مقياس ليبيغ

في الرياضيات ، يُعدّ مقياس لوبيغ الطريقة القياسية لتحديد مفهوم الطول لمجموعات جزئية من خط الأعداد الحقيقية ، والمساحة لمناطق المستوى الإقليدي ، والحجم لمجموعات جزئية من الفضاء الإقليدي في ثلاثة أبعاد فأكثر. ويُستخدم هذا المقياس على نطاق واسع في التحليل الرياضي ، لا سيما في تعريف تكامل لوبيغ وفي العبارات التي تنطبق " تقريبًا في كل مكان "، أي باستثناء مجموعة يكون مقياس لوبيغ الخاص بها صفرًا. وصف هنري لوبيغ هذا المقياس عام 1901، ثم أعقبه في العام التالي وصفه لتكامل لوبيغ. ونُشر كلاهما ضمن أطروحته " التكامل، الطول، المساحة" عام 1902. ^{[ 1 ]}

يُوسّع مقياس ليبيغ مفهوم الطول (أو الحجم) الهندسي العادي بطريقة تتوافق مع الاتحادات القابلة للعد وأنواع أخرى من النهايات القابلة للعد للمجموعات. على سبيل المثال، كل مجموعة جزئية قابلة للعد من خط الأعداد الحقيقية لها مقياس ليبيغ يساوي صفرًا، كونها اتحادًا قابلًا للعد لنقاط ليس لها طول، بينما العديد من المجموعات غير القابلة للعد لها أيضًا مقياس يساوي صفرًا. لا يُعرَّف هذا المقياس على كل مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية (أو الفضاء الإقليدي) وفقًا لبديهيات نظرية المجموعات المعتادة: تُسمى المجموعات التي ينطبق عليها مقياس ليبيغ قابلة للقياس.

إحدى طرق توصيف مقياس ليبيغ هي تعريفه أولاً على مجموعات بوريل ، أي جميع المجموعات التي يمكن الحصول عليها من خلال عدد لا نهائي من عمليات الاتحاد، وإكمال المجموعات، والتقاطعات، من مجموعة الفترات المفتوحة ، بحيث يُعيّن الطول المعتاد للفترات المفتوحة، ويُحقق الخصائص الطبيعية عند حساب نهايات الفترات. ويمكن بعد ذلك الحصول على مقياس ليبيغ بإكمال مقياس بوريل هذا ، وذلك بتعيين مقياس صفري لجميع المجموعات الجزئية من مجموعات بوريل التي لها بالفعل مقياس صفري.

يمكن تعريف مقياس لوبيغ كامتداد للطول والمساحة والحجم العاديين. على خط الأعداد الحقيقية، تكون نقطة البداية هي أن فترة مثل${\displaystyle [a,b]}$،${\displaystyle (a,b)}$، أو${\displaystyle [a,b)}$ينبغي أن يكون له طول${\displaystyle ba}$. في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، والمجموعات الأولية المقابلة هي مربعات مستطيلة $${\displaystyle B=I_{1}\times \cdots \times I_{n},}$$ حيث كل${\displaystyle I_{i}}$هي فترة. حجم هذا الصندوق هو $${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}|I_{i}|.}$$يُعدّ محتوى جوردان أحد البنى المرتبطة بمقياس لوبيغ ، وهو يُقرّب المناطق بتقسيمات محدودة إلى مربعات مستطيلة. وكما هو الحال في تكامل ريمان ، تكون المجموعة قابلة للقياس باستخدام جوردان إذا وُجدت تقسيمات تحتوي على المنطقة، وتقسيمات أخرى داخل المنطقة، بحيث يكون الفرق بينها ضئيلاً للغاية. مع ذلك، فإن مقياس جوردان ليس بنفس قوة مقياس لوبيغ، لوجود مجموعات أساسية غير قابلة للقياس باستخدام جوردان، مثل مجموعة الأعداد النسبية .

يُوسّع مقياس ليبيغ هذا التعيين من الفترات والمربعات إلى فئة كبيرة بما فيه الكفاية من المجموعات الأكثر تعقيدًا مع الحفاظ على القاعدة الأساسية للجمعية القابلة للعد : إذا${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$إذا كانت المجموعات قابلة للقياس ومنفصلة مثنى مثنى، $${\displaystyle \lambda \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda (E_{k}).}$$ هذا الشرط أقوى من خاصية الجمع المحدود ، وهو أحد الأسباب الرئيسية لعدم تحقق كل مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يمكن تعيين مقياس ليبيغ لها في الإطار النظري المعتاد للمجموعات.

المجال الأول لهذا المقياس هو مجموعة مجموعات بوريل . مجموعات بوريل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$شكل أصغر${\displaystyle \sigma }$الجبر الذي يحتوي على جميع المجموعات المفتوحة. أو بعبارة أخرى، هي المجموعات التي يمكن الحصول عليها من المجموعات المفتوحة بتطبيق عمليات الاتحاد والتقاطع والمكملات القابلة للعد. يشمل ذلك المجموعات المفتوحة، والمجموعات المغلقة، والمجموعات القابلة للعد، والفترات، والمربعات، والعديد من المجموعات الأخرى التي يتم الحصول عليها منها عن طريق عمليات قابلة للعد (مثل مجموعة كانتور الثلاثية ).

يوجد مقياس فريد على مجموعات بوريل الفرعية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يُعيّن هذا المقياس لكل صندوق مستطيل حجمه المعتاد، وهو ثابت تحت الإزاحات. يُطلق عليه غالبًا اسم مقياس بوريل لمقياس ليبيغ. مع ذلك، كونه مقياسًا على مجموعات بوريل فقط، فهو ليس كاملًا: فمجموعة جزئية من مجموعة بوريل ذات مقياس صفري قد لا تكون بوريل بحد ذاتها.

تُحصل المجموعات القابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ بإكمال مقياس بوريل هذا. أي، يُضاف إلى مجموعات بوريل جميع المجموعات الجزئية من مجموعات بوريل ذات القياس الصفري، وجميع المجموعات التي تختلف عن مجموعة بوريل بمجموعة فارغة كهذه. أو بصورة مكافئة، مجموعة${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$يكون قابلاً للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ إذا كانت هناك مجموعة بوريل${\displaystyle B}$بحيث يكون الفرق المتناظر $${\displaystyle E\triangle B=(E\setminus B)\cup (B\setminus E)}$$ له قياس يساوي صفرًا. قياس لوبيغ لـ${\displaystyle E}$ثم يُعرَّف بأنه مقياس بوريل لـ${\displaystyle B}$وهذا مفهوم جيد لأن تغيير مجموعة بمجموعة فارغة لا يغير قياسها.

على سبيل المثال، مجموعة كانتور هي مجموعة بوريل ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن كل مجموعة جزئية من مجموعة كانتور قابلة للقياس وفقًا لليبيغ، حتى وإن لم تكن كل مجموعة جزئية من هذه المجموعات مجموعة بوريل. ومن ثم، فإن المجموعات القابلة للقياس وفقًا لليبيغ تُشكّل مجموعة أكبر${\displaystyle \sigma }$الجبر - من مجموعات بوريل.

لأي فترة زمنية${\displaystyle I=[a,b]}$، أو${\displaystyle I=(a,b)}$، في المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية، ليكن${\displaystyle \ell (I)=ba}$لنرمز إلى طولها. لأي مجموعة جزئية${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$، مقياس ليبيغ الخارجي ^{[ 2 ]}${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)}$يُعرَّف بأنه الحد الأدنى

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ هي متتالية من الفترات المفتوحة حيث }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$

يمكن تعميم التعريف أعلاه على أبعاد أعلى كما يلي. ^{[ 3 ]} لأي متوازي مستطيلات${\displaystyle C}$وهو ناتج ديكارتي${\displaystyle C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}}$من الفترات المفتوحة، دع${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})}$(حاصل ضرب الأعداد الحقيقية) يرمز إلى حجمه. لأي مجموعة جزئية${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }$،

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of Cartesian products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.}$$

مجموعة${\displaystyle E}$يستوفي معيار كاراثيودوري كلما، لكل${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R^{n}} }$لدينا:

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{\complement }).}$$

هنا،${\displaystyle E^{\complement }}$هو مكمل لـ${\displaystyle E}$مجموعات${\displaystyle E}$يُقال إن العناصر التي تستوفي معيار كاراثيودوري قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ . مجموعة جميع هذه العناصر${\displaystyle E}$يشكل جبر سيجما .

يُعرَّف مقياس ليبيغ لمثل هذه المجموعة بأنه مقياس ليبيغ الخارجي الخاص بها :

${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)}$.

تثبت نظرية ZFC أن المجموعات غير القابلة للقياس موجودة بالفعل؛ ومن الأمثلة على ذلك مجموعات فيتالي .

• أي فترة مغلقة${\textstyle [a,b]}$مجموعة الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، ومقياس ليبيغ الخاص بها هو الطول${\textstyle b-a}$الفترة المفتوحة${\textstyle (a,b)}$له نفس المقياس، لأن الفرق بين المجموعتين يتكون فقط من نقاط النهاية.${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، والتي يبلغ قياس كل منها صفرًا .
• أي حاصل ضرب ديكارتي للفترات${\textstyle [a,b]}$و${\textstyle [c,d]}$قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ، ومقياسها وفقًا لمقياس لوبيغ هو${\textstyle (b-a)(d-c)}$، مساحة المستطيل المقابل .
• علاوة على ذلك، فإن كل مجموعة بوريل قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ. ومع ذلك، توجد مجموعات قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ ولكنها ليست مجموعات بوريل. ^{[ 4 ] [ 5 ]}
• أي مجموعة قابلة للعد من الأعداد الحقيقية لها قياس ليبيغ يساوي صفرًا . على وجه الخصوص، فإن قياس ليبيغ لمجموعة الأعداد الجبرية يساوي صفرًا ، على الرغم من أن المجموعة كثيفة في${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• مجموعة كانتور ومجموعة أعداد ليوفيل هما مثالان على المجموعات غير القابلة للعد والتي يكون قياس ليبيغ الخاص بها 0 .
• إذا تحققت بديهية الحتمية ، فإن جميع مجموعات الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ. إلا أن الحتمية لا تتوافق مع بديهية الاختيار .
• تُعد مجموعات فيتالي أمثلة على المجموعات التي لا يمكن قياسها بالنسبة لمقياس ليبيغ. ويعتمد وجودها على بديهية الاختيار .
• منحنيات أوسغود هي منحنيات مستوية بسيطة ذات قياس ليبيغ موجب ^{[ 6 ]} (يمكن الحصول عليها بتغيير طفيف في بناء منحنى بيانو ). منحنى التنين مثال آخر غير مألوف.
• أي سطر في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، ل${\displaystyle n\geq 2}$، له قياس ليبيغ صفري. بشكل عام، كل مستوى فائق حقيقي له قياس ليبيغ صفري في فضائه المحيط .
• يمكن حساب حجم كرة ذات n بُعد باستخدام دالة غاما لأويلر.

مقياس ليبيغ بشأن${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$له الخصائص التالية:

1. لو${\textstyle A}$هو حاصل ضرب ديكارتي للفترات${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times ...\times I_{n}}$إذن، فإن A قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ و${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdot _{\;\dots }\cdot |I_{n}|.}$
2. لو${\textstyle A}$إذا كان اتحادًا لعدد لا يُحصى من المجموعات القابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ والمنفصلة ثنائيًا،${\textstyle A}$وهي قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ و${\textstyle \lambda (A)}$يساوي مجموع (أو سلسلة لانهائية ) قياسات المجموعات القابلة للقياس المعنية.
3. لو${\textstyle A}$إذا كان قابلاً للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ، فإن مكمله كذلك .
4. ${\textstyle \lambda (A)\geq 0}$لكل مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ${\textstyle A}$.
5. لو${\textstyle A}$و${\textstyle B}$قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ و${\textstyle A}$هي مجموعة فرعية من${\textstyle B}$، ثم${\textstyle \lambda (A)\leq \lambda (B)}$(نتيجة للنقطة 2.)
6. الاتحادات والتقاطعات القابلة للعد للمجموعات القابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ هي مجموعات قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ. (ليس هذا نتيجة للفقرتين 2 و3، لأن عائلة المجموعات المغلقة تحت المكملات والاتحادات القابلة للعد المنفصلة لا يلزم أن تكون مغلقة تحت الاتحادات القابلة للعد).${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$.)
7. لو${\textstyle A}$هي مجموعة فرعية مفتوحة أو مغلقة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(أو حتى مجموعة بوريل ، انظر الفضاء المتري )، ثم${\textstyle A}$قابل للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ.
8. لو${\textstyle A}$إذا كانت مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، فإنها تكون "مفتوحة تقريبًا" و"مغلقة تقريبًا" بمعنى مقياس ليبيغ.
9. يمكن "حصر" مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ بين مجموعة مفتوحة تحتويها ومجموعة مغلقة تحتويها. وقد استُخدمت هذه الخاصية كتعريف بديل لمعيار ليبيغ. بتعبير أدق،${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$تكون قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$توجد مجموعة مفتوحة${\displaystyle G}$ومجموعة مغلقة${\displaystyle F}$بحيث${\displaystyle F\subset E\subset G}$و${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$[ ^{7 ]​}
10. يمكن "ضغط" مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ بين مجموعة G _δ المحتوية ومجموعة F _σ المحتوية . أي، إذا${\textstyle A}$إذا كانت قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، فإنه يوجد مجموعة G _δ${\textstyle G}$و F _σ${\textstyle F}$بحيث${\textstyle F\subseteq A\subseteq G}$و${\textstyle \lambda (G\setminus A)=\lambda (A\setminus F)=0}$.
11. مقياس ليبيغ محدود محليًا ومنتظم داخليًا ، وبالتالي فهو مقياس رادون .
12. يكون مقياس ليبيغ موجبًا تمامًا على المجموعات المفتوحة غير الفارغة، وبالتالي فإن نطاقه هو كامل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
13. لو${\textstyle A}$هي مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمعيار لوبيغ مع${\textstyle \lambda (A)=0}$( مجموعة فارغة )، ثم كل مجموعة جزئية من${\textstyle A}$هي أيضًا مجموعة فارغة. من باب أولى ، كل مجموعة جزئية من${\displaystyle A}$قابل للقياس.
14. لو${\textstyle A}$قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، و x عنصر من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ثم ترجمة${\textstyle A}$بواسطة${\textstyle x}$، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle A+x:=\{a+x:a\in A\}}$، وهي قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ ولها نفس القياس مثل${\textstyle A}$.
15. لو${\textstyle A}$قابل للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ و${\displaystyle \delta >0}$ثم تمدد${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle \delta }$محدد بواسطة${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$كما أنه قابل للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ وله قياس${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A).}$
16. وبشكل أعم، إذا${\textstyle T}$هو تحويل خطي و${\textstyle A}$هي مجموعة فرعية قابلة للقياس من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، ثم${\textstyle T(A)}$كما أنه قابل للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ وله القياس${\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}$.

يمكن تلخيص كل ما سبق بإيجاز على النحو التالي (على الرغم من أن التأكيدين الأخيرين مرتبطان بشكل غير بديهي بما يلي):

تشكل المجموعات القابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ جبرًا من نوع سيغما يحتوي على جميع نواتج الفترات، و${\displaystyle \lambda }$هو المقياس الوحيد الكامل غير المتغير تحت الإزاحة على جبر سيجما هذا مع${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

كما أن مقياس ليبيغ له خاصية كونه σ- محدود .

مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تكون المجموعة فارغة إذا، لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$، ويمكن تغطيتها بعدد لا نهائي من نواتج n من الفترات التي يكون حجمها الإجمالي على الأكثر${\displaystyle \varepsilon }$جميع المجموعات القابلة للعد هي مجموعات فارغة.

إذا كانت مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا كان بُعد هاوسدورف أقل من n، فإن المجموعة تُعتبر مجموعة فارغة بالنسبة لمقياس ليبيغ ذي البُعد n . هنا، يُقاس بُعد هاوسدورف بالنسبة للمقياس الإقليدي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(أو أي مقياس ليبشيتز مكافئ له). من جهة أخرى، قد يكون لمجموعة ما بُعد طوبولوجي أقل من n، ومع ذلك يكون لها مقياس ليبيغ موجب ذو بُعد n . مثال على ذلك مجموعة سميث-فولتيرا-كانتور ، التي لها بُعد طوبولوجي صفري، ومع ذلك يكون لها مقياس ليبيغ موجب ذو بُعد واحد.

لإثبات أن مجموعة معينة${\textstyle A}$إذا كان بالإمكان قياسه باستخدام مقياس لوبيغ، فعادةً ما يحاول المرء إيجاد مجموعة "أفضل".${\textstyle B}$وهو ما يختلف عن${\textstyle A}$فقط بواسطة مجموعة فارغة (بمعنى أن الفرق المتناظر${\textstyle (A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$(مجموعة فارغة) ثم أثبت ذلك${\textstyle B}$يمكن توليدها باستخدام الاتحادات والتقاطعات القابلة للعد من مجموعات مفتوحة أو مغلقة.

يُعدّ البناء الحديث لمقياس ليبيغ تطبيقًا لنظرية كاراثيودوري في التمديد . ويتم ذلك على النحو التالي.

يصلح${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$صندوق في​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي مجموعة من الشكل$${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,}$$أين${\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}$ويرمز رمز الضرب هنا إلى الضرب الديكارتي. ويُعرَّف حجم هذا الصندوق بأنه$${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.}$$لأي مجموعة جزئية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، يمكننا تحديد مقياسها الخارجي${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)}$بواسطة:$${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.}$$ثم نحدد المجموعة${\displaystyle A}$تكون قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ إذا كان لكل مجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$،$${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.}$$تشكل هذه المجموعات القابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ جبرًا من نوع سيغما ، ويُعرَّف مقياس ليبيغ بواسطة${\displaystyle \lambda (A)=\lambda ^{\!*\!}(A)}$لأي مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ${\displaystyle A}$.

إن وجود مجموعات غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ هو نتيجة لبديهية الاختيار في نظرية المجموعات ، وهي بديهية مستقلة عن العديد من أنظمة البديهيات التقليدية لنظرية المجموعات . وتنص نظرية فيتالي ، التي تستنتج من هذه البديهية، على وجود مجموعات جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$التي لا يمكن قياسها وفقًا لمعيار ليبيغ. وبافتراض بديهية الاختيار، فقد تم إثبات وجود مجموعات غير قابلة للقياس ذات خصائص مفاجئة عديدة، مثل تلك الخاصة بمفارقة باناخ-تارسكي .

في عام 1970، أظهر روبرت م. سولوفاي أن وجود مجموعات غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ لا يمكن إثباته ضمن إطار نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات في غياب بديهية الاختيار (انظر نموذج سولوفاي ). ^{[ 8 ]}

يتطابق مقياس بوريل مع مقياس لوبيغ على المجموعات التي يُعرَّف عليها؛ ومع ذلك، فإن عدد المجموعات القابلة للقياس بواسطة لوبيغ يفوق بكثير عدد المجموعات القابلة للقياس بواسطة بوريل. بينما مقياس لوبيغ على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو تلقائيًا مقياس بوريل محدود محليًا ، وليس كل مقياس بوريل محدود محليًا على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو بالضرورة مقياس ليبيغ. مقياس بوريل ثابت تحت الإزاحة، ولكنه ليس كاملاً .

يمكن تعريف مقياس هار على أي مجموعة متراصة محليًا ، وهو تعميم لمقياس ليبيغ (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(مع الإضافة، تكون مجموعة متراصة محليًا).

مقياس هاوسدورف هو تعميم لمقياس ليبيغ، وهو مفيد لقياس المجموعات الجزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ذات أبعاد أقل من n ، مثل الفضاءات الفرعية ، على سبيل المثال، الأسطح أو المنحنيات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$والمجموعات الكسورية . لا ينبغي الخلط بين مقياس هاوسدورف ومفهوم بُعد هاوسدورف .

يمكن إثبات أنه لا يوجد نظير لانهائي الأبعاد لمقياس ليبيغ .

• أربعة مجلدات
• إديسون فرح
• نظرية الكثافة لليبيغ
• مقياس ليبيغ لمجموعة أعداد ليوفيل
• مجموعة غير قابلة للقياس
  • مجموعة فيتالي
• مقياس بيانو-جوردان