طريقة الموجة المعززة بجهاز العرض

تُعدّ طريقة الموجة المستوية المُعززة بالإسقاط ( PAW) تقنيةً تُستخدم في حسابات البنية الإلكترونية من المبادئ الأولى . وهي تعميم لطريقتي الجهد الزائف والموجة المستوية المُعززة الخطية ، وتتيح إجراء حسابات نظرية الكثافة الوظيفية بكفاءة حسابية أكبر. ^{[ 1 ]}

تميل دوال الموجة التكافؤية إلى التذبذب السريع بالقرب من نوى الأيونات نظرًا لضرورة تعامدها مع حالات النواة؛ وهذا الوضع يُشكل إشكالية لأنه يتطلب العديد من مُركبات فورييه (أو شبكة دقيقة جدًا في حالة الطرق القائمة على الشبكة) لوصف دوال الموجة بدقة. تعالج طريقة PAW هذه المشكلة بتحويل دوال الموجة المتذبذبة بسرعة إلى دوال موجة سلسة أكثر ملاءمةً من الناحية الحسابية، وتوفر طريقة لحساب خصائص جميع الإلكترونات انطلاقًا من هذه الدوال السلسة. تُشبه هذه الطريقة إلى حد ما الانتقال من نموذج شرودنغر إلى نموذج هايزنبرغ .

التحويل الخطي${\displaystyle {\mathcal {T}}}$يحوّل الدالة الموجية الزائفة الوهمية${\displaystyle |{\tilde {\Psi }}\rangle }$إلى دالة الموجة الإلكترونية الكاملة${\displaystyle |\Psi \rangle }$:

${\displaystyle |\Psi \rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle }$

لاحظ أن دالة الموجة "لكل الإلكترونات" هي دالة موجة كون-شام للجسيم الواحد، ويجب عدم الخلط بينها وبين دالة الموجة متعددة الأجسام.${\displaystyle |{\tilde {\Psi }}\rangle }$و${\displaystyle |\Psi \rangle }$نكتب: "تختلف فقط في المناطق القريبة من نوى الأيونات".

${\displaystyle {\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}}$،

أين${\displaystyle {\hat {\mathcal {T}}}_{R}}$لا تكون قيمتها صفرًا إلا داخل منطقة تضخيم كروية معينة${\displaystyle \Omega _{R}}$الذرة المحيطة${\displaystyle R}$.

حول كل ذرة، من المفيد توسيع الدالة الموجية الزائفة إلى موجات جزئية زائفة:

${\displaystyle |{\tilde {\Psi }}\rangle =\sum _{i}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle c_{i}}$داخل${\displaystyle \Omega _{R}}$.

لأن المشغل${\displaystyle {\mathcal {T}}}$إذا كانت العلاقة خطية، فإن المعاملات${\displaystyle c_{i}}$يمكن كتابتها كحاصل ضرب داخلي مع مجموعة من ما يسمى بدوال الإسقاط،${\displaystyle |p_{i}\rangle }$:

${\displaystyle c_{i}=\langle p_{i}|{\tilde {\Psi }}\rangle }$

أين${\displaystyle \langle p_{i}|{\tilde {\phi}}_{j}\rangle =\delta _{ij}}$الموجات الجزئية الإلكترونية الكاملة،${\displaystyle |\phi _{i}\rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle }$تُختار هذه القيم عادةً لتكون حلولاً لمعادلة كون-شام شرودنغر لذرة معزولة. التحويل${\displaystyle {\mathcal {T}}}$وبالتالي يتم تحديدها بثلاث كميات:

1. مجموعة من الموجات الجزئية الإلكترونية${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$
2. مجموعة من الموجات الجزئية الزائفة${\displaystyle |{\tilde {\phi }}_{i}\rangle }$
3. مجموعة من وظائف جهاز العرض${\displaystyle |p_{i}\rangle }$

ويمكننا كتابتها صراحةً على النحو التالي:

${\displaystyle {\mathcal {T}}=1+\sum _{i}\left(|\phi _{i}\rangle -|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle \right)\langle p_{i}|}$

خارج مناطق التضخيم، تتساوى الموجات الجزئية الزائفة مع الموجات الجزئية لجميع الإلكترونات. أما داخل الكرات، فيمكن أن تكون أي امتداد سلس، مثل توليفة خطية من كثيرات الحدود أو دوال بيسل .

تُستخدم طريقة PAW عادةً مع تقريب النواة المجمدة، حيث يُفترض أن حالات النواة لا تتأثر ببيئة الأيون. توجد العديد من المستودعات الإلكترونية لبيانات PAW الذرية المحسوبة مسبقًا. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

يُتيح تحويل PAW حسابَ جميع الكميات القابلة للرصد باستخدام دالة الموجة الزائفة المُستخرجة من حساب الجهد الزائف، مما يُغني عن الحاجة إلى تمثيل دالة الموجة لجميع الإلكترونات صراحةً في الذاكرة. يُعدّ هذا الأمر بالغ الأهمية لحساب خصائص مثل الرنين المغناطيسي النووي ^{[ 5 ]،} التي تعتمد اعتمادًا كبيرًا على شكل دالة الموجة بالقرب من النواة. بدءًا من تعريف القيمة المتوقعة للمؤثر:

${\displaystyle a_{i}=\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle }$،

حيث يمكنك استبدال الدالة الموجية الزائفة كما تعلم${\displaystyle |\Psi \rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle }$:

${\displaystyle a_{i}=\langle {\tilde {\Psi }}|{\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle }$،

ومنها يمكنك تعريف العامل الزائف ، المشار إليه بعلامة التلدة:

${\displaystyle {\tilde {A}}={\mathcal {T}}^{\dagger }{\hat {A}}{\mathcal {T}}}$.

إذا كان المشغل${\displaystyle {\hat {A}}}$إذا كان محليًا وحسن السلوك، فيمكننا توسيع ذلك باستخدام تعريف${\displaystyle {\mathcal {T}}}$لإعطاء تحويل عامل PAW

${\displaystyle {\tilde {A}}={\hat {A}}+\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \left(\langle \phi _{i}|{\hat {A}}|\phi _{j}\rangle -\langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {A}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \right)\langle p_{j}|}$.

حيث المؤشرات${\displaystyle i,j}$يتم تشغيلها على جميع المساقط على جميع الذرات. عادةً ما يتم جمع المؤشرات على نفس الذرة فقط، أي يتم تجاهل المساهمات خارج الموقع، وهذا ما يسمى "التقريب داخل الموقع".

في الورقة البحثية الأصلية، يشير بلوخل إلى وجود درجة من الحرية في هذه المعادلة لأي مؤثر.${\displaystyle {\hat {B}}}$، أي المتمركزة داخل منطقة التضخيم الكروي، لإضافة مصطلح على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {B}}-\sum _{i,j}|p_{i}\rangle \langle {\tilde {\phi }}_{i}|{\hat {B}}|{\tilde {\phi }}_{j}\rangle \langle p_{j}|}$،

والذي يمكن اعتباره أساسًا لتطبيق الجهد الزائف داخل PAW، حيث يمكن الآن استبدال جهد كولوم النووي بجهد أكثر سلاسة.

• روستجارد، كارستن (2010). "طريقة الموجة المعززة للإسقاط". arXiv : 0910.1921v2 [ cond-mat.mtrl-sci ].
• كريس، ج.؛ جوبير، د. (1999). "من الجهد الكاذب فائق النعومة إلى طريقة الموجة المعززة بالإسقاط". مجلة Physical Review B. 59 ( 3): 1758-1775 . Bibcode : 1999PhRvB..59.1758K . doi : 10.1103/PhysRevB.59.1758 .
• دال كورسو، أندريا (11 أغسطس/آب 2010). "طريقة الموجة المعززة بالإسقاط: تطبيق على نظرية الكثافة الوظيفية الدورانية النسبية". مجلة Physical Review B ، 82 (7)، 075116. رمز Bibcode : 2010PhRvB..82g5116D . doi : 10.1103/PhysRevB.82.075116 .

• أبينيت
• برنامج CASTEP (لحساب خصائص الرنين النووي المغناطيسي)
• CP2K (في شكل طريقة الموجة المستوية الغاوسية والمعززة (GAPW))
• CP-PAW
• GPAW
• أونيتيب
• PWPAW
• أبو الهول
• كوانتوم إسبريسو
• VASP