء تعريف الإحداثيات الإسقاطية ويسمح باستخدام أدوات الجبر الخطي لدراسة التحويلات المتماثلة. أما النهج البديل فيتمثل في تعريف الفضاء الإسقاطي من خلال مجموعة من البديهيات، التي لا تتضمن أي حقل بشكل صريح ( هندسة الوقوع ، انظر أيضًا الهندسة التركيبية ). في هذا السياق، يكون تعريف التطابقات أسهل من تعريف التماثلات، ويتم تعريف التماثلات على أنها تطابقات محددة، وبالتالي تسمى "التطابقات الإسقاطية".

لتبسيط الأمور، ما لم يُذكر خلاف ذلك، يُفترض أن الفضاءات الإسقاطية المذكورة في هذه المقالة مُعرَّفة على حقل (تبادلي) . وبالمثل، يُفترض صحة نظرية بابوس السداسية ونظرية ديزارج . ويبقى جزء كبير من النتائج صحيحًا، أو يمكن تعميمه على الهندسات الإسقاطية التي لا تنطبق عليها هذه النظريات.

تاريخياً، تم تقديم مفهوم التجانس لفهم وشرح ودراسة المنظور البصري ، وتحديداً الفرق في مظهر جسمين مستويين يتم رؤيتهما من وجهات نظر مختلفة.

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، يُعرَّف الإسقاط المركزي من نقطة O (المركز) إلى مستوى P لا يحتوي على O بأنه التطبيق الذي يُرسل النقطة A إلى نقطة تقاطع (إن وُجدت) الخط OA مع المستوى P. ويكون الإسقاط غير مُعرَّف إذا كانت النقطة A تنتمي إلى المستوى المار بالنقطة O والموازي للمستوى P. وقد طُرِح مفهوم الفضاء الإسقاطي في الأصل بتوسيع الفضاء الإقليدي، أي بإضافة نقاط في اللانهاية إليه، وذلك لتعريف الإسقاط لكل نقطة باستثناء O.

بالنظر إلى مستوى آخر Q ، والذي لا يحتوي على O ، فإن تقييد الإسقاط أعلاه على Q يسمى المنظور .

وفقًا لهذه التعريفات، تُعدّ المنظورية دالة جزئية فقط ، لكنها تصبح تقابلًا عند تعميمها على الفضاءات الإسقاطية. لذا، يُعرَّف هذا المفهوم عادةً للفضاءات الإسقاطية. كما يُمكن تعميمه بسهولة على الفضاءات الإسقاطية ذات أي بُعد، على أي حقل ، على النحو التالي:

بالنظر إلى فضاءين إسقاطيين P و Q من البعد n ، فإن المنظورية هي تقابل من P إلى Q يمكن الحصول عليه عن طريق تضمين P و Q في فضاء إسقاطي R من البعد n + 1 وتقييد الإسقاط المركزي على Q إلى P.

إذا كانت f منظورًا من P إلى Q ، و g منظورًا من Q إلى P ، بمركز مختلف، فإن g ⋅ f هو تجانس من P إلى نفسه، ويُسمى تجانسًا مركزيًا ، عندما يكون بُعد P اثنين على الأقل. (انظر §  التجانسات المركزية أدناه و §  التجانسات المنظورية ).

في الأصل، عُرّف التماثل الهندسي بأنه تركيب عدد محدود من المنظورات. ^{[ 2 ]} ومن ضمن النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية (انظر أدناه) أن هذا التعريف يتطابق مع التعريف الجبري الأكثر تفصيلاً الذي تم توضيحه في المقدمة والمفصل أدناه.

يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي P( V ) ذي البعد n على حقل K بأنه مجموعة الخطوط المارة بنقطة الأصل في فضاء متجهي V ذي البعد n + 1. إذا تم تحديد أساس للفضاء V ، فيمكن تمثيل أي نقطة ^فيه بنقطة ( x₀ _, ..., xₙ ) في Kₙ₊₁ ^. وبما أن النقطة P( V ) خط في V ، فيمكن تمثيلها بإحداثيات أي نقطة غير صفرية على هذا الخط _، والتي تُسمى الإحداثيات المتجانسة للنقطة الإسقاطية.

بفرض وجود فضاءين إسقاطيين P( V ) و P( W ) من نفس البُعد، فإن التماثل هو تطبيق من P( V ) إلى P( W ) ناتج عن تماثل بين فضاءين متجهيين f  : V → W. يُولّد هذا التماثل تقابلًا من P( V ) إلى P( W ) نظرًا لخطية f . يُعرّف تماثلان من هذا النوع، f و g ، نفس التماثل إذا وفقط إذا وُجد عنصر غير صفري a من K بحيث يكون g = af .

يمكن كتابة ذلك بدلالة الإحداثيات المتجانسة على النحو التالي: يمكن تعريف التحويل المتجانس φ بواسطة مصفوفة غير منفردة ( n +1) × ( n +1) [ a_{_{i , j}} ]، تُسمى مصفوفة التحويل المتجانس . تُعرَّف هذه المصفوفة حتى الضرب بعنصر غير صفري من K. ترتبط الإحداثيات المتجانسة [ x _₀  : ...  : x_{_n} ] لنقطة ما وإحداثيات صورتها [ y _₀  : ...  : y _{_n} ] بواسطة φ بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}&=a_{0,0}x_{0}+\dots +a_{0,n}x_{n}\\&\vdots \\y_{n}&=a_{n,0}x_{0}+\dots +a_{n,n}x_{n}.\end{aligned}}}$

عندما تُعرَّف الفضاءات الإسقاطية بإضافة نقاط عند اللانهاية إلى الفضاءات الأفينية (الإكمال الإسقاطي)، تصبح الصيغ السابقة، في الإحداثيات الأفينية،

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&={\frac {a_{1,0}+a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\\&\vdots \\y_{n}&={\frac {a_{n,0}+a_{n,1}x_{1}+\dots +a_{n,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\end{aligned}}}$

وهذا يعمم صيغة الدالة المتجانسة في القسم التالي. وهي تُعرّف دالة جزئية فقط بين الفضاءات الأفينية، وتُعرّف هذه الدالة فقط خارج المستوى الفائق حيث يكون المقام صفرًا.

يمكن تعريف الخط الإسقاطي فوق حقل K باتحاد K ونقطة تُسمى "نقطة اللانهاية" ويُرمز لها بـ ∞ (انظر الخط الإسقاطي ). وباستخدام هذا التمثيل للخط الإسقاطي، تكون التحويلات المتجانسة هي التطبيقات

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},{\text{ where }}ad-bc\neq 0,}$

والتي تسمى الدوال المتجانسة أو التحويلات الكسرية الخطية .

في حالة الخط الإسقاطي المركب ، الذي يمكن تحديده مع كرة ريمان ، تُسمى التحويلات المتجانسة بتحويلات موبيوس . وتتوافق هذه التحويلات بدقة مع تلك التقابلات على كرة ريمان التي تحافظ على التوجيه وتكون متطابقة. ^{[ 3 ]}

في دراسة التوازي، تُعدّ حالة الخطوط الإسقاطية حالةً خاصة نظرًا لصغر أبعادها. فعندما يُنظر إلى الخط على أنه فضاء إسقاطي معزول، فإن أي تبديل لنقاط هذا الخط يُعدّ توازيًا، ^{[ 4 ]} لأن كل مجموعة من النقاط تقع على خط مستقيم واحد. مع ذلك، إذا كان الخط الإسقاطي مُضمّنًا في فضاء إسقاطي ذي أبعاد أعلى، يُمكن استخدام البنية الهندسية لهذا الفضاء لفرض بنية هندسية على الخط. وبالتالي، في الهندسة التركيبية، فإن التحويلات المتجانسة والتوازيات للخط الإسقاطي التي تُؤخذ في الاعتبار هي تلك المُستمدة من قيود على خط التوازيات والتحويلات المتجانسة للفضاءات ذات الأبعاد الأعلى. هذا يعني أن النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية (انظر أدناه) تظل صالحة في الإطار أحادي البعد. كما يُمكن تعريف التحويل المتجانس للخط الإسقاطي تعريفًا صحيحًا من خلال اشتراط أن يحافظ التطبيق على النسب التبادلية . ^{[ 5 ]}

الإطار الإسقاطي أو الأساس الإسقاطي لفضاء إسقاطي ذي بُعد n هو مجموعة مرتبة من n + 2 نقطة بحيث لا يحتوي أي مستوى فائق على n + 1 منها. يُطلق على الإطار الإسقاطي أحيانًا اسم " مُجَسَّم بسيط " ^{[ 6 ]،} مع العلم أن المُجَسَّم البسيط في فضاء ذي بُعد n يحتوي على n + 1 رأسًا على الأكثر .

يتم النظر في الفضاءات الإسقاطية فوق حقل تبادلي K في هذا القسم، على الرغم من أنه يمكن تعميم معظم النتائج على الفضاءات الإسقاطية فوق حلقة القسمة .

ليكن P ( V ) فضاءً إسقاطيًا من البعد n ، حيث V هو فضاء متجه K من البعد n + 1 ، و p  : V ∖ {0} → P ( V ) هو الإسقاط القانوني الذي يرسم متجهًا غير صفري إلى خط المتجهات الذي يحتويه.

لكل إطار من P ( V ) ، توجد قاعدة e₀ _، ...، _eₙ من V بحيث يكون الإطار ( p ( e₀ )، ...، p ( eₙ ₎ ، p ( e₀ ₊ ... + eₙ ₎ ) _، وتكون هذه القاعدة فريدة حتى ضرب جميع عناصرها بنفس العنصر غير الصفري من K. وبالعكس، إذا كانت e₀ _، ...، _eₙ قاعدة من V ، فإن ( p ( e₀ )، ...، p ( eₙ ₎ ، p ( _e₀ + ... + eₙ ₎ ) هو إطار من P ( V ) _.

يستنتج من ذلك أنه، عند وجود إطارين، يوجد تحويل تماثلي واحد فقط يربط الأول بالثاني. وعلى وجه الخصوص، فإن التحويل التماثلي الوحيد الذي يثبت نقاط الإطار هو تحويل التطابق . وتُعد هذه النتيجة أكثر صعوبة في الهندسة التركيبية (حيث تُعرَّف الفضاءات الإسقاطية من خلال بديهيات). ويُطلق عليها أحيانًا اسم النظرية الأساسية الأولى للهندسة الإسقاطية . ^{[ 7 ]}

يُتيح كل إطار ( p ( e₀ ), ..., p ( eₙ ₎ , p ( e₀ ₊ ... + _eₙ ) ) تعريف الإحداثيات الإسقاطية ، والمعروفة أيضًا بالإحداثيات المتجانسة : يُمكن كتابة أي نقطة على الصورة _p ( v ) ؛ الإحداثيات الإسقاطية لـ p ( v ) على هذا الإطار هي إحداثيات v على الإطار الأساسي ( e₀ _, ..., eₙ ₎ . من السهل التحقق من أن تغيير eᵢ _و v ، دون تغيير الإطار أو p ( v ) ، يؤدي إلى ضرب الإحداثيات الإسقاطية بنفس العنصر غير الصفري من K.

للفضاء الإسقاطي P n ( K ) = P ( K n +1 ) إطارٌ معياريٌّ يتألف من صورة الأساس المعياري لـ K n +1  (المكون من العناصر التي لها مدخل واحد غير صفري فقط، وهو يساوي 1)، و (1، 1، ...، 1) . على هذا الأساس، تكون الإحداثيات المتجانسة لـ p ( v ) هي ببساطة مدخلات (معاملات) المجموعة v . وبالنظر إلى فضاء إسقاطي آخر P ( V ) من نفس البُعد، وإطار F خاص به، يوجد تحويل تجانسي واحد فقط h يُسقط F على الإطار المعياري لـ P n ( K ) . الإحداثيات الإسقاطية لنقطة a على الإطار F هي الإحداثيات المتجانسة لـ h ( a ) على الإطار المعياري لـ P n ( K ) .

في الأقسام السابقة، تم تعريف التحويلات المتجانسة باستخدام الجبر الخطي. أما في الهندسة التركيبية ، فتُعرَّف تقليديًا بأنها تركيب تحويل متجانس واحد أو أكثر من التحويلات المتجانسة الخاصة التي تُسمى بالاستقامات المركزية . ومن ضمن النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية أن التعريفين متكافئان.

في فضاء إسقاطي، P ، ذي بُعد n ≥ 2 ، يُعرَّف التوازي في P بأنه تقابل من P إلى P يُسقط الخطوط على بعضها. التوازي المركزي (كان يُطلق عليه تقليديًا اسم المنظورات ، ^{[ 8 ]} ولكن قد يكون هذا المصطلح مُضللًا، إذ له معنى آخر؛ انظر المنظور ) هو تقابل α من P إلى P ، بحيث يوجد مستوى فائق H (يُسمى محور α )، مُثبَّت نقطيًا بواسطة α (أي أن α ( X ) = X لجميع النقاط X في H ) ، ونقطة O (تُسمى مركز α ) ، مُثبَّتة خطيًا بواسطة α (أي خط يمر عبر O يُسقط على نفسه بواسطة α ، ولكن ليس بالضرورة نقطيًا). ^{[ 9 ]} يوجد نوعان من التوازيات المركزية. التوازيات المائلة هي التوازيات المركزية التي يقع مركزها على المحور، والتوازيات المتماثلة هي التوازيات المركزية التي لا يقع مركزها على المحور. يُعرَّف التوازي المركزي تعريفًا فريدًا بمركزه ومحوره وصورة النقطة P المعطاة α ( P ) التي تختلف عن المركز O ولا تنتمي إلى المحور. (صورة النقطة Q الأخرى α ( Q ) هي تقاطع الخط المحدد بالنقطتين O و Q مع الخط المار بالنقطة P ، وتقاطع الخط المحدد بالنقطتين P و Q مع محوره ) .

التماثل المركزي هو تحويل متجانس يُعرَّف بمصفوفة ( n +1) × ( n +1) ذات فضاء ذاتي ذي بُعد n . وهو تحويل متجانس إذا كانت للمصفوفة قيمة ذاتية أخرى وبالتالي قابلة للتقطير . وهو تحويل متجانس إذا كانت جميع القيم الذاتية متساوية والمصفوفة غير قابلة للتقطير.

يسهل رؤية التمثيل الهندسي للخط المركزي في المستوى الإسقاطي. لنفترض وجود خط مركزي α ، ولنعتبر خطًا ℓ لا يمر بالمركز O ، وصورته تحت تأثير α ، أي ℓ ′ = α (ℓ) . بوضع R = ℓ ∩ ℓ ′ ، يكون محور α هو خط M يمر بـ R. صورة أي نقطة A من ℓ تحت تأثير α هي تقاطع OA مع ℓ ′ . يمكن إنشاء صورة B ′ لنقطة B لا تنتمي إلى ℓ بالطريقة التالية: لنفترض أن S = AB ∩ M ، إذن B ′ = SA ′ ∩ OB .

إنّ تركيب خطين مركزيين متوازيين، مع كونه تجانسًا في العموم، ليس خطًا مركزيًا متوازيًا. في الواقع، كل تجانس هو تركيب لعدد محدود من الخطوط المركزية المتوازية. في الهندسة التركيبية، تُعتبر هذه الخاصية، التي تُعدّ جزءًا من النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية، تعريفًا للتجانسات. ^{[ 10 ]}

توجد عمليات استقامة خطية إلى جانب التحويلات المتجانسة. على وجه الخصوص، أي تشاكل حقلي σ لحقل F يُحدث استقامة خطية لكل فضاء إسقاطي فوق F بتطبيق σ على جميع الإحداثيات المتجانسة (فوق إطار إسقاطي) لنقطة ما. تُسمى هذه الاستقامات الخطية بالاستقامات الخطية التشاكلية .

تتكون النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية من النظريات الثلاث التالية.

1. بالنظر إلى إطارين إسقاطيين لفضاء إسقاطي P ، يوجد تجانس واحد فقط لـ P يقوم برسم الإطار الأول على الإطار الثاني.
2. إذا كان بُعد الفضاء الإسقاطي P يساوي اثنين على الأقل، فإن كل استقامة خطية لـ P هي تركيب لاستقامة خطية ذاتية وتجانس. وعلى وجه الخصوص، على الأعداد الحقيقية، فإن كل استقامة خطية لفضاء إسقاطي ذي بُعد يساوي اثنين على الأقل هي تجانس. ^{[ 11 ]}
3. كل تجانس هو تركيب لعدد محدود من المنظورات . على وجه الخصوص، إذا كان بُعد الفضاء الإسقاطي الضمني اثنين على الأقل، فإن كل تجانس هو تركيب لعدد محدود من المحاذاة المركزية.

إذا عُرِّفت الفضاءات الإسقاطية باستخدام البديهيات ( الهندسة التركيبية )، فإن الجزء الثالث يُعد تعريفًا فحسب. أما إذا عُرِّفت باستخدام الجبر الخطي، فإن الجزء الأول يُعد نتيجة طبيعية للتعريفات. لذا، فإن إثبات الجزء الأول في الهندسة التركيبية، وإثبات الجزء الثالث باستخدام الجبر الخطي، كلاهما خطوتان أساسيتان في إثبات تكافؤ الطريقتين لتعريف الفضاءات الإسقاطية.

بما أن لكل تحويل متماثل دالة عكسية ، وتركيب تحويلين متماثلين دالة عكسية أخرى، فإن التحويلات المتماثلة لفضاء إسقاطي معين تشكل زمرة . على سبيل المثال، زمرة موبيوس هي زمرة التحويل المتماثل لأي خط إسقاطي معقد.

بما أن جميع الفضاءات الإسقاطية ذات البعد نفسه على الحقل نفسه متماثلة، فإن الأمر نفسه ينطبق على مجموعات التماثل الخاصة بها. ولذلك، تُعتبر هذه المجموعات بمثابة مجموعة واحدة تعمل على عدة فضاءات، ولا يظهر في الترميز سوى البعد والحقل، وليس الفضاء الإسقاطي المحدد.

تُرمز مجموعات التماثل، التي تُسمى أيضًا بالمجموعات الخطية الإسقاطية، بالرمز PGL( n + 1, F ) عند تطبيقها على فضاء إسقاطي ذي بُعد n على حقل F. يُبين التعريف أعلاه للتماثلات أن PGL( n + 1, F ) يُمكن تعريفها على أنها مجموعة القسمة GL( n + 1, F ) / F ^× I ، حيث GL( n + 1, F ) هي المجموعة الخطية العامة للمصفوفات القابلة للعكس ، و F ^× I هي مجموعة حاصل ضرب مصفوفة الوحدة ذات الحجم ( n + 1) × ( n + 1) بعنصر غير صفري من F.

عندما يكون F حقل غالوا GF( q )، فإن زمرة التماثل تُكتب PGL( n , q ) . على سبيل المثال، تؤثر PGL(2,7) على النقاط الثماني في الخط الإسقاطي فوق الحقل المنتهي GF(7)، بينما PGL(2,4) ، المتماثلة مع الزمرة المتناوبة A5 ، هي زمرة التماثل للخط الإسقاطي ذي النقاط الخمس _. ^{[ 12 ]}

تُعدّ مجموعة التماثل PGL( n + 1, F ) مجموعةً جزئيةً من مجموعة التوازي PΓL( n + 1, F ) لتوازيات فضاء إسقاطي ذي بُعد n . عندما تُنظر إلى نقاط وخطوط الفضاء الإسقاطي على أنها تصميم كتلي ، حيث تمثل كتلها مجموعات النقاط الموجودة في خط، فمن الشائع تسمية مجموعة التوازي بمجموعة التشاكل الذاتي لهذا التصميم .

إن النسبة التبادلية لأربع نقاط متوازية هي ثابت تحت التحويل المتجانس وهو أمر أساسي لدراسة التحويلات المتجانسة للخطوط.

تشكل ثلاث نقاط متميزة a و b و c على خط إسقاطي فوق حقل F إطارًا إسقاطيًا لهذا الخط. بالتالي، يوجد تحويل تماثلي وحيد h لهذا الخط على F ∪ {∞} يُسقط a إلى ∞ ، و b إلى 0، و c إلى 1. وبوجود نقطة رابعة على نفس الخط، فإن النسبة التبادلية للنقاط الأربع a و b و c و d ، والتي يُرمز لها بـ [ a , b ; c , d ] ، هي العنصر h ( d ) من F ∪ {∞} . بعبارة أخرى، إذا كانت إحداثيات d متجانسة [ k : 1] على الإطار الإسقاطي ( a , b , c ) ، فإن [ a , b ; c , d ] = k . ^{[ 13 ]} 

لنفترض أن A حلقة و U مجموعة وحداتها . تعمل التحويلات المتجانسة على خط إسقاطي فوق A ، يُرمز له بـ P( A )، ويتكون من النقاط U [ a, b ] ذات الإحداثيات الإسقاطية . تُوصف التحويلات المتجانسة على P( A ) بواسطة تحويلات المصفوفات.

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,\ zc+d].}$

عندما تكون A حلقة تبديلية ، يمكن كتابة التماثل على النحو التالي

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za+b}{zc+d}}\ ,}$

ولكن بخلاف ذلك، يُنظر إلى التحويل الكسري الخطي على أنه تكافؤ:

${\displaystyle U[za+b,\ zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),\ 1].}$

مجموعة التماثل لحلقة الأعداد الصحيحة Z هي المجموعة النمطية PSL(2, Z ) . استُخدمت تماثلات الحلقات في تحليل الكواترنيونات ، ومع الكواترنيونات الثنائية لتسهيل نظرية اللولب . يمكن تمثيل المجموعة المطابقة للزمكان بتماثلات حيث A هي جبر التركيب للكواترنيونات الثنائية . ^{[ 14 ]}

التجانس الكتابي${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$تكون دورية عندما تكون الحلقة Z / n Z ( الأعداد الصحيحة modulo n ) منذ ذلك الحين ${\displaystyle h^{n}={\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$كان آرثر كايلي مهتمًا بالدورية عندما قام بحساب التكرارات في عام 1879. ^{[ 15 ]} وفي مراجعته لنهج القوة الغاشمة لدورية التحويلات المتجانسة، قدم إتش إس إم كوكسيتر هذا التحليل:

تكون التحويلة المتجانسة الحقيقية انعكاسية (ذات دورة 2) إذا وفقط إذا كان a + d = 0. إذا كانت دورية بدورة n > 2 ، فإنها تكون إهليلجية، ولا يحدث فقدان للعمومية بافتراض أن ad − bc = 1. بما أن الجذور المميزة هي exp(± hπi / m )، حيث ( h , m ) = 1 ، فإن الأثر هو a + d = 2 cos( hπ / m ) . ^{[ 16 ]}

• منحنى على شكل حرف W

• آرتين، إي. (1957)، الجبر الهندسي ، دار نشر إنترساينس
• باير، راينهولد (2005) [نُشر لأول مرة عام 1952]، الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية ، دوفر، ISBN 9780486445656
• بيرغر، مارسيل (2009)، الهندسة 1 ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-3-540-11658-5ترجمة من النسخة الفرنسية الأصلية لعام 1977 بقلم م. كول وس. ليفي، الطبعة الرابعة من الترجمة الإنجليزية لعام 1987
• بيوتلسباشر، ألبريشت؛ روزنباوم، أوتي (1998)، الهندسة الإسقاطية: من الأسس إلى التطبيقات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-48364-6
• هارتشورن، روبن (1967)، أسس الهندسة الإسقاطية ، نيويورك: دبليو إيه بنجامين، إنك.
• هيرشفيلد، جيه دبليو بي (1979)، الهندسات الإسقاطية على الحقول المنتهية ، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-850295-1
• ميسيرف، بروس إي. (1983)، المفاهيم الأساسية للهندسة ، دوفر، رقم ISBN 0-486-63415-9
• ييل، بول ب. (1968)، الهندسة والتناظر ، هولدن داي

• باتريك دو فال (1964) التماثلات، الرباعيات والدورانات ، دراسات أكسفورد الرياضية، مطبعة كلارندون ، أكسفورد ، MR 0169108 . 
• غونتر إيوالد (1971) الهندسة: مقدمة ، صفحة 263، بلمونت: دار وادزورث للنشر، رقم ISBN 0-534-00034-7.

• الوسائط المتعلقة بالتجانس الكتابي على ويكيميديا ​​كومنز