المتوسط ​​التوافقي

في الرياضيات ، المتوسط ​​التوافقي هو أحد أنواع المتوسطات ، وخاصة أحد متوسطات فيثاغورس . وهو مناسب أحيانًا للمواقف التي يكون فيها المعدل المتوسط ​​مرغوبًا. ^[1]

يمكن التعبير عن المتوسط ​​التوافقي كمقلوب المتوسط ​​الحسابي لمقلوبات مجموعة الملاحظات المعطاة. كمثال بسيط، المتوسط ​​التوافقي لـ 1 و4 و4 هو

${\displaystyle \left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.}$

يتم تعريف المتوسط ​​التوافقي H للأعداد الحقيقية الموجبة على أنه ^[2]${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}.}$

هو مقلوب المتوسط ​​الحسابي للمقلوبات، والعكس صحيح:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle A\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\\A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle H\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\end{aligned}}}$

حيث يتم تعريف المتوسط ​​الحسابي على أنه${\textstyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

المتوسط ​​التوافقي عبارة عن دالة مقعرة على شكل شور ، ويهيمن عليها الحد الأدنى لحججها، بمعنى أنه بالنسبة لأي مجموعة موجبة من الحجج، . وبالتالي، لا يمكن جعل المتوسط ​​التوافقي كبيرًا بشكل تعسفي عن طريق تغيير بعض القيم إلى قيم أكبر (مع بقاء قيمة واحدة على الأقل دون تغيير). ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$

المتوسط ​​التوافقي مقعر أيضًا ، وهي خاصية أقوى من تقعر شور. ومع ذلك، يجب الحرص على استخدام الأرقام الموجبة فقط، لأن المتوسط ​​يفشل في أن يكون مقعرًا إذا تم استخدام القيم السالبة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

بالنسبة لجميع مجموعات البيانات الإيجابية التي تحتوي على زوج واحد على الأقل من القيم غير المتساوية ، يكون المتوسط ​​التوافقي دائمًا هو الأقل بين المتوسطات الفيثاغورسية الثلاثة، ^[3] بينما يكون المتوسط ​​الحسابي دائمًا هو الأكبر من بين الثلاثة ويكون المتوسط ​​الهندسي دائمًا بينهما. (إذا كانت جميع القيم في مجموعة بيانات غير فارغة متساوية، فإن المتوسطات الثلاثة تكون دائمًا متساوية مع بعضها البعض؛ على سبيل المثال، المتوسط ​​التوافقي والهندسي والحسابي لـ {2، 2، 2} كلها 2.)

إنها الحالة الخاصة M ₋₁ لمتوسط ​​القدرة : $${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$$

نظرًا لأن المتوسط ​​التوافقي لقائمة الأرقام يميل بشدة نحو العناصر الأصغر في القائمة، فإنه يميل (مقارنة بالمتوسط ​​الحسابي) إلى التخفيف من تأثير القيم المتطرفة الكبيرة وتفاقم تأثير القيم الصغيرة.

غالبًا ما يتم استخدام المتوسط ​​الحسابي بشكل خاطئ في الأماكن التي تتطلب المتوسط ​​التوافقي. ^[4] على سبيل المثال، في مثال السرعة أدناه، المتوسط ​​الحسابي 40 غير صحيح وكبير جدًا.

يرتبط المتوسط ​​التوافقي بالمتوسطات الفيثاغورسية الأخرى، كما هو موضح في المعادلة أدناه. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال تفسير المقام ليكون المتوسط ​​الحسابي لحاصل ضرب الأعداد n مرة ولكن في كل مرة يتم حذف الحد j . أي أنه بالنسبة للحد الأول، نضرب جميع الأعداد n باستثناء الأول؛ وبالنسبة للحد الثاني، نضرب جميع الأعداد n باستثناء الثاني؛ وهكذا. البسط، باستثناء n ، الذي يذهب مع المتوسط ​​الحسابي، هو المتوسط ​​الهندسي للقوة  n . وبالتالي فإن المتوسط ​​التوافقي n مرتبط بالمتوسطين الهندسي والحسابي n . الصيغة العامة هي$${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$$

إذا تعرضت مجموعة من الأرقام غير المتطابقة لانتشار يحافظ على المتوسط ​​- أي أن عنصرين أو أكثر من المجموعة "متباعدان" عن بعضهما البعض مع ترك المتوسط ​​الحسابي دون تغيير - فإن المتوسط ​​التوافقي ينخفض ​​دائمًا. ^[5]

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (December 2019) (Learn how and when to remove this message)

بالنسبة للحالة الخاصة لرقمين فقط، و ، يمكن كتابة المتوسط ​​التوافقي ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad }$ أو ${\displaystyle \qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}$

في هذه الحالة الخاصة، يرتبط المتوسط ​​التوافقي بالمتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي بـ ${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).}$

نظرًا لأن عدم المساواة بين المتوسطات الحسابية والهندسية ، يوضح في حالة n = 2 أن H ≤ G (وهي خاصية تنطبق في الواقع على جميع n ). ويترتب على ذلك أيضًا أن ، مما يعني أن المتوسط ​​الهندسي للعددين يساوي المتوسط ​​الهندسي لمتوسطيهما الحسابي والتوافقي. ${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

بالنسبة للحالة الخاصة لثلاثة أرقام، و ، و ، يمكن كتابة المتوسط ​​التوافقي ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

ثلاثة أرقام موجبة H و G و A هي المتوسطات التوافقية والهندسية والحسابية لثلاثة أرقام موجبة على التوالي إذا وفقط إذا ^{[6] : ص 74، #1834} تنطبق المتباينة التالية

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (December 2019) (Learn how and when to remove this message)

إذا تم ربط مجموعة من الأوزان ، ...، بمجموعة البيانات ، ...، يتم تعريف المتوسط ​​التوافقي المرجح بواسطة ^[7]${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{n}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}$

يمكن اعتبار المتوسط ​​التوافقي غير المرجح بمثابة الحالة الخاصة حيث تكون جميع الأوزان متساوية.

في العديد من المواقف التي تتضمن معدلات ونسب ، يوفر المتوسط ​​التوافقي المتوسط ​​الصحيح . على سبيل المثال، إذا قطعت مركبة مسافة معينة d ذهابًا بسرعة x (مثل 60 كم / ساعة) وعادت بنفس المسافة بسرعة y (مثل 20 كم / ساعة)، فإن سرعتها المتوسطة هي المتوسط ​​التوافقي لـ x و y (30 كم / ساعة)، وليس المتوسط ​​الحسابي (40 كم / ساعة). يكون إجمالي وقت السفر هو نفسه كما لو كانت قد قطعت المسافة بأكملها بهذه السرعة المتوسطة. يمكن إثبات ذلك على النحو التالي: ^[8]

متوسط ​​السرعة للرحلة بأكملها =المسافة الإجمالية المقطوعة/مجموع الوقت لكل جزء = ⁠​2 د/⁠د/س+​​د/ي⁠= ⁠​2/⁠1/س+​​1/ي⁠⁠

ومع ذلك، إذا كانت المركبة تسير لمدة زمنية معينة بسرعة x ثم لنفس المدة الزمنية بسرعة y ، فإن سرعتها المتوسطة هي المتوسط ​​الحسابي لـ x و y ، والذي في المثال أعلاه هو 40 كم/ساعة.

متوسط ​​السرعة للرحلة بأكملها =المسافة الإجمالية المقطوعة/مجموع الوقت لكل جزء = ⁠​إكس تي+ي تي/2ت = ⁠​س+ص/2⁠

ينطبق نفس المبدأ على أكثر من مقطعين: إذا كانت هناك سلسلة من الرحلات الفرعية بسرعات مختلفة، وإذا قطعت كل رحلة فرعية نفس المسافة ، فإن متوسط ​​السرعة هو المتوسط ​​التوافقي لجميع سرعات الرحلات الفرعية؛ وإذا استغرقت كل رحلة فرعية نفس مقدار الوقت ، فإن متوسط ​​السرعة هو المتوسط ​​الحسابي لجميع سرعات الرحلات الفرعية. (إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن المتوسط ​​التوافقي المرجح أو المتوسط ​​الحسابي المرجح مطلوب. بالنسبة للمتوسط ​​الحسابي، يتم ترجيح سرعة كل جزء من الرحلة حسب مدة ذلك الجزء، بينما بالنسبة للمتوسط ​​التوافقي، فإن الوزن المقابل هو المسافة. في كلتا الحالتين، يتم تقليل الصيغة الناتجة إلى قسمة المسافة الإجمالية على الوقت الإجمالي.)

ومع ذلك، قد يتجنب المرء استخدام المتوسط ​​التوافقي في حالة "الترجيح حسب المسافة". اطرح المشكلة على أنها إيجاد "بطء" الرحلة حيث يكون "البطء" (بالساعات لكل كيلومتر) هو معكوس السرعة. عند إيجاد بطء الرحلة، اعكسه لإيجاد متوسط ​​سرعة الرحلة "الحقيقي". لكل جزء من الرحلة i، يكون البطء s _i = 1/السرعة _i . ثم خذ المتوسط ​​الحسابي المرجح لـ s _i المرجح بمسافاتها الخاصة (اختياريًا مع تطبيع الأوزان بحيث يبلغ مجموعها 1 عن طريق قسمتها على طول الرحلة). هذا يعطي متوسط ​​البطء الحقيقي (بالوقت لكل كيلومتر). اتضح أن هذا الإجراء، الذي يمكن إجراؤه دون معرفة المتوسط ​​التوافقي، يعادل نفس العمليات الحسابية التي قد يستخدمها المرء في حل هذه المشكلة باستخدام المتوسط ​​التوافقي. وبالتالي يوضح لماذا يعمل المتوسط ​​التوافقي في هذه الحالة.

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (December 2019) (Learn how and when to remove this message)

وبالمثل، إذا رغب المرء في تقدير كثافة سبيكة معينة بالنظر إلى كثافات العناصر المكونة لها وكسور كتلتها (أو على نحو مكافئ، النسب المئوية حسب الكتلة)، فإن الكثافة المتوقعة للسبائك (باستثناء التغيرات الطفيفة في الحجم عادةً بسبب تأثيرات التعبئة الذرية) هي المتوسط ​​التوافقي المرجح للكثافات الفردية، المرجحة حسب الكتلة، وليس المتوسط ​​الحسابي المرجح كما قد يتوقع المرء للوهلة الأولى. لاستخدام المتوسط ​​الحسابي المرجح، يجب أن تكون الكثافات مرجحة حسب الحجم. إن تطبيق التحليل البعدي على المشكلة مع تسمية وحدات الكتلة حسب العنصر والتأكد من إلغاء كتل العناصر المتشابهة فقط يجعل هذا واضحًا.

إذا تم توصيل مقاومتين كهربائيتين على التوازي، إحداهما لها مقاومة x (على سبيل المثال، 60  Ω ) والأخرى لها مقاومة y (على سبيل المثال، 40 Ω)، فإن التأثير يكون كما لو تم استخدام مقاومتين بنفس المقاومة، وكلاهما يساوي المتوسط ​​التوافقي لـ x و y (48 Ω): المقاومة المكافئة، في كلتا الحالتين، هي 24 Ω (نصف المتوسط ​​التوافقي). ينطبق نفس المبدأ على المكثفات المتصلة على التوالي أو على المحاثات المتصلة على التوازي.

ومع ذلك، إذا تم توصيل المقاومات على التوالي، فإن المقاومة المتوسطة هي المتوسط ​​الحسابي لـ x و y (50 Ω)، مع مقاومة إجمالية تساوي ضعف هذا، أي مجموع x و y (100 Ω). ينطبق هذا المبدأ على المكثفات المتوازية أو المحاثات المتوازية.

كما هو الحال في المثال السابق، ينطبق المبدأ نفسه عندما يتم توصيل أكثر من مقاومتين أو مكثفين أو محاثتين، بشرط أن تكون جميعها متوازية أو متصلة على التوالي.

يتم تعريف "الكتلة الفعالة للتوصيل" لشبه الموصل أيضًا على أنها المتوسط ​​التوافقي للكتل الفعالة على طول الاتجاهات البلورية الثلاثة. ^[9]

أما بالنسبة للمعادلات البصرية الأخرى ، فإن معادلة العدسة الرقيقة 1/ف= ⁠​1/انت+​​1/فيمكن إعادة كتابتها بحيث يكون البعد البؤري f نصف المتوسط ​​التوافقي للمسافات بين الجسم u والجسم v من العدسة. ^[10]

عدستين رفيعتين بطول بؤري f ₁ و f ₂ متصلتين على التوالي تعادلان عدستين رفيعتين بطول بؤري f _hm ، وهو متوسطهما التوافقي، متصلتين على التوالي. وبالتعبير عن ذلك بالقدرة الضوئية ، فإن عدستين رفيعتين بقوة ضوئية P ₁ و P ₂ متصلتين على التوالي تعادلان عدستين رفيعتين بقوة ضوئية P _am ، وهو متوسطهما الحسابي، متصلتين على التوالي.

المتوسط ​​التوافقي المرجح هو الطريقة المفضلة لحساب متوسط ​​المضاعفات، مثل نسبة السعر إلى الأرباح (P/E). إذا تم حساب متوسط ​​هذه النسب باستخدام متوسط ​​حسابي مرجح، يتم إعطاء نقاط البيانات المرتفعة أوزانًا أكبر من نقاط البيانات المنخفضة. من ناحية أخرى، يزن المتوسط ​​التوافقي المرجح كل نقطة بيانات بشكل صحيح. ^[11] المتوسط ​​الحسابي المرجح البسيط عند تطبيقه على نسب غير سعرية موحدة مثل نسبة السعر إلى الأرباح متحيز للأعلى ولا يمكن تبريره عدديًا، لأنه يعتمد على أرباح متساوية؛ تمامًا كما لا يمكن حساب متوسط ​​سرعات المركبات لرحلة ذهابًا وإيابًا (انظر أعلاه). ^[12]

في أي مثلث ، نصف قطر الدائرة الداخلية يساوي ثلث المتوسط ​​التوافقي للارتفاعات .

بالنسبة لأي نقطة P على القوس الأصغر BC للدائرة المحيطة بالمثلث متساوي الأضلاع ABC، مع مسافات q و t من B وC على التوالي، ومع تقاطع PA وBC على مسافة y من النقطة P، لدينا أن y هي نصف المتوسط ​​التوافقي لـ q و t . ^[13]

في مثلث قائم الزاوية بضلعين a و b وارتفاع h من الوتر إلى الزاوية القائمة، يكون h ² نصف المتوسط ​​التوافقي لـ a 2 ^و b 2. ^{[ 14] [15} ]

ليكن t و s ( t > s ) ضلعين للمربعين المحيطين في مثلث قائم الزاوية مع وتر c . عندئذٍ s ² يساوي نصف المتوسط ​​التوافقي لـ c ² و t ² .

ليكن شبه منحرف له رؤوس A وB وC وD على التوالي وله ضلعان متوازيان AB وCD. ليكن E تقاطع القطرين ، وليكن F على الضلع DA وليكن G على الضلع BC بحيث يكون FEG موازيًا لـ AB وCD. عندئذٍ يكون FG هو المتوسط ​​التوافقي لـ AB وDC. (يمكن إثبات ذلك باستخدام مثلثات متشابهة).

أحد تطبيقات نتيجة شبه المنحرف هذه هو في مشكلة السلالم المتقاطعة ، حيث يقع سلمان متعاكسان عبر زقاق، ولكل منهما قدم عند قاعدة أحد الجدران الجانبية، ويتكئ أحدهما على حائط عند ارتفاع A والآخر على الحائط المقابل عند ارتفاع B ، كما هو موضح. يتقاطع السلمان على ارتفاع h فوق أرضية الزقاق. عندئذٍ يكون h نصف المتوسط ​​التوافقي لـ A و B. لا تزال هذه النتيجة صحيحة إذا كانت الجدران مائلة ولكنها لا تزال متوازية ويتم قياس "الارتفاعات" A و B و h كمسافات من الأرضية على طول خطوط موازية للجدران. يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام صيغة مساحة شبه المنحرف وصيغة جمع المساحة.

في القطع الناقص ، يكون المستقيم شبه العريض (المسافة من البؤرة إلى القطع الناقص على طول خط موازٍ للمحور الأصغر) هو المتوسط ​​التوافقي للمسافات القصوى والدنيا للقطع الناقص من البؤرة.

في علوم الكمبيوتر ، وتحديدًا استرجاع المعلومات والتعلم الآلي ، غالبًا ما يتم استخدام المتوسط ​​التوافقي للدقة ( الإيجابيات الحقيقية لكل إيجابية متوقعة) والتذكير ( الإيجابيات الحقيقية لكل إيجابية حقيقية) كدرجة أداء مجمعة لتقييم الخوارزميات والأنظمة: درجة F (أو مقياس F). يتم استخدام هذا في استرجاع المعلومات لأن فئة الإيجابية فقط هي ذات صلة ، في حين أن عدد السلبيات، بشكل عام، كبير وغير معروف. ^[16] وبالتالي، فإن الأمر عبارة عن مقايضة فيما يتعلق بما إذا كان يجب قياس التنبؤات الإيجابية الصحيحة فيما يتعلق بعدد الإيجابيات المتوقعة أو عدد الإيجابيات الحقيقية، لذلك يتم قياسها مقابل عدد مفترض من الإيجابيات وهو متوسط ​​حسابي للمقامين المحتملين.

تنشأ نتيجة من الجبر الأساسي في المشكلات التي يعمل فيها الأشخاص أو الأنظمة معًا. على سبيل المثال، إذا كانت مضخة تعمل بالغاز قادرة على تصريف حوض سباحة في 4 ساعات ومضخة تعمل بالبطارية قادرة على تصريف نفس الحوض في 6 ساعات، فسوف يستغرق الأمر المضختين6·4/6 + 4⁠ ، وهو ما يعادل 2.4 ساعة لتصريف المسبح معًا. وهذا يمثل نصف المتوسط ​​التوافقي لـ 6 و4: ⁠2·6·4/6 + 4⁠ = 4.8 . أي أن المتوسط ​​المناسب للنوعين من المضخات هو المتوسط ​​التوافقي، ومع زوج واحد من المضخات (مضختين) يستغرق الأمر نصف هذا المتوسط ​​التوافقي، بينما مع زوجين من المضخات (أربع مضخات) يستغرق الأمر ربع هذا المتوسط ​​التوافقي.

في علم المياه ، يستخدم المتوسط ​​التوافقي بشكل مماثل لحساب متوسط ​​قيم التوصيل الهيدروليكي للتدفق العمودي على الطبقات (مثل الطبقات الجيولوجية أو التربة) - يستخدم التدفق الموازي للطبقات المتوسط ​​الحسابي. يتم تفسير هذا الاختلاف الواضح في المتوسط ​​بحقيقة أن علم المياه يستخدم التوصيل، وهو عكس المقاومة.

في علم القياسات الرياضية ، فإن رقم القوة والسرعة للاعب البيسبول هو المتوسط ​​التوافقي لإجمالي ضرباته المنزلية والقواعد المسروقة .

في علم الوراثة السكانية ، يتم استخدام المتوسط ​​التوافقي عند حساب تأثيرات التقلبات في حجم تعداد السكان على حجم السكان الفعلي. يأخذ المتوسط ​​التوافقي في الاعتبار حقيقة أن الأحداث مثل عنق الزجاجة السكاني تزيد من معدل الانجراف الجيني وتقلل من مقدار التباين الجيني في السكان. هذا نتيجة لحقيقة مفادها أن اتباع عنق الزجاجة يؤدي إلى مساهمة عدد قليل جدًا من الأفراد في مجموعة الجينات مما يحد من التباين الجيني الموجود في السكان لأجيال عديدة قادمة.

عند النظر في الاقتصاد في استهلاك الوقود في السيارات، يتم استخدام مقياسين بشكل شائع - الأميال لكل جالون (mpg)، واللتر لكل 100 كيلومتر. نظرًا لأن أبعاد هذه الكميات معكوسة لبعضها البعض (أحدهما المسافة لكل حجم، والآخر الحجم لكل مسافة) عند أخذ القيمة المتوسطة للاقتصاد في استهلاك الوقود لمجموعة من السيارات، فإن أحد المقياسين سينتج المتوسط ​​التوافقي للآخر - أي تحويل القيمة المتوسطة للاقتصاد في استهلاك الوقود المعبر عنها باللتر لكل 100 كيلومتر إلى الأميال لكل جالون سينتج المتوسط ​​التوافقي للاقتصاد في استهلاك الوقود المعبر عنه بالأميال لكل جالون. لحساب متوسط ​​استهلاك الوقود لأسطول من المركبات من استهلاك الوقود الفردي، يجب استخدام المتوسط ​​التوافقي إذا كان الأسطول يستخدم الأميال لكل جالون، بينما يجب استخدام المتوسط ​​الحسابي إذا كان الأسطول يستخدم لترات لكل 100 كيلومتر. في الولايات المتحدة الأمريكية، تستخدم معايير CAFE (معايير استهلاك وقود السيارات الفيدرالية) المتوسط ​​التوافقي.

في الكيمياء والفيزياء النووية، يتم تحديد متوسط ​​الكتلة لكل جسيم في خليط يتكون من أنواع مختلفة (على سبيل المثال، الجزيئات أو النظائر) من خلال المتوسط ​​التوافقي لكتل ​​الأنواع الفردية الموزونة حسب نسبة كتلتها الخاصة.

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (December 2019) (Learn how and when to remove this message)

المتوسط ​​التوافقي لتوزيع بيتا مع معلمات الشكل α و β هو:

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0}$

المتوسط ​​التوافقي مع α < 1 غير معرف لأن تعبيره المحدد غير محدد في [0، 1].

دع α = β

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}$

يُظهر أنه بالنسبة لـ α = β يتراوح المتوسط ​​التوافقي من 0 لـ α = β = 1، إلى 1/2 لـ α = β → ∞.

فيما يلي الحدود حيث يكون أحد المعلمات منتهيًا (غير صفر) والمعلمة الأخرى تقترب من هذه الحدود:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}$

مع المتوسط ​​الهندسي، قد يكون المتوسط ​​التوافقي مفيدًا في تقدير أقصى احتمالية في حالة المعلمات الأربعة.

يوجد أيضًا متوسط ​​توافقي ثانٍ ( H _{1 − X} ) لهذا التوزيع

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0}$

هذا المتوسط ​​التوافقي مع β < 1 غير معرف لأن تعبيره المحدد غير محدود في [0، 1].

دع α = β في التعبير أعلاه

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}$

يُظهر أنه بالنسبة لـ α = β يتراوح المتوسط ​​التوافقي من 0، بالنسبة لـ α = β = 1، إلى 1/2، بالنسبة لـ α = β → ∞.

فيما يلي الحدود حيث يكون أحد المعلمات محدودًا (غير صفر) والآخر يقترب من هذه الحدود:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

على الرغم من أن المتوسطين التوافقيين غير متماثلين، إلا أنه عندما α = β يكون المتوسطان متساويين.

المتوسط ​​التوافقي ( H ) للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي للمتغير العشوائي X هو ^[17]

${\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}$

حيث μ و σ ² هما معلمات التوزيع، أي المتوسط ​​والتباين لتوزيع اللوغاريتم الطبيعي لـ X.

ترتبط المتوسطات التوافقية والحسابية للتوزيع بـ

${\displaystyle {\frac {\mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2}\,,}$

حيث C _v و μ ^* هما معامل التباين ومتوسط ​​التوزيع على التوالي.

ترتبط المتوسطات الهندسية ( G ) والحسابية والتوافقية للتوزيع بـ ^[18]

${\displaystyle H\mu ^{*}=G^{2}.}$

المتوسط ​​التوافقي لتوزيع باريتو من النوع الأول هو ^[19]

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

حيث k هو معامل المقياس و α هو معامل الشكل.

بالنسبة للعينة العشوائية، يتم حساب المتوسط ​​التوافقي كما هو موضح أعلاه. قد يكون كل من المتوسط ​​والتباين لا نهائيين ( إذا كان يتضمن حدًا واحدًا على الأقل من النموذج 1/0).

متوسط ​​العينة m موزع بشكل مقاربي طبيعيًا مع تباين s ² .

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

تباين المتوسط ​​نفسه هو ^[20]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

حيث m هو المتوسط ​​الحسابي للمقلوبات، x هي المتغيرات، n هو حجم السكان و E هو عامل التوقع.

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (December 2019) (Learn how and when to remove this message)

بافتراض أن التباين ليس لانهائيًا وأن نظرية الحد المركزي تنطبق على العينة، فعند استخدام طريقة دلتا ، يكون التباين

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

حيث H هو المتوسط ​​التوافقي، m هو المتوسط ​​الحسابي للمقلوبات

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s2 ^هو تباين مقلوبات البيانات

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

و n هو عدد نقاط البيانات في العينة.

من الممكن استخدام طريقة السكين لتقدير التباين إذا كان المتوسط ​​معروفًا. ^[21] هذه الطريقة هي النسخة المعتادة من "حذف 1" وليس "حذف م".

تتطلب هذه الطريقة أولاً حساب متوسط ​​العينة ( م )

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

حيث x هي قيم العينة.

ثم يتم حساب سلسلة من القيم w _{i حيث}

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

ثم يتم أخذ متوسط ​​( h ) لـ w _{i :}

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

تباين المتوسط ​​هو

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

ومن الممكن بعد ذلك تقدير اختبار الدلالة والفاصل الزمني للثقة للمتوسط ​​باستخدام اختبار t .

افترض أن المتغير العشوائي له توزيع f ( x ). افترض أيضًا أن احتمال اختيار المتغير يتناسب مع قيمته. يُعرف هذا باسم العينة المتحيزة على أساس الطول أو الحجم.

ليكن μ هو متوسط ​​عدد السكان. إذن تكون دالة كثافة الاحتمال f *( x ) لعدد السكان المتحيز حسب الحجم هي

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

توقع هذا التوزيع المنحاز للطول E ^* ( x ) هو ^[20]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

حيث σ ² هو التباين.

توقع المتوسط ​​التوافقي هو نفس الإصدار غير المتحيز للطول E( x )

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

تظهر مشكلة أخذ العينات المتحيزة حسب الطول في عدد من المجالات بما في ذلك تصنيع المنسوجات ^[22] وتحليل النسب ^[23] وتحليل البقاء ^[24]

قام أكمان وآخرون بتطوير اختبار للكشف عن التحيز القائم على الطول في العينات. ^[25]

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا موجبًا و q > 0، فعندئذٍ لجميع ε > 0 ^[26]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

بافتراض أن X و E( X ) أكبر من 0، فإن ^[26]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

وهذا يتبع متباينة جينسن .

أظهر جورلاند أن ^[27] بالنسبة للتوزيع الذي يأخذ قيمًا موجبة فقط، لأي n > 0

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

في بعض الظروف ^[28]

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

حيث ~ يعني يساوي تقريبًا.

بافتراض أن المتغيرات ( x ) مأخوذة من توزيع لوغاريتمي طبيعي، فهناك عدة مقدرين محتملين لـ H :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

من بين هذه العناصر، ربما يكون H ₃ هو أفضل مقدر للعينات التي تتكون من 25 عنصرًا أو أكثر. ^[29]

التقريب من الدرجة الأولى للتحيز والتباين لـ H ₁ هو ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

حيث C _v هو معامل التباين.

وبالمثل، فإن التقريب من الدرجة الأولى للتحيز والتباين لـ H ₃ هو ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

في التجارب العددية، يكون H ₃ عمومًا مقدرًا متفوقًا للمتوسط ​​التوافقي من H _1. ^{[30] ينتج} H ₂ تقديرات مماثلة إلى حد كبير لـ H ₁ .

توصي وكالة حماية البيئة باستخدام المتوسط ​​التوافقي في تحديد مستويات السموم القصوى في الماء. ^[31]

في دراسات هندسة الخزانات الجيوفيزيائية ، يتم استخدام المتوسط ​​التوافقي على نطاق واسع. ^[32]

• متوسط ​​التوافقيات
• المتوسط ​​العام
• رقم توافقي
• المعدل (رياضيات)
• المتوسط ​​المرجح
• الجمع المتوازي
• المتوسط ​​الهندسي
• المتوسط ​​الهندسي المرجح
• متباينات HM-GM-AM-QM
• متوسط ​​القيمة الاحتمالية التوافقية

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المتوسط ​​التوافقي". MathWorld .
• المتوسطات والمتوسطات الحسابية والتوافقية عند قطع العقدة