المجموع الأسي

في الرياضيات ، قد يكون المجموع الأسي متسلسلة فورييه منتهية (أي متعددة حدود مثلثية )، أو مجموعًا منتهيًا آخر مُشكَّلًا باستخدام الدالة الأسية ، والتي عادةً ما يتم التعبير عنها بواسطة الدالة

${\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

لذلك، قد يأخذ المجموع الأسي النموذجي الشكل التالي

${\displaystyle \sum _{n}e(x_{n}),}$

مجموع على سلسلة محدودة من الأعداد الحقيقية x _n .

إذا سمحنا ببعض المعاملات الحقيقية a _{و n} ، للحصول على الشكل

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}e(x_{n})}$

وهذا يُشبه السماح باستخدام الأسس المركبة . كلا الشكلين مفيدان بلا شك في التطبيقات. وقد كُرِّس جزء كبير من نظرية الأعداد التحليلية في القرن العشرين لإيجاد تقديرات جيدة لهذه المجاميع، وهو اتجاه بدأه العمل الأساسي لهيرمان فايل في التقريب الديوفانتي .

جوهر الموضوع هو أن المجموع

${\displaystyle S=\sum _{n}e(x_{n})}$

يمكن تقديرها بسهولة من خلال عدد الحدود N. أي القيمة المطلقة

${\displaystyle |S|\leq N\,}$

باستخدام متباينة المثلث ، بما أن القيمة المطلقة لكل حد هي 1. في التطبيقات، يُفضّل الحصول على نتائج أفضل. يتطلب ذلك إثبات حدوث نوع من الاختزال، أو بعبارة أخرى، أن مجموع الأعداد المركبة على دائرة الوحدة ليس مجموع أعداد لها نفس القيمة المطلقة . أفضل ما يُمكن توقعه هو تقدير على الصورة التالية:

${\displaystyle |S|=O({\sqrt {N}})\,}$

وهذا يعني، حتى الثابت الضمني في ترميز Big O ، أن المجموع يشبه المشي العشوائي في بعدين.

يمكن اعتبار هذا التقدير مثاليًا؛ إلا أنه غير قابل للتحقيق في العديد من المشكلات الرئيسية، والتقديرات

${\displaystyle |S|=o(N)\,}$

يجب استخدام هذه الطريقة، حيث لا تمثل دالة o( N ) سوى توفير طفيف مقارنةً بالتقدير البسيط. قد يكون هذا التوفير الطفيف، على سبيل المثال، عاملاً من عوامل log( N ). حتى هذه النتيجة التي تبدو ضئيلة في الاتجاه الصحيح، يجب ربطها ببنية التسلسل الأولي x_{_n} ، لإظهار درجة من العشوائية . التقنيات المستخدمة بارعة ودقيقة.

أحد أشكال "التفاضل الويلي" الذي درسه ويل يتضمن مجموعًا أسيًا مولدًا

${\displaystyle G(\tau )=\sum _{n}e^{iaf(x)+ia\tau n}}$

وقد سبق أن درسها ويل نفسه، فقام بتطوير طريقة للتعبير عن المجموع كقيمة${\displaystyle G(0)}$، حيث يمكن تعريف 'G' من خلال معادلة تفاضلية خطية مشابهة لمعادلة دايسون التي تم الحصول عليها من خلال الجمع بالتجزئة.

إذا كان المجموع على الشكل

${\displaystyle S(x)=e^{iaf(x)}}$

حيث ƒ دالة سلسة، يمكننا استخدام صيغة أويلر-ماكلورين لتحويل المتسلسلة إلى تكامل، بالإضافة إلى بعض التصحيحات التي تتضمن مشتقات S ( x ). ثم بالنسبة للقيم الكبيرة لـ a، يمكننا استخدام طريقة "الطور الثابت" لحساب التكامل وإعطاء تقييم تقريبي للمجموع. من أهم التطورات في هذا المجال طريقة فان دير كوربوت (حوالي عام 1920)، المرتبطة بمبدأ الطور الثابت ، وطريقة فينوغرادوف اللاحقة (حوالي عام 1930).

إن طريقة الغربال الكبير (حوالي عام 1960)، وهي عمل العديد من الباحثين، هي مبدأ عام شفاف نسبياً؛ ولكن لا توجد طريقة واحدة لها تطبيق عام.

تُستخدم أنواع عديدة من المجاميع في صياغة مسائل محددة؛ وتتطلب التطبيقات عادةً اختزالها إلى نوع معروف، وغالبًا ما يتم ذلك من خلال عمليات حسابية مبتكرة. ويمكن استخدام الجمع الجزئي لإزالة المعاملات a _{و n} في كثير من الحالات.

يتمثل التمييز الأساسي بين المجموع الأسي الكامل ، وهو عادةً مجموع على جميع فئات البواقي بتردد عدد صحيح N (أو حلقة منتهية أكثر عمومية )، والمجموع الأسي غير الكامل حيث يكون نطاق الجمع مقيدًا بمتباينة ما . من أمثلة المجموع الأسي الكامل مجاميع غاوس ومجاميع كلوسترمان ؛ وهما، بمعنى ما، نظيران في الحقول المنتهية أو الحلقات المنتهية لدالة غاما ونوع من دوال بيسل ، على التوالي، ولهما العديد من الخصائص البنيوية. ومن أمثلة المجموع غير الكامل المجموع الجزئي لمجموع غاوس التربيعي (وهو في الواقع الحالة التي درسها غاوس ). هنا توجد تقديرات جيدة للمجاميع على نطاقات أقصر من مجموعة فئات البواقي الكاملة، لأنه، من الناحية الهندسية، تقارب المجاميع الجزئية لولب كورنو ؛ وهذا يعني إلغاءً هائلاً.

تظهر أنواع مساعدة من المجاميع في النظرية، على سبيل المثال مجاميع الأحرف ؛ بالعودة إلى أطروحة هارولد دافنبورت . كان لتخمينات ويل تطبيقات رئيسية على المجاميع الكاملة ذات المجال المقيد بشروط متعددة الحدود (أي على طول تنوع جبري فوق حقل منتهٍ).

يُعد مجموع ويل أحد أكثر أنواع المجاميع الأسية عمومية ، حيث يكون الأس 2π إذا كان ( n ) حيث f دالة حقيقية سلسة ذات قيم عامة إلى حد ما . هذه هي المجاميع المستخدمة في توزيع القيم

ƒ ( n ) modulo 1,

وفقًا لمعيار التوزيع المتساوي لـ Weyl . وكان من بين التطورات الأساسية متباينة Weyl لمثل هذه المجاميع، بالنسبة لكثير الحدود f .

توجد نظرية عامة لأزواج الأسس ، تُصاغ من خلالها التقديرات. ومن الحالات المهمة حالة كون الدالة f لوغاريتمية، وذلك في علاقتها بدالة زيتا لريمان . انظر أيضًا نظرية التوزيع المتساوي . ^{[ 1 ]}

ليكن p عددًا أوليًا فرديًا وليكن${\displaystyle \xi =e^{2\pi i/p}}$ثم يُعطى مجموع غاوس التربيعي بالصيغة التالية

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{cases}}}$

حيث تُعتبر الجذور التربيعية موجبة.

هذه هي درجة الإلغاء المثالية التي يمكن للمرء أن يأمل فيها دون أي معرفة مسبقة ببنية المجموع، لأنها تتطابق مع مقياس المشي العشوائي .

يُعدّ مجموع الدوال الأسية نموذجًا مفيدًا في علم حركية الدواء ( الحركية الكيميائية عمومًا) لوصف تركيز المادة بمرور الوقت. تتوافق الحدود الأسية مع تفاعلات الرتبة الأولى ، والتي تُقابل في علم الأدوية عدد حجرات الانتشار المُنمذجة . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• معضلة هوا

• مونتغمري، هيو ل. (1994). عشر محاضرات حول العلاقة بين نظرية الأعداد التحليلية والتحليل التوافقي . سلسلة المؤتمرات الإقليمية في الرياضيات. المجلد  84. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 . 
• ساندور، جوزيف؛ ميترينوفيتش، دراغوسلاف س. كرستيسي، بوريسلاف، محرران. (2006). دليل نظرية الأعداد الأول . دوردريخت: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 . 

• كوروبوف، ن.م. (1992). المجاميع الأسية وتطبيقاتها . الرياضيات وتطبيقاتها. السلسلة السوفيتية. المجلد  80. ترجمة يو. ن. شاخوف من الروسية. دوردريخت: دار كلوير للنشر الأكاديمي. ISBN 0-7923-1647-9. Zbl 0754.11022 . 

• مقدمة موجزة عن مجاميع ويل على موقع ماث وورلد