الهندسة الإسقاطية

في الرياضيات ، تُعنى الهندسة الإسقاطية بدراسة الخصائص الهندسية الثابتة تحت التحويلات الإسقاطية . وهذا يعني أن الهندسة الإسقاطية، مقارنةً بالهندسة الإقليدية الأساسية ، لها إطار مختلف ( الفضاء الإسقاطي ) ومجموعة مختارة من المفاهيم الهندسية الأساسية. وتتلخص البديهيات الأساسية في أن الفضاء الإسقاطي يحتوي على نقاط أكثر من الفضاء الإقليدي ، عند بُعد مُحدد، وأن التحويلات الهندسية المسموح بها تُحوّل النقاط الإضافية (المسماة " نقاط اللانهاية ") إلى نقاط إقليدية، والعكس صحيح.

تُراعى الخصائص ذات الدلالة في الهندسة الإسقاطية في هذا المفهوم الجديد للتحويل، الذي يُعدّ أكثر جذرية في تأثيراته مما يُمكن التعبير عنه بواسطة مصفوفة التحويل والإزاحات ( التحويلات الأفينية ). يتمثل التحدي الأول أمام علماء الهندسة في تحديد نوع الهندسة المناسب لحالة جديدة. فعلى عكس الهندسة الإقليدية ، لا ينطبق مفهوم الزاوية في الهندسة الإسقاطية، إذ لا يوجد قياس للزوايا ثابت بالنسبة للتحويلات الإسقاطية، كما هو الحال في الرسم المنظوري من منظور متغير. في الواقع، كانت نظرية المنظور أحد مصادر الهندسة الإسقاطية. وثمة اختلاف آخر عن الهندسة الابتدائية يتمثل في كيفية التقاء الخطوط المتوازية في نقطة عند اللانهاية ، بمجرد ترجمة المفهوم إلى مصطلحات الهندسة الإسقاطية. ويستند هذا المفهوم أيضًا إلى أساس بديهي، مثل التقاء خطوط السكك الحديدية عند الأفق في الرسم المنظوري. للاطلاع على أساسيات الهندسة الإسقاطية ثنائية الأبعاد، يُرجى مراجعة قسم "المستوى الإسقاطي" .

على الرغم من أن الأفكار كانت متاحة سابقًا، إلا أن الهندسة الإسقاطية كانت في الأساس نتاجًا لتطور القرن التاسع عشر. وشمل ذلك نظرية الفضاء الإسقاطي المركب، حيث كانت الإحداثيات المستخدمة ( الإحداثيات المتجانسة ) أعدادًا مركبة. وقد استُلهمت العديد من فروع الرياضيات الأكثر تجريدًا (بما في ذلك نظرية الثوابت ، والمدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية ، وبرنامج إرلانجن لفيلكس كلاين الذي أدى إلى دراسة المجموعات الكلاسيكية ) من الهندسة الإسقاطية. كما كان هذا المجال محط اهتمام العديد من الباحثين لذاته، باعتباره هندسة تركيبية . ومن المواضيع الأخرى التي تطورت من الدراسات البديهية للهندسة الإسقاطية الهندسة المنتهية .

ينقسم موضوع الهندسة الإسقاطية الآن إلى العديد من المواضيع الفرعية البحثية، ومن الأمثلة على ذلك الهندسة الجبرية الإسقاطية (دراسة الأصناف الإسقاطية ) والهندسة التفاضلية الإسقاطية (دراسة الثوابت التفاضلية للتحويلات الإسقاطية).

الهندسة الإسقاطية شكلٌ هندسيٌّ أوليٌّ غير متريّ ، أي أنها لا تدعم مفهوم المسافة. في بُعدين، تبدأ بدراسة تكوينات النقاط والخطوط . وقد أثبت ديزارج وآخرون، في استكشافهم لمبادئ فن المنظور ، وجودَ اهتمامٍ هندسيٍّ في هذا الإطار المتباعد . ^{[ 1 ]} في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، تُدرس المستويات الفائقة (التي تتقاطع دائمًا)، وغيرها من الفضاءات الخطية الفرعية، التي تُظهر مبدأ الازدواجية . أبسط مثال على الازدواجية هو المستوى الإسقاطي، حيث تُظهر العبارتان "نقطتان مختلفتان تُحدِّدان خطًا فريدًا" (أي الخط المار بهما) و"خطان مختلفان يُحدِّدان نقطة فريدة" (أي نقطة تقاطعهما) نفس بنية القضايا. يمكن أيضًا النظر إلى الهندسة الإسقاطية على أنها هندسة إنشاءات باستخدام المسطرة فقط ، باستثناء الإنشاءات باستخدام الفرجار ، الشائعة في الإنشاءات باستخدام المسطرة والفرجار . ^{[ ٢ ]} وبناءً على ذلك، لا وجود للدوائر، ولا للزوايا، ولا للقياسات، ولا للتوازيات، ولا لمفهوم الوساطة (أو "الوسطية"). ^{[ ٣ ]} وقد تبيّن أن النظريات التي تنطبق على الهندسة الإسقاطية هي عبارات أبسط. فعلى سبيل المثال، جميع القطوع المخروطية متكافئة في الهندسة الإسقاطية (المركبة)، ويمكن اعتبار بعض النظريات المتعلقة بالدوائر حالات خاصة من هذه النظريات العامة.

خلال أوائل القرن التاسع عشر، رسّخت أعمال جان فيكتور بونسيليه ولازار كارنو وآخرين الهندسة الإسقاطية كمجال مستقل في الرياضيات . ^{[ 3 ]} وقد تناول كارل فون شتاودت أسسها الدقيقة ، وأتقنها الإيطاليون جوزيبي بيانو وماريو بييري وأليساندرو بادوا وجينو فانو خلال أواخر القرن التاسع عشر. ^{[ 4 ]} ويمكن تطوير الهندسة الإسقاطية، مثل الهندسة الأفينية والإقليدية ، من برنامج إرلانجن لفيلكس كلاين؛ وتتميز الهندسة الإسقاطية بثوابت تحت تحويلات المجموعة الإسقاطية .

بعد جهدٍ كبيرٍ في دراسة عددٍ هائلٍ من النظريات في هذا المجال، باتت أساسيات الهندسة الإسقاطية مفهومة. يُعدّ كلٌّ من بنية التلاقي والنسبة التبادلية من الثوابت الأساسية تحت التحويلات الإسقاطية. يمكن نمذجة الهندسة الإسقاطية باستخدام المستوى الأفيني (أو الفضاء الأفيني) بالإضافة إلى خط (مستوى فائق) "عند اللانهاية"، ثمّ اعتبار هذا الخط (أو المستوى الفائق) "عاديًا". ^{[ 5 ]} يُقدّم نموذجٌ جبريٌّ للهندسة الإسقاطية على غرار الهندسة التحليلية باستخدام الإحداثيات المتجانسة. ^{[ 6 ] [ 7 ]} من جهةٍ أخرى، كشفت الدراسات البديهية عن وجود مستوياتٍ غير ديزارغيسية ، وهي أمثلةٌ تُبيّن إمكانية نمذجة بديهيات التلاقي (في بُعدين فقط) باستخدام هياكل لا يُمكن الوصول إليها من خلال أنظمة الإحداثيات المتجانسة.

من الناحية التأسيسية، تُعتبر الهندسة الإسقاطية والهندسة المرتبة أساسيتين، إذ تتضمن كل منهما مجموعةً دنيا من البديهيات ، ويمكن استخدام أي منهما كأساس للهندسة الأفينية والإقليدية . ^{[ 8 ] [ 9 ]} الهندسة الإسقاطية ليست "مرتبة" ^{[ 3 ]} ، ولذا فهي تُشكل أساسًا متميزًا للهندسة.

الهندسة الإسقاطية أقل تقييدًا من الهندسة الإقليدية أو الهندسة الأفينية . وهي هندسة غير مترية بطبيعتها ، أي أن خصائصها مستقلة عن أي بنية مترية. في ظل التحويلات الإسقاطية، تُحفظ بنية التلاقي وعلاقة المرافقات التوافقية الإسقاطية . ويُعدّ المدى الإسقاطي أساسًا أحادي البعد. تُضفي الهندسة الإسقاطية طابعًا رسميًا على أحد المبادئ الأساسية لفن المنظور: وهو أن الخطوط المتوازية تلتقي عند اللانهاية ، وبالتالي تُرسَم على هذا النحو. في جوهرها، يمكن اعتبار الهندسة الإسقاطية امتدادًا للهندسة الإقليدية، حيث يُدمج "اتجاه" كل خط داخل الخط نفسه كنقطة إضافية، ويُعتبر "أفق" الاتجاهات المقابلة للخطوط المستوية "خطًا" واحدًا. وهكذا، يلتقي خطان متوازيان على خط الأفق نظرًا لتضمنهما نفس الاتجاه.

تُسمى الاتجاهات المثالية بنقاط اللانهاية، بينما تُسمى الآفاق المثالية بخطوط اللانهاية. بدورها، تقع جميع هذه الخطوط في المستوى عند اللانهاية. مع ذلك، فإن اللانهاية مفهوم متري، لذا فإن الهندسة الإسقاطية البحتة لا تُميز أي نقاط أو خطوط أو مستويات في هذا الصدد، بل تُعامل تلك الموجودة عند اللانهاية كغيرها.

بما أن الهندسة الإقليدية مُضمنة في الهندسة الإسقاطية - التي تتميز بأساس أبسط - فإنه يُمكن استخلاص النتائج العامة في الهندسة الإقليدية بطريقة أكثر وضوحًا، حيث يُمكن معالجة النظريات المنفصلة ولكن المتشابهة في الهندسة الإقليدية بشكل جماعي ضمن إطار الهندسة الإسقاطية. على سبيل المثال، لا يلزم التعامل مع الخطوط المتوازية وغير المتوازية كحالات منفصلة؛ بل يتم اختيار مستوى إسقاطي عشوائي باعتباره المستوى المثالي وتحديد موقعه "في اللانهاية" باستخدام الإحداثيات المتجانسة .

تشمل الخصائص الإضافية ذات الأهمية الأساسية نظرية ديزارغ ونظرية بابوس السداسية . في الفضاءات الإسقاطية ذات البعد 3 أو أكبر، توجد طريقة تسمح بإثبات نظرية ديزارغ. أما في الفضاءات ذات البعد 2، فيجب افتراضها بشكل منفصل.

باستخدام نظرية ديزارج، بالإضافة إلى البديهيات الأخرى، يُمكن تعريف العمليات الحسابية الأساسية هندسيًا. وتُحقق العمليات الناتجة بديهيات الحقل، باستثناء أن تبديلية الضرب تتطلب نظرية بابوس السداسية. ونتيجة لذلك، فإن نقاط كل خط تكون في تطابق واحد لواحد مع حقل معين، F ، مضافًا إليه عنصر إضافي، ∞، بحيث يكون r ⋅ ∞ = ∞ ، −∞ = ∞ ، r + ∞ = ∞ ، r / 0 = ∞ ، r / ∞ = 0 ، ∞ − r = r − ∞ = ∞ ، باستثناء أن 0 / 0 ، ∞ / ∞ ، ∞ + ∞ ، ∞ − ∞ ، 0 ⋅ ∞ و ∞ ⋅ 0 تبقى غير معرفة.

يشمل علم الهندسة الإسقاطية نظرية كاملة للقطوع المخروطية ، وهو موضوع تم تطويره بشكل موسع في الهندسة الإقليدية. من مزايا هذا العلم إمكانية التمييز بين القطع الزائد والقطع الناقص من خلال موقع القطع الزائد على الخط عند اللانهاية فقط ، والتمييز بين القطع المكافئ من خلال مماسه لنفس الخط. يمكن اعتبار جميع الدوائر كقطع مخروطية تمر بنقطتين محددتين على الخط عند اللانهاية ، ولكن يتطلب ذلك استخدام إحداثيات مركبة . ولأن الإحداثيات ليست تركيبية، يتم استبدالها بتحديد خط ونقطتين عليه، واعتبار النظام الخطي لجميع القطوع المخروطية المارة بهاتين النقطتين هو الهدف الأساسي للدراسة. وقد لاقت هذه الطريقة استحسانًا كبيرًا لدى علماء الهندسة الموهوبين، وتم دراسة الموضوع بتعمق. ومن الأمثلة على هذه الطريقة كتاب إتش إف بيكر متعدد المجلدات .

اكتُشفت أولى الخصائص الهندسية ذات الطبيعة الإسقاطية خلال القرن الثالث الميلادي على يد بابوس الإسكندري . ^{[ 3 ]} بدأ فيليبو برونليسكي (1404-1472) دراسة هندسة المنظور عام 1425 ^{[ 10 ]} (انظر المنظور (الرسمي) §  التاريخ لمناقشة أكثر تفصيلًا للأعمال في الفنون الجميلة التي حفزت الكثير من تطوير الهندسة الإسقاطية). طوّر يوهانس كيبلر (1571-1630) وجيرار ديزارغ (1591-1661) بشكل مستقل مفهوم "النقطة في اللانهاية". ^{[ 11 ]} ابتكر ديزارغ طريقة بديلة لرسم المنظور من خلال تعميم استخدام نقاط التلاشي لتشمل الحالة التي تكون فيها هذه النقاط بعيدة جدًا. وجعل الهندسة الإقليدية ، حيث تكون الخطوط المتوازية متوازية بالفعل، حالة خاصة من نظام هندسي شامل. لفتت دراسة ديزارغ عن القطوع المخروطية انتباه بليز باسكال، الذي كان يبلغ من العمر ستة عشر عامًا آنذاك، وساعدته في صياغة نظرية باسكال . وكانت أعمال غاسبار مونج في أواخر القرن الثامن عشر وبداية القرن التاسع عشر مهمة للتطور اللاحق للهندسة الإسقاطية. وقد تم تجاهل عمل ديزارغ حتى عثر ميشيل شاسل بالصدفة على نسخة مكتوبة بخط اليد عام ١٨٤٥. وفي الوقت نفسه، نشر جان فيكتور بونسيليه أطروحته التأسيسية في الهندسة الإسقاطية عام ١٨٢٢. درس بونسيليه الخصائص الإسقاطية للأشكال (الخصائص الثابتة تحت الإسقاط المركزي)، ومن خلال بناء نظريته على القطب الملموس والعلاقة القطبية بالنسبة للدائرة، أسس علاقة بين الخصائص المترية والإسقاطية. وقد ثبت لاحقًا أن للهندسات غير الإقليدية التي اكتُشفت بعد ذلك نماذج، مثل نموذج كلاين للفضاء الزائدي ، ترتبط بالهندسة الإسقاطية.

في عام 1855، كتب أ. ف. موبيوس مقالًا عن تباديل الدوائر المعممة في المستوى المركب ، والتي تُعرف الآن بتحويلات موبيوس . تمثل هذه التحويلات إسقاطات الخط الإسقاطي المركب . في دراسة الخطوط في الفضاء، استخدم يوليوس بلوكر الإحداثيات المتجانسة في وصفه، وتمت رؤية مجموعة الخطوط على سطح كلاين الرباعي ، وهو أحد المساهمات المبكرة للهندسة الإسقاطية في مجال جديد يُسمى الهندسة الجبرية ، وهو فرع من الهندسة التحليلية مع أفكار إسقاطية.

لعبت الهندسة الإسقاطية دورًا محوريًا في التحقق من صحة تخمينات لوباتشيفسكي وبولياي بشأن الهندسة الزائدية، وذلك من خلال توفير نماذج للمستوى الزائدي : ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، نموذج قرص بوانكاريه حيث تتوافق الدوائر المعممة العمودية على دائرة الوحدة مع "الخطوط الزائدية" ( الجيوديسية )، وتُوصَف "إزاحات" هذا النموذج بتحويلات موبيوس التي تُسقط قرص الوحدة على نفسه. تُعطى المسافة بين النقاط بواسطة مقياس كايلي-كلاين ، المعروف بثباته تحت الإزاحات لأنه يعتمد على النسبة التبادلية ، وهي ثابت إسقاطي رئيسي. تُوصَف الإزاحات بأشكال مختلفة، منها التماثلات في نظرية الفضاء المتري ، والتحويلات الكسرية الخطية رسميًا، والتحويلات الخطية الإسقاطية للمجموعة الخطية الإسقاطية ، وهي في هذه الحالة SU(1, 1) .

لم يكن الهدف من أعمال بونسيليه وجاكوب شتاينر وغيرهما توسيع نطاق الهندسة التحليلية. كان من المفترض أن تكون التقنيات تركيبية : أي أن الفضاء الإسقاطي، كما هو مفهوم اليوم، كان يُفترض تقديمه بشكل بديهي. ونتيجة لذلك، قد يكون من الصعب إعادة صياغة الأعمال المبكرة في الهندسة الإسقاطية لتتوافق مع معايير الدقة الحالية. حتى في حالة المستوى الإسقاطي وحده، قد يؤدي النهج البديهي إلى نماذج لا يمكن وصفها باستخدام الجبر الخطي .

شهدت هذه الفترة في الهندسة أبحاثًا حول المنحنى الجبري العام أجراها كل من كليبش وريمان وماكس نوثر وآخرون ، والتي وسّعت نطاق التقنيات القائمة، ثم تلتها نظرية الثوابت . ومع اقتراب نهاية القرن، خرجت المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية ( إنريكيس ، سيغري ، سيفيري ) من نطاق الموضوع التقليدي إلى مجال يتطلب تقنيات أكثر عمقًا.

خلال النصف الثاني من القرن التاسع عشر، تراجع الاهتمام بالدراسة التفصيلية للهندسة الإسقاطية، على الرغم من وفرة المؤلفات في هذا المجال. وقد أُنجزت أعمالٌ هامة في الهندسة التعدادية على وجه الخصوص، على يد شوبرت، والتي تُعتبر الآن بمثابة تمهيد لنظرية فئات تشيرن ، التي تُمثل الطوبولوجيا الجبرية لفئات غراسمان .

أثبتت الهندسة الإسقاطية لاحقًا أنها مفتاح اختراع بول ديراك لميكانيكا الكم . على المستوى التأسيسي، أثار اكتشاف إمكانية عدم تبادل القياسات الكمومية قلق هايزنبرغ وأثناه عن ذلك ، لكن من المرجح أن دراسة المستويات الإسقاطية فوق الحلقات غير التبادلية في السابق قد قللت من حساسية ديراك تجاهها. في أعماله الأكثر تقدمًا، استخدم ديراك رسوماتٍ مُفصّلة في الهندسة الإسقاطية لفهم المعنى البديهي لمعادلاته، قبل أن يُدوّن عمله بصيغة جبرية بحتة. ^{[ 13 ]}

هناك العديد من الهندسات الإسقاطية، والتي يمكن تقسيمها إلى منفصلة ومتصلة: تتكون الهندسة المنفصلة من مجموعة من النقاط، والتي قد تكون محدودة العدد أو غير محدودة، بينما تحتوي الهندسة المتصلة على عدد لا نهائي من النقاط دون وجود فجوات بينها.

الهندسة الإسقاطية الوحيدة ذات البعد صفر هي نقطة واحدة. أما الهندسة الإسقاطية ذات البعد واحد فتتكون من خط مستقيم واحد يحتوي على ثلاث نقاط على الأقل. ولا يمكن إجراء العمليات الحسابية في أي من هاتين الحالتين. أما في البعد الثاني، فتوجد بنية غنية نظرًا لغياب نظرية ديزارج .

أصغر هندسة إسقاطية ثنائية الأبعاد (التي تحتوي على أقل عدد من النقاط) هي مستوى فانو ، الذي يحتوي على 3 نقاط على كل خط، بإجمالي 7 نقاط و7 خطوط، وله الاستقامات التالية:

باستخدام الإحداثيات المتجانسة A = (0,0,1) ، B = (0,1,1) ، C = (0,1,0) ، D = (1,0,1 ) ، E = (1,0,0) ، F = (1,1,1) ، G = (1,1,0) ، أو باستخدام الإحداثيات الأفينية A = (0,0) ، B = (0,1) ، C = (∞) ، D = (1,0) ، E = (0) ، F = (1,1) ، G = (1) . ويمكن تعريف الإحداثيات الأفينية في مستوى ديزارغي للنقاط المحددة كنقاط اللانهاية (في هذا المثال: C، E، G) بعدة طرق أخرى.

في الترميز القياسي، تُكتب الهندسة الإسقاطية المحدودة PG( a , b ) حيث:

يمثل a البعد الإسقاطي (أو الهندسي)، و

b أقل بواحد من عدد النقاط على الخط (يسمى رتبة الهندسة).

وبالتالي، فإن المثال الذي يحتوي على 7 نقاط فقط يُكتب PG(2, 2) .

يُستخدم مصطلح "الهندسة الإسقاطية" أحيانًا للإشارة إلى الهندسة المجردة الأساسية المعممة، وأحيانًا للإشارة إلى هندسة معينة ذات أهمية واسعة، مثل الهندسة المترية للفضاء المسطح التي نحللها من خلال استخدام الإحداثيات المتجانسة ، والتي يمكن تضمين الهندسة الإقليدية فيها (ومن هنا جاء اسمها، المستوى الإقليدي الممتد ).

الخاصية الأساسية التي تميز جميع الهندسات الإسقاطية هي خاصية التقاطع الإهليلجي ، حيث يتقاطع أي خطين مختلفين L و M في المستوى الإسقاطي عند نقطة واحدة فقط P. وتُدمج الحالة الخاصة للخطوط المتوازية في الهندسة التحليلية ضمن الشكل الأكثر سلاسة لخط عند اللانهاية تقع عليه النقطة P. وبالتالي، فإن الخط عند اللانهاية هو خط كأي خط آخر في النظرية: فهو ليس مميزًا أو خاصًا بأي شكل من الأشكال. (وعلى غرار برنامج إرلانجن اللاحق ، يمكن الإشارة إلى كيفية نقل مجموعة التحويلات أي خط إلى الخط عند اللانهاية ).

تتباين الخصائص المتوازية للهندسات الإهليلجية والإقليدية والزائدية على النحو التالي:

بفرض وجود خط مستقيم l ونقطة P لا تقع على هذا الخط،

بيضاوي الشكل

لا يوجد خط مستقيم يمر بالنقطة P ولا يتقاطع مع الخط l

إقليدي

يوجد خط مستقيم واحد فقط يمر بالنقطة P ولا يتقاطع مع الخط l

القطع الزائد

يوجد أكثر من خط يمر بالنقطة P ولا يتقاطع مع الخط l

إن خاصية التوازي في الهندسة الإهليلجية هي الفكرة الأساسية التي تؤدي إلى مبدأ الازدواجية الإسقاطية، وربما تكون هذه الخاصية هي الأهم التي تشترك فيها جميع الهندسات الإسقاطية.

في عام ١٨٢٥، لاحظ جوزيف جيرجون مبدأ الازدواجية الذي يميز الهندسة المستوية الإسقاطية: فبإعطاء أي نظرية أو تعريف لتلك الهندسة، يؤدي استبدال النقطة بالخط ، أو التقاء المستويين بالمرور عبرهما ، أو التوازي بينهما ، أو التقاطع بالوصل ، أو العكس، إلى نظرية أو تعريف صحيح آخر، وهو "الثنائي" للأول. وبالمثل، في ثلاثة أبعاد، تسري علاقة الازدواجية بين النقاط والمستويات، مما يسمح بتحويل أي نظرية عن طريق تبديل النقطة والمستوى ، بحيث يكون المستوى محتواًا في المستوى الآخر ويحتوي على المستوى الثالث . وبشكل أعم، بالنسبة للفضاءات الإسقاطية ذات البعد N، توجد ازدواجية بين الفضاءات الفرعية ذات البعد R والفضاءات الفرعية ذات البعد N − R − 1. أما بالنسبة لـ N = 2 ، فيختص هذا المبدأ بالشكل الأكثر شيوعًا للازدواجية، وهو الازدواجية بين النقاط والخطوط. وقد اكتشف جان فيكتور بونسيليه مبدأ الازدواجية بشكل مستقل أيضًا .

لإثبات الازدواجية، يكفي إثبات نظريات تمثل النسخ المزدوجة للبديهيات الخاصة بالبعد المعني. وبالتالي، بالنسبة للفضاءات ثلاثية الأبعاد، يلزم إثبات ما يلي: (1*) تقع كل نقطة في ثلاثة مستويات مختلفة، (2*) يتقاطع كل مستويين في خط مستقيم واحد، ونسخة مزدوجة من (3*) مفادها: إذا كان تقاطع المستويين P وQ يقع في مستوى واحد مع تقاطع المستويين R وS، فإن تقاطعات المستويين P وR وQ وS تقع في نفس المستوى (بافتراض أن المستويين P وS مختلفان عن المستويين Q وR).

عمليًا، يسمح لنا مبدأ الازدواجية بإقامة تناظر ثنائي بين بنيتين هندسيتين. وأشهر هذه التناظرات هو قطبية أو تبادل شكلين في منحنى مخروطي (في بعدين) أو سطح تربيعي (في ثلاثة أبعاد). ومن الأمثلة الشائعة على ذلك تبادل شكل متعدد السطوح متناظر في كرة متحدة المركز للحصول على الشكل متعدد السطوح الثنائي.

مثال آخر هو نظرية بريانشون ، وهي النظرية المقابلة لنظرية باسكال المذكورة سابقًا ، ويتمثل أحد براهينها ببساطة في تطبيق مبدأ الازدواجية على نظرية باسكال. فيما يلي صيغ مقارنة لهاتين النظريتين (في كلتا الحالتين ضمن إطار المستوى الإسقاطي):

• باسكال: إذا كانت جميع رؤوس الشكل السداسي الستة تقع على قطع مخروطي ، فإن نقاط تقاطع أضلاعه المتقابلة (التي تُعتبر خطوطًا كاملة، لأنه لا يوجد ما يُسمى "قطعة مستقيمة" في المستوى الإسقاطي) تُشكّل ثلاث نقاط على استقامة واحدة. ويُسمى الخط الواصل بينها خط باسكال للشكل السداسي.
• بريانشون: إذا كانت جميع أضلاع الشكل السداسي الستة مماسة لقطع مخروطي، فإن أقطاره (أي الخطوط الواصلة بين الرؤوس المتقابلة) تكون ثلاثة خطوط متقاطعة. وتُسمى نقطة تقاطعها حينها نقطة بريانشون للشكل السداسي.

(إذا انحط القطع المخروطي إلى خطين مستقيمين، فإن نظرية باسكال تصبح نظرية بابوس ، والتي ليس لها ثنائية مثيرة للاهتمام، لأن نقطة بريانشون تصبح بشكل بديهي نقطة تقاطع الخطين.)

يمكن استنتاج أي شكل هندسي من مجموعة مناسبة من البديهيات . تتميز الهندسات الإسقاطية ببديهية "التوازي الإهليلجي"، التي تنص على أن أي مستويين يلتقيان دائمًا في خط واحد فقط ، أو في المستوى، يلتقي أي خطين دائمًا في نقطة واحدة فقط . بعبارة أخرى، لا وجود لخطوط أو مستويات متوازية في الهندسة الإسقاطية.

تم اقتراح العديد من مجموعات البديهيات البديلة للهندسة الإسقاطية (انظر، على سبيل المثال، Coxeter 2003 ، Hilbert & Cohn-Vossen 1999 ، Greenberg 2008 ).

إذا كانت لدينا ثلاث نقاط غير متوازية ، فإن ثلاثة خطوط تربطها ببعضها، أما إذا كانت لدينا أربع نقاط، أي ثلاث نقاط غير متوازية، فإن ستة خطوط تربطها ببعضها، بالإضافة إلى ثلاث نقاط قطرية إضافية تحددها نقاط تقاطعها. يستوعب علم الهندسة الإسقاطية هذا الفائض الناتج عن النقاط الأربع من خلال علاقة رباعية، ومن خلال الإسقاطات التي تحافظ على الشكل الرباعي الكامل .

تحدث مجموعة رباعية متناغمة من النقاط على خط مستقيم عندما يكون هناك شكل رباعي كامل تقع نقطتان من قطره في الموضعين الأول والثالث من الشكل الرباعي، والموضعان الآخران هما نقطتان على الخطوط الواصلة بين نقطتين من الشكل الرباعي والنقطة القطرية الثالثة. ^{[ 18 ]}

تُنتج المنظورية المكانية لتكوين إسقاطي في مستوى ما تكوينًا مماثلاً في مستوى آخر، وينطبق هذا على تكوين الشكل الرباعي الكامل. وهكذا، تُحفظ الرباعيات التوافقية بواسطة المنظورية. إذا تبعت منظوريةٌ أخرى، فإن التكوينات تتبعها. لم يعد تركيب منظورين منظوريةً، بل إسقاطية .

بينما تتقارب جميع النقاط المتناظرة في منظور معين عند نقطة واحدة، فإن هذا التقارب لا ينطبق على إسقاط ليس منظورًا . في الهندسة الإسقاطية، يُعد تقاطع الخطوط المتكونة من النقاط المتناظرة لإسقاط ما في مستوى ما ذا أهمية خاصة. تُسمى مجموعة هذه التقاطعات بالمخروط الإسقاطي ، وتخليدًا لجهود جاكوب شتاينر ، يُشار إليها باسم مخروط شتاينر .

لنفترض أن الإسقاط يتكون من منظورين متمركزين على النقطتين A و B ، ويربط x بـ X بواسطة نقطة وسيطة p :

${\displaystyle x\ {\overset {A}{\doublebarwedge }}\ p\ {\overset {B}{\doublebarwedge }}\ X.}$

إذن، تكون الإسقاطية${\displaystyle x\ \barwedge \ X.}$ثم بالنظر إلى خاصية الإسقاط${\displaystyle \barwedge }$القطع المخروطي المستحث هو

${\displaystyle C(\barwedge )\ =\ \bigcup \{xX\cdot yY:x\barwedge X\ \ \land \ \ y\barwedge Y\}.}$

بفرض وجود قطع مخروطي C ونقطة P لا تقع عليه، فإن قاطعين مختلفين يمران بالنقطة P يتقاطعان مع C في أربع نقاط. تُحدد هذه النقاط الأربع شكلاً رباعياً تكون P إحدى نقاطه القطرية. يُسمى الخط المار بالنقطتين القطريتين الأخريين بالقطبية لـ P ، و P هي قطب هذه الخط. ^{[ 19 ]} وبدلاً من ذلك، فإن الخط القطبي لـ P هو مجموعة المرافقات التوافقية الإسقاطية لـ P على قاطع متغير يمر بالنقطتين P و C.

• الهندسة الإسقاطية للرؤية الآلية - برنامج تعليمي من إعداد جو موندي وأندرو زيسرمان ( نسخة ).
• ملاحظات مبنية على كتاب كوكسيتر " المستوى الإسقاطي الحقيقي" .
• الهندسة الإسقاطية لتحليل الصور - برنامج تعليمي مجاني من إعداد روجر موهر وبيل تريجز: PDF و HTML .
• الهندسة الإسقاطية. — درس تعليمي مجاني من توم ديفيس.
• طريقة غراسمان في الهندسة الإسقاطية: مجموعة من ثلاث ملاحظات لسيزار بورالي فورتي حول تطبيق الجبر الخارجي على الهندسة الإسقاطية
• سي. بورالي-فورتي، "مقدمة في الهندسة التفاضلية، باتباع طريقة هـ. غراسمان" (الترجمة الإنجليزية للكتاب)
• إي. كومر، "النظرية العامة لأنظمة الأشعة المستقيمة" (الترجمة الإنجليزية)
• م. باش، "حول الأسطح البؤرية لأنظمة الأشعة وأسطح التفرد للمركبات" (الترجمة الإنجليزية)