المتوسط ​​الحسابي شبه الحسابي

في الرياضيات والإحصاء ، يُعد المتوسط ​​شبه الحسابي أو المتوسط ​​المعمم f أو متوسط ​​كولموغوروف-ناغومو-دي فينيتي ^{[ 1 ]} أحد تعميمات المتوسطات الأكثر شيوعًا مثل المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي ، باستخدام دالة${\displaystyle f}$ويُطلق عليه أيضاً اسم متوسط ​​كولموغوروف نسبةً إلى عالم الرياضيات السوفيتي أندريه كولموغوروف . وهو تعميم أوسع من المتوسط ​​المعمم العادي .

لو${\displaystyle \ f\ }$هي دالة تقوم برسم خريطة لفترة متصلة${\displaystyle \ I\ }$من خط الأعداد الحقيقية إلى مجموعة فرعية متصلة أخرى${\displaystyle \ J\equiv f(I)\ }$من الأعداد الحقيقية ، و${\displaystyle \ f\ }$هي دالة متصلة ، ودالة حقنية (واحد لواحد).

(نحن نطلب)${\displaystyle \ f\ }$أن يكون حقنيًا على${\displaystyle \ I\ }$لكي تكون الدالة العكسية${\displaystyle \ f^{-1}\ }$لكي نوجد. نحن بحاجة إلى ذلك.${\displaystyle \ I\ }$و ${\displaystyle \ J\ }$أن تكون كلتاهما فترات متصلة لضمان أن يكون متوسط ​​أي مجموعة فرعية محدودة (أو غير محدودة) من القيم ضمن${\displaystyle \ J\ }$سيتوافق دائمًا مع قيمة في${\displaystyle \ I\ }$.)

مع مراعاة تلك المتطلبات، فإن متوسط ​​f لـ${\displaystyle \ n\ }$أرقام${\displaystyle \ x_{1},\ldots ,x_{n}\in I\ }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \ M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})\;\equiv \;f^{-1}\!\left(\ {\frac {1}{n}}{\Bigl (}\ f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\ {\Bigr )}\ \right)\ ,}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle \ M_{f}({\vec {x}})\;=\;f^{-1}\!\!\left(\ {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\ \right)~.}$

نتيجة لـ${\displaystyle \ f\ }$يتم تعريفها على فترة زمنية محددة،${\displaystyle \ I\ ,}$الانتقال إلى فترة زمنية أخرى،${\displaystyle \ J\ ,}$هل هذا${\displaystyle \ {\frac {1}{n}}\left(\ f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\ \right)\ }$يجب أن يكون ذلك ضمن${\displaystyle \ J\ ~.}$ولأن${\displaystyle \ J\ }$هو مجال${\displaystyle \ f^{-1}\ ,}$وبالتالي بدوره${\displaystyle \ f^{-1}\ }$يجب أن ينتج قيمة ضمن نفس النطاق الذي أتت منه القيم في الأصل،${\displaystyle \ I~.}$

لأن${\displaystyle \ f\ }$بما أن الدالة أحادية ومتصلة، فإنه يترتب على ذلك بالضرورة أن${\displaystyle \ f\ }$هي دالة رتيبة تمامًا ، وبالتالي فإن متوسط ​​f لا يكون أكبر من أكبر عدد في المجموعة المرتبة.${\displaystyle \ x_{1},\ldots \ ,x_{n}\equiv X\ }$ولا أصغر من أصغر عدد موجود في${\displaystyle \ X\ ,}$وبالتالي، فهي موجودة في مكان ما بين قيم العينة الأصلية.

• لو${\displaystyle I=\mathbb {R} \ ,}$الخط الحقيقي ، و${\displaystyle \ f(x)=x\ ,}$(أو أي دالة خطية)${\displaystyle \ x\mapsto a\cdot x+b\ ,}$ل${\displaystyle \ a\neq 0\ ,}$أو أي${\displaystyle \ a\ }$وأي​${\displaystyle \ b\ }$) ثم يتوافق المتوسط ​​f مع المتوسط ​​الحسابي .

• لو${\displaystyle \ I=\mathbb {R} ^{+}\ ,}$الأعداد الحقيقية الموجبة تمامًا ، و${\displaystyle \ f(x)\ =\ \log(x)\ ,}$عندئذٍ، يتوافق المتوسط ​​f مع المتوسط ​​الهندسي . (النتيجة هي نفسها لأي لوغاريتم ؛ فهي لا تعتمد على أساس اللوغاريتم، طالما أن هذا الأساس موجب تمامًا ولكنه ليس 1 ).

• لو${\displaystyle \ I=\mathbb {R} ^{+}\ }$و${\displaystyle \ f(x)\ =\ {\frac {\ 1\ }{x}}\ ,}$ثم يتوافق المتوسط ​​f مع المتوسط ​​التوافقي .

• لو${\displaystyle \ I=\mathbb {R} ^{+}\ }$و${\displaystyle \ f(x)\ =\ x^{\ \!p}\ ,}$إذن، يتوافق المتوسط ​​f مع المتوسط ​​الأسي ذي الأس.${\displaystyle \ p\ }$( على سبيل المثال، لـ${\displaystyle \ p=2\ }$نحصل على الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS). )

• لو${\displaystyle \ I=\mathbb {R} \ }$و${\displaystyle \ f(x)\ =\ \exp(x)\ ,}$ثم يكون المتوسط ​​f هو المتوسط ​​في شبه الحلقة اللوغاريتمية ، وهو نسخة ذات إزاحة ثابتة من دالة LogSumExp (LSE) (وهي المجموع اللوغاريتمي).${\displaystyle \ M_{f}(\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}\ )\ =\ \operatorname {\mathsf {LSE}} \left(\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}\ \right)-\log(n)~.}$(ال${\displaystyle \ -\log(n)\ }$في التعبير يتوافق مع القسمة على n ، لأن القسمة اللوغاريتمية هي طرح خطي . دالة LogSumExp هي قيمة عظمى سلسة : إنها تقريب سلس لدالة القيمة العظمى.

تنطبق الخصائص التالية على${\displaystyle \ M_{f}\ }$لأي وظيفة واحدة${\displaystyle \ f\ }$:

التناظر: قيمة${\displaystyle \ M_{f}\ }$لا يتغير إذا تم تبديل وسائطه.

خاصية التكرار: للجميع${\displaystyle \ x\ ,}$المتوسط ​​المتكرر${\displaystyle \ M_{f}(\ x,\ \dots ,\ x\ )=x~.}$

الرتابة :${\displaystyle \ M_{f}\ }$تكون رتيبة في كل وسيط من وسائطها (لأن${\displaystyle \ f\ }$(رتيب ) .

الاستمرارية :${\displaystyle \ M_{f}\ }$تكون متصلة في كل وسيط من وسائطها (لأن${\displaystyle \ f\ }$(متصل).

الاستبدال : يمكن حساب متوسط ​​مجموعات فرعية من العناصر مسبقًا، دون تغيير المتوسط، بشرط الحفاظ على تعدد العناصر. مع${\displaystyle \ m\ \equiv \ M_{f}\!\left(\ x_{1},\ \ldots \ ,\ x_{k}\ \right)\ }$وهذا صحيح:

${\displaystyle \ M_{f}\!\left(\ x_{1},\ \dots ,\ x_{k},\ x_{k+1},\ \ldots \ ,\ x\ _{n}\ \right)\ =\ M_{f}\!\left(\;\underbrace {m,\,\ \ldots \ ,\ m} _{\ k{\text{ times}}\ }\ ,\;x_{k+1}\ ,\ \ldots \ ,\ x_{n}\;\right)~.}$

التقسيم : يمكن تقسيم عملية حساب المتوسط ​​إلى عمليات حسابية لكتل ​​فرعية متساوية الحجم:

${\displaystyle M_{f}\!\left(\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n\cdot k}\ \right)\;=\;M_{f}\!{\Bigl (}\;M_{f}\left(\ x_{1},\ \ldots \ ,\ x_{k}\ \right),\;M_{f}\!\left(\ x_{k+1},\ \ldots \ ,\ x_{2\cdot k}\ \right),\;\dots ,\;M_{f}\!\left(\ x_{(n-1)\cdot k+1},\ \ldots \ ,\ x_{n\cdot k}\ \right)\;{\Bigr )}~.}$

خاصية التوزيع الذاتي : لأي متوسط ​​حسابي شبه (qa)${\displaystyle \ M_{\mathsf {q\ \!a}}\ }$من متغيرين:

${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;x,\ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ y,\ z\ \right)\;{\Bigr )}=M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ y\ \right),\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ z\ \right)\;{\Bigr )}~.}$

الوسيطية : لأي متوسط ​​شبه حسابي${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a}}\ }$من متغيرين:

${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ y\ \right),\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ z,\ w\ \right)\;{\Bigr )}=M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ z\ \right),\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ y,\ w\ \right)\;{\Bigr )}~.}$

الموازنة : لأي متوسط ​​شبه حسابي${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a}}\ }$من متغيرين:

${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\biggl (}\;\ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;x,\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ y\ \right)\;{\Bigr )},\;\ M{\mathsf {q\ a\ \!}}\!{\Bigl (}\;y,\ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ y\ \right)\;{\Bigr )}\;\ {\biggr )}~=~M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\bigl (}\ x,\ y\ {\bigr )}~.}$

عدم تأثر المقياس : المتوسط ​​الحسابي شبه الثابت لا يتأثر بالإزاحات ولا بتغيير المقياس غير التافه للمتوسط ​​الحسابي شبه الثابت${\displaystyle \ f\$ :} لأي${\displaystyle \ p(t)\ \equiv \ a+b\cdot q(t)\ ,}$مع${\displaystyle \ a\ }$و${\displaystyle \ b\neq 0\ }$الثوابت، و ${\displaystyle \ q\ }$دالة شبه حسابية،${\displaystyle \ M_{p}(\ x\ )\ }$و${\displaystyle M_{q}(\ x\ )\ }$هي نفسها دائمًا. بالرموز الرياضية :

منح${\displaystyle \ q\ }$شبه حسابي، و${\displaystyle \ p\$ :\ {\bigl (}\ p(t)=a+b\cdot q(t)\;\ \forall \ t\ {\bigr )}\;\forall \ a\;\forall \ b\neq 0\quad \Rightarrow \quad M_{p}(\ x\ )=M_{q}(\ x\ )\;\forall \ x~.}

نظرية النهاية المركزية  : في ظل شروط انتظام معينة، ولعينة كبيرة بما فيه الكفاية،

${\displaystyle \ z~\equiv ~{\sqrt {n\ }}\ {\biggl [}\;M_{f}(\ X_{1},\ \ldots \ ,\ X_{n}\ )\;-\;\operatorname {\mathbb {E} } _{X}\!{\Bigl (}\ M_{f}(\ X_{1},\ \ldots \ ,\ X_{n}\ )\ {\Bigr )}\;{\biggr ]}\ }$

^{[ 2 ]} وتنتشر هذه البيانات توزيعًا طبيعيًا تقريبًا . [3] [4] ويمكن الحصول على نتيجة مماثلة لمتوسطات بايراكتاريفيتش ومتوسطات الانحراف، وهي تعميمات للمتوسطات شبه الحسابية. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

هناك عدة مجموعات مختلفة من الخصائص التي تميز المتوسط ​​الحسابي شبه (أي أن كل دالة تحقق هذه الخصائص هي متوسط ​​f لبعض الدوال f ).

• يكفي الوسيط أساسًا لتوصيف المتوسطات شبه الحسابية. ^{[ 5 ] : الفصل 17}
• يُعد التوزيع الذاتي كافيًا بشكل أساسي لتوصيف المتوسطات شبه الحسابية. ^{[ 5 ] : الفصل 17}
• الاستبدال : أثبت كولموغوروف أن الخصائص الخمس للتناظر، والنقطة الثابتة، والرتابة، والاستمرارية، والاستبدال، تُحدد بشكل كامل المتوسطات شبه الحسابية. ^{[ 6 ]}
• لا حاجة إلى شرط الاستمرارية في توصيف المتوسطات شبه الحسابية لمتغيرين. انظر [10] لمزيد من التفاصيل.
• الموازنة : تتمثل إحدى المشكلات المثيرة للاهتمام في ما إذا كان هذا الشرط (إلى جانب خصائص التناظر، والنقطة الثابتة، والرتابة، والاستمرارية) يستلزم أن يكون المتوسط ​​شبه حسابي. وقد بيّن جورج أومان في ثلاثينيات القرن العشرين أن الإجابة هي لا بشكل عام، ^{[ 7 ]} ولكن إذا افترضنا بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle M}$إذا كانت دالة تحليلية، فإن الإجابة تكون موجبة. ^{[ 8 ]}

تكون المتوسطات عادةً متجانسة ، ولكن بالنسبة لمعظم الدوال${\displaystyle f}$، المتوسط ​​f ليس كذلك. في الواقع، المتوسطات شبه الحسابية المتجانسة الوحيدة هي المتوسطات الأسية (بما في ذلك المتوسط ​​الهندسي )؛ انظر هاردي – ليتلوود – بوليا، صفحة 68.

يمكن تحقيق خاصية التجانس عن طريق تطبيع قيم المدخلات باستخدام متوسط ​​(متجانس) ما${\displaystyle C}$.

${\displaystyle M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)}$

ومع ذلك، قد يؤدي هذا التعديل إلى انتهاك خاصية الرتابة وخاصية تقسيم المتوسط.

لنفترض دالة محدبة تمامًا من نوع ليجندر${\displaystyle F}$ثم خريطة التدرج${\displaystyle \nabla F}$قابلة للعكس عالميًا، ويُعرَّف المتوسط ​​الحسابي شبه الموزون متعدد المتغيرات ^{[ 9 ] بواسطة}${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n};w)={\nabla F}^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\nabla F(\theta _{i})\right)}$، أين${\displaystyle w}$هو متجه وزن معياري (${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}}$(افتراضيًا لمتوسط ​​متوازن). من الازدواجية المحدبة، نحصل على متوسط ​​حسابي شبه مزدوج${\displaystyle M_{\nabla F^{*}}}$المرتبط بالمتوسط ​​الحسابي شبه${\displaystyle M_{\nabla F}}$على سبيل المثال، خذ${\displaystyle F(X)=-\log \det(X)}$ل${\displaystyle X}$مصفوفة متناظرة موجبة التحديد . ينتج عن زوج المتوسطات شبه الحسابية للمصفوفات المتوسط ​​التوافقي للمصفوفة: ${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\theta _{2})=2(\theta _{1}^{-1}+\theta _{2}^{-1})^{-1}.}$

• المعنى العام
• عدم المساواة عند جنسن

• أندريه كولموغوروف (1930) "حول مفهوم المتوسط"، في "الرياضيات والميكانيكا" (كلوير 1991) - ص  144 - 146.
• أندريه كولموجوروف (1930) حول فكرة الضجيج. عطي العقاد. ناز. لينسي 12، ص  388 – 391.
• جون بيبي (1974) "الأسس البديهية للمتوسط ​​وتعميم إضافي للمتتاليات الرتيبة"، مجلة غلاسكو الرياضية، المجلد 15، الصفحات  63-65.
• هاردي، جي إتش ؛ ليتلوود، جي إي ؛ بوليا، جي. (1952) عدم المساواة. الطبعة الثانية. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 1952.
• B. دي فينيتي، "Sul concetto di media" ، المجلد. 3، ص. 36996, 1931, المعهد الإيطالي ديجلي أتواري.