قاعدة التناسب العادل

في بحوث العمليات والاختيار الاجتماعي ، تنص قاعدة العدالة النسبية على أنه من بين جميع البدائل الممكنة، ينبغي اختيار البديل الذي لا يمكن تحسينه، حيث يُقاس "التحسين" بمجموع التحسينات النسبية الممكنة لكل فرد. وتهدف هذه القاعدة إلى تحقيق توازن بين القاعدة النفعية - التي تُركز على كفاءة النظام ككل - والقاعدة المساواتية - التي تُركز على العدالة الفردية.

طُرحت هذه القاعدة لأول مرة في سياق التحكم في معدل نقل البيانات في شبكات الاتصالات. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فهي قاعدة عامة للاختيار الاجتماعي، ويمكن استخدامها أيضًا، على سبيل المثال، في تخصيص الموارد. ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle X}$لنفترض أن لدينا مجموعة من "حالات العالم" أو "البدائل" الممكنة. يرغب المجتمع في اختيار حالة واحدة من بينها.${\displaystyle X}$على سبيل المثال، في انتخابات الفائز الواحد ،${\displaystyle X}$قد يمثل مجموعة المرشحين؛ في سياق تخصيص الموارد ،${\displaystyle X}$قد يمثل ذلك جميع التخصيصات الممكنة للمورد.

يترك${\displaystyle I}$لتكن مجموعة منتهية ، تمثل مجموعة من الأفراد. لكل${\displaystyle i\in I}$، يترك${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$لتكن دالة منفعة تصف مقدار السعادة التي يحصل عليها الفرد i من كل حالة ممكنة.

قاعدة الاختيار الاجتماعي هي آلية تستخدم البيانات${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$لاختيار عنصر أو أكثر من${\displaystyle X}$أيها "الأفضل" للمجتمع. إن مسألة معنى "الأفضل" هي السؤال الأساسي في نظرية الاختيار الاجتماعي . وتختار قاعدة التناسب العادل عنصرًا ما.${\displaystyle x\in X}$بحيث يكون ذلك بالنسبة لكل ولاية أخرى${\displaystyle y\in X}$:

${\displaystyle 0\geq \sum _{i\in I}{\frac {u_{i}(y)-u_{i}(x)}{u_{i}(x)}}.}$

لاحظ أن الحد الموجود داخل المجموع،${\displaystyle {\frac {u_{i}(y)-u_{i}(x)}{u_{i}(x)}}}$يمثل هذا المكسب النسبي للعامل i عند الانتقال من الحالة x إلى الحالة y . وتفضل قاعدة PF الحالة x على الحالة y ، إذا وفقط إذا كان مجموع المكاسب النسبية عند الانتقال من x إلى y غير موجب.

تختار القاعدة النفعية عنصرًا ${\displaystyle x\in X}$الذي يزيد من مجموع المنافع الفردية، أي بالنسبة لكل حالة أخرى${\displaystyle y\in X}$:

${\displaystyle 0\geq \sum _{i\in I}\left(u_{i}(y)-u_{i}(x)\right).}$

تتجاهل هذه القاعدة المنفعة الحالية للأفراد. وعلى وجه الخصوص، قد تختار حالة تكون فيها منفعة بعض الأفراد صفرًا، إذا كانت منفعة بعض الأفراد الآخرين كبيرة بما يكفي. أما القاعدة المساواتية فتختار عنصرًا ${\displaystyle x\in X}$الذي يزيد من أصغر المنافع الفردية، أي بالنسبة لكل ولاية أخرى${\displaystyle y\in X}$:

${\displaystyle 0\geq \min _{i\in I}u_{i}(y)-\min _{i\in I}u_{i}(x).}$

تتجاهل هذه القاعدة الكفاءة الإجمالية للنظام. وعلى وجه الخصوص، قد تختار حالة تكون فيها منافع معظم الأفراد منخفضة للغاية، لمجرد زيادة أصغر منفعة بشكل طفيف.

تهدف قاعدة التناسب العادل إلى تحقيق التوازن بين هذين النقيضين. فمن جهة، تأخذ في الاعتبار مجموع المنافع بدلاً من المنفعة الأقل فقط؛ ومن جهة أخرى، ضمن هذا المجموع، تُعطي وزناً أكبر للأفراد الذين تكون منفعتهم الحالية أقل. على وجه الخصوص، إذا كانت منفعة فرد ما في الحالة x تساوي صفرًا، وكانت هناك حالة أخرى y تكون فيها منفعته أكبر من صفر، فإن قاعدة التناسب العادل تُفضل الحالة y، لأن التحسن النسبي للفرد y لا نهائي (يُقسم على صفر).

عندما تكون مجموعات المنافع محدبة، يوجد دائمًا حل عادل نسبيًا. علاوة على ذلك، فإنه يعظم حاصل ضرب المنافع (المعروف أيضًا باسم رفاهية ناش ). ^{[ 3 ]}

عندما لا تكون مجموعات المنفعة محدبة، لا يُضمن وجود حل عادل نسبيًا. ومع ذلك، عندما يوجد، فإنه لا يزال يُعظم حاصل ضرب المنافع. ^{[ 2 ]}

تمت دراسة العدالة النسبية في سياقات مختلفة.

• جدولة الشبكة؛ انظر الجدولة النسبية العادلة . ^{[ 4 ]}
• مسألة مجموع المجموعات الجزئية العادلة . ^{[ 2 ]}
• ^{[ 5 ]}​

• قاعدة ناش للرفاهية - قاعدة مماثلة في نظرية الاختيار الاجتماعي