التفاهة الكمومية

من المعروف أن الفراغ الفيزيائي ليس فضاءً فارغًا، نظرًا للخلق الدائم للجسيمات الافتراضية وفنائها. وباعتباره وسطًا متصلًا، يتمتع الفراغ الفيزيائي بخاصية حجب الشحنة، مما يجعل الشحنة الفعالة دالةً لطول (أو زخم) المقياس. ويُشير مصطلح "التفاهة الكمومية" إلى حالة محتملة في نظريات الحقل الكمومي، حيث تميل الشحنة الفعالة إلى الصفر عند حدود أطوال كبيرة. في هذه الحالة، يُقال إن النظرية "تافهة" أو غير تفاعلية. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تم الحصول على أول دليل على إمكانية تفاهة نظريات المجال الكمومي في سياق الديناميكا الكهربائية الكمومية بواسطة ليف لانداو ، وأليكسي أبريكوسوف ، وإسحاق خالاتنيكوف ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} الذين وجدوا العلاقة التالية بين الشحنة القابلة للملاحظة g _obs والشحنة "العارية" g ₀ :

${\displaystyle g_{\text{obs}}={\frac {g_{0}}{1+\beta _{2}g_{0}\ln \Lambda /m}}~,}$

1

حيث m هي كتلة الجسيم، و Λ هي حدّ الزخم. إذا كانت g₀ محدودة، فإن _gₖs تؤول _إلى الصفر في حالة حدّ الزخم اللانهائي Λ .

في الواقع، يكمن التفسير الصحيح للمعادلة (1) في عكسها، بحيث${\displaystyle g_{0}}$(متعلق بمقياس الطول)${\displaystyle \Lambda ^{-1}}$يتم اختيار ) لإعطاء قيمة صحيحة لـ${\displaystyle g_{obs}}$:

${\displaystyle g_{0}={\frac {g_{obs}}{1-\beta _{2}g_{obs}\ln \Lambda /m}}\qquad \qquad \qquad (2)}$

نمو${\displaystyle g_{0}}$مع${\displaystyle \Lambda }$يُبطل المعادلتين (1، 2) في المنطقة${\displaystyle g_{0}\approx 1}$(لأنها حصلت عليها من أجل${\displaystyle g_{0}\ll 1}$) ووجود "قطب لاندو" في المعادلة (2) ليس له معنى فيزيائي. السلوك الفعلي للشحنة${\displaystyle g(\mu )}$كدالة لمقياس الزخم${\displaystyle \mu }$يتم تحديده بواسطة معادلة جيل-مان-لو

${\displaystyle {\frac {dg}{d\ln \mu }}=\beta (g)=\beta _{2}g^{2}+\beta _{3}g^{3}+\ldots \qquad \qquad \qquad (3)}$

مما يؤدي إلى المعادلتين (1، 2) إذا تم تكاملهما في ظل الشروط${\displaystyle g(\mu )=g_{obs}}$ل${\displaystyle \mu =m}$و${\displaystyle g(\mu )=g_{0}}$ل${\displaystyle \mu =\Lambda }$، عندما يكون المصطلح الوحيد هو الذي يحتوي على${\displaystyle \beta _{2}}$يتم الاحتفاظ بها في الجانب الأيمن. السلوك العام لـ${\displaystyle g(\mu )}$يعتمد ذلك على مظهر الوظيفة${\displaystyle \beta (g)}$. وفقًا لتصنيف بوغوليوبوف وشيركوف، ^{[ 6 ]} هناك ثلاث حالات مختلفة نوعيًا:

(أ) إذا${\displaystyle \beta (g)}$لها قيمة صفرية عند القيمة المحدودة${\displaystyle g*}$ثم نمو${\displaystyle g}$مشبعة، أي${\displaystyle g(\mu )\to g*}$ل${\displaystyle \mu \to \infty }$؛

(ب) إذا${\displaystyle \beta (g)}$ليس لها أصفار غير تافهة وتتصرف كـ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$مع${\displaystyle \alpha \leq 1}$للكبير${\displaystyle g}$ثم نمو${\displaystyle g(\mu )}$يستمر إلى ما لا نهاية؛

(ج) إذا${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$مع${\displaystyle \alpha >1}$للكبير${\displaystyle g}$، ثم${\displaystyle g(\mu )}$تكون متباعدة عند قيمة محدودة ${\displaystyle \mu _{0}}$وهنا يظهر قطب لاندو الحقيقي: فالنظرية غير متسقة داخليًا بسبب عدم تحديد${\displaystyle g(\mu )}$ل${\displaystyle \mu >\mu _{0}}$.

تُقابل الحالة الأخيرة التفاهة الكمومية في النظرية الكاملة (خارج سياق الاضطراب)، كما يمكن إثباته بالبرهان بالخلف . في الواقع، إذا${\displaystyle g_{obs}}$إذا كانت محدودة، فإن النظرية غير متسقة داخليًا. والطريقة الوحيدة لتجنب ذلك هي الميل إلى${\displaystyle \mu _{0}}$إلى ما لا نهاية، وهو أمر ممكن فقط لـ${\displaystyle g_{obs}\to 0}$.

تُفسَّر الصيغة (1) بشكل مختلف في نظرية الظواهر الحرجة. في هذه الحالة،${\displaystyle \Lambda }$و${\displaystyle g_{0}}$لها دلالة فيزيائية مباشرة، إذ ترتبط بتباعد الشبكة ومعامل هاميلتونيان لاندو الفعال. النظرية التافهة مع${\displaystyle g_{obs}=0}$يتم الحصول عليها في النهاية${\displaystyle m\to 0}$وهذا ما يتوافق مع النقطة الحرجة. لهذه البداهة معنى فيزيائي، وهي تُشير إلى غياب التفاعل بين التقلبات واسعة النطاق لمعامل الترتيب. والسؤال الأساسي الذي يطرح نفسه هو: هل تصح هذه البداهة لأي قيم (وليس فقط القيم الصغيرة) لـ${\displaystyle g_{0}}$؟

قام كينيث ج. ويلسون بدراسة هذه المسألة باستخدام مجموعة إعادة التطبيع في الفضاء الحقيقي، ^{[ 7 ]} والتي طُوِّرت من المخطط النوعي الذي اقترحه ليو ب. كادانوف ، ^{[ 8 ]} وحصل على أدلة قوية تدعم الإجابة الإيجابية. وقد أكدت الدراسات العددية اللاحقة لنظرية حقل الشبكة استنتاج ويلسون.

لا تعني عبارة "تفاهية ويلسون" سوى ذلك${\displaystyle \beta }$الدالة - غير متناوبة ولا تمتلك أصفارًا غير تافهة: فهي تستبعد الحالة (أ) فقط في تصنيف بوغوليوبوف وشيركوف. أما التفاهة الكمومية "الحقيقية" فهي الخاصية الأقوى، وتتوافق مع الحالة (ج). إذا تم تأكيد "تفاهية ويلسون" من خلال دراسات عددية واسعة النطاق، ويمكن اعتبارها راسخة، فإن الأدلة على "التفاهة الحقيقية" شحيحة وتسمح بتفسيرات مختلفة.

دالة بيتا${\displaystyle \beta (g)}$تمت دراستها مؤخراً باستخدام طرق مختلفة:

(1) عن طريق الجمع، سلسلة الاضطراب المعتادة في قوى ${\displaystyle g}$، باستخدام التقارب الليباتوفي ^{[ 9 ]} للحدود ذات الرتبة العليا؛ ^{[ 10 ]}

(2) عن طريق الجمع، يتم تعديل التمددات عند درجات الحرارة العالية لإعادة إنتاج التمددات الصغيرة${\displaystyle g}$السلوك؛ ^{[ 11 ]}

(3) إثبات السلوك التقاربي التحليلي القوي لـ${\displaystyle \beta (g)}$ باستخدام الشحنة المجردة ذات القيمة المركبة${\displaystyle g_{0}}$; ^{[ 12 ]}

(4) إثبات نفس السلوك التقاربي باستخدام الشحنة المجردة الحقيقية${\displaystyle g_{0}}$ في المخطط بدون معلمات معقدة. ^{[ 13 ]}

جميع النتائج متسقة فيما بينها وتتوافق مع الإيجابية${\displaystyle \beta }$- دالة ذات سلوك اقتران قوي${\displaystyle \beta (g)=\beta _{\infty }g}$وهذا يدل على أن${\displaystyle \varphi ^{4}}$تتفق النظرية مع تفاهات ويلسون، لكنها لا تمتلك التفاهات الكمومية الحقيقية.

وبالمثل، الإيجابي ${\displaystyle \beta }$تم إثبات دالة ذات سلوك تقاربي قوي خطي للديناميكا الكهربائية الكمومية . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

يُشابه "قطاع هيغز" في ^{النموذج} القياسي نظرية φ⁴ . فإذا ما افترضنا التفاهة الكمومية الحقيقية لهذه النظرية، فسيكون بالإمكان تحديد الحد الأعلى لكتلة بوزون هيغز ^{[ 16 ]} . ^{[ 17 ]} ويترتب على ذلك شرط إزاحة موضع قطب لانداو إلى زخم هائل، حيث يُتوقع التوحد مع الجاذبية. وقد لعب حد التفاهة هذا دورًا إيجابيًا في تحفيز التجارب الرامية إلى البحث عن بوزون هيغز. أما الآن، وبعد اكتشاف بوزون هيغز، فإن حد التفاهة هذا غير صحيح. في الواقع، هذا الحد غير صالح، لأن قطاع هيغز (وفقًا للقسم السابق) ليس تافهًا. وبناءً على ذلك، فإن النموذج القياسي خالٍ من التناقضات الداخلية.

• نقطة ثابتة غاوسية
• مشكلة التسلسل الهرمي