متباينة ريمز

في الرياضيات ، فإن متباينة ريميز ، التي اكتشفها عالم الرياضيات السوفيتي يفغيني ياكوفليفيتش ريميز ( ريميز 1936 ) ، تعطي حدًا لمعايير sup لبعض كثيرات الحدود ، ويتم تحقيق هذا الحد بواسطة كثيرات حدود تشيبيشيف .

ليكن σ عددًا موجبًا ثابتًا كيفيًا. عرّف فئة كثيرات الحدود πn ₍ σ ) بأنها كثيرات الحدود p من الدرجة n التي تحقق

${\displaystyle |p(x)|\leq 1}$

على مجموعة ما ذات قياس ≥ 2 تقع في الفترة المغلقة [−1,  1+ σ ]. عندئذٍ تنص متباينة ريميز على أن

${\displaystyle \sup _{p\in \pi _{n}(\sigma )}\left\|p\right\|_{\infty }=\left\|T_{n}\right\|_{\infty }}$

حيث T _n ( x ) هو متعدد الحدود تشيبيشيف من الدرجة n ، ويتم أخذ معيار السوبريموم على الفترة [−1،  1+ σ ].

لاحظ أن T _n تتزايد على${\displaystyle [1,+\infty ]}$، لذلك

${\displaystyle \|T_{n}\|_{\infty }=T_{n}(1+\sigma ).}$

إنّ Ri، بالإضافة إلى تقدير لكثيرات حدود تشيبيشيف، يستلزم النتيجة التالية : إذا كانت J  ⊂ R فترة منتهية، و E ⊂ J مجموعة قابلة للقياس كيفما كانت، فإن   

${\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq \left({\frac {4\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E}}\right)^{n}\sup _{x\in E}|p(x)|}$

*

لأي متعددة حدود p من الدرجة n .

تم إثبات متباينات مشابهة للمتباينة ( * ) لفئات مختلفة من الدوال ، وتُعرف باسم متباينات ريميز. ومن الأمثلة المهمة على ذلك متباينة نازاروف للمجاميع الأسية ( نازاروف 1993 ) .

متباينة نازاروف . ليكن

${\displaystyle p(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}e^{\lambda _{k}x}}$

ليكن مجموعًا أسيًا (مع λ _k  ∈ C اختياريًا )، وليكن J  ⊂ R فترة منتهية، و E ⊂ J مجموعة قابلة للقياس اختيارية. عندئذٍ    

${\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E}|p(x)|~,}$

حيث C > 0 ثابت عددي.

في الحالة الخاصة عندما تكون λ _k أعدادًا تخيلية وصحيحة بحتة، والمجموعة الفرعية E هي نفسها فترة، تم إثبات المتباينة بواسطة بال توران وتُعرف باسم ليمّة توران.

ويمتد هذا التفاوت أيضاً إلى${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} ),\ 0\leq p\leq 2}$بالطريقة التالية

${\displaystyle \|p\|_{L^{p}(\mathbb {T} )}\leq e^{A(n-1)\operatorname {mes} (\mathbb {T} \setminus E)}\|p\|_{L^{p}(E)}}$

لبعض القيم A > 0 المستقلة عن p و E و n . عندما

${\displaystyle \operatorname {mes} E<1-{\frac {\log n}{n}}}$

ينطبق تباين مماثل على p > 2. بالنسبة لـ p = ∞، هناك امتداد لكثيرات الحدود متعددة الأبعاد.

البرهان: تطبيق ليمّة نازاروف على${\displaystyle E=E_{\lambda }=\{x:|p(x)|\leq \lambda \},\ \lambda >0}$يؤدي إلى

$\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E_{\lambda }}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\lambda }$

هكذا

${\displaystyle \operatorname {mes} E_{\lambda }\leq C\,\,\operatorname {mes} J\left({\frac {\lambda e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}}{\max _{x\in J}|p(x)|}}\right)^{\frac {1}{n-1}}}$

الآن قم بإصلاح مجموعة${\displaystyle E}$واختر${\displaystyle \lambda }$بحيث${\displaystyle \operatorname {mes} E_{\lambda }\leq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {mes} E}$، إنه

${\displaystyle \lambda =\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{n-1}e^{-\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|}$

لاحظ أن هذا يعني ما يلي:

1. ${\displaystyle \operatorname {mes} E\setminus E_{\lambda }\geq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {mes} E.}$
2. ${\displaystyle \forall x\in E\setminus E_{\lambda }:|p(x)|>\lambda .}$

الآن

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x\in E}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x&\geq \int _{x\in E\setminus E_{\lambda }}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x\\[6pt]&\geq \lambda ^{p}{\frac {1}{2}}\operatorname {mes} E\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {mes} E\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|^{p}\\[6pt]&\geq {\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {mes} E}{\operatorname {mes} J}}\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\int _{x\in J}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x,\end{aligned}}}$

وهذا يكمل البرهان.

إحدى نتائج متباينة ريميز هي متباينة بوليا ، التي أثبتها جورج بوليا ( بوليا 1928 ) ، وتنص على أن مقياس ليبيغ لمجموعة فرعية من متعدد الحدود p من الدرجة n محدود من حيث المعامل الرئيسي LC( p ) على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {mes} \left\{x\in \mathbb {R}$ :\left|P(x)\right|\leq a\right\}\leq 4\left({\frac {a}{2\mathrm {LC} (p)}}\right)^{1/n},\quad a>0~.}

• ريمز، إي جيه (1936). "Sur une propriété des polynômes de Tchebyscheff". إتصالات. انست. الخيال العلمي. خاركوف . 13 : 93 - 95.
• بويانوف، ب. (مايو 1993). "برهان أولي لمتباينة ريميز". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 100 (5). الجمعية الرياضية الأمريكية: 483-485 . doi : 10.2307/2324304 . JSTOR 2324304 . 
• فونتيس-ميرز، ن. (2006). "نسخة متعددة الأبعاد من مبرهنة توران" . مجلة نظرية التقريب . 140 (1): 27-30 . doi : 10.1016/j.jat.2005.11.012 .
• نازاروف، ف. (1993). "التقديرات المحلية لكثيرات الحدود الأسية وتطبيقاتها على متباينات من نوع مبدأ عدم اليقين". الجبر والتحليل . 5 (4): 3-66 .
• نازاروف، ف. (2000). "النسخة الكاملة من مبرهنة توران لكثيرات الحدود المثلثية على محيط الوحدة". التحليل المركب، المؤثرات، والمواضيع ذات الصلة . المجلد  113. الصفحات 239-246 . doi : 10.1007/978-3-0348-8378-8_20 . ISBN  978-3-0348-9541-5.
• بوليا، ج. (1928). "Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhängende Gebiete". سيتزونجسبيرشت أكاد. برلين : 280 – 282.