دالة شبه متصلة

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُشابه مفهوم الدالة شبه المتصلة مفهوم الدالة المتصلة ، ولكنه أضعف منه . فجميع الدوال المتصلة هي دوال شبه متصلة، ولكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام.

تعريف

يتركX{\displaystyle X}ليكن فضاءً طوبولوجيًا . دالة ذات قيم حقيقيةو:X→R{\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }تكون شبه متصلة عند نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}إن كان ذلك لأي سببϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}وأي حي مفتوحيو{\displaystyle U}لx{\displaystyle x}توجد مجموعة مفتوحة غير فارغةجي⊂يو{\displaystyle G\subset U}بحيث

|و(x)-و(y)|<ϵ∀y∈جي{\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon \;\;\;\;\forall y\in G}

لاحظ أنه في التعريف أعلاه، ليس من الضروري أنx∈جي{\displaystyle x\in G}.

ملكيات

  • لوو:X→R{\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }إذا كانت متصلةو{\displaystyle f}شبه متصل
  • لوو:X→R{\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }متصل وز:X→R{\displaystyle g:X\rightarrow \mathbb {R} }إذا كانت شبه متصلة،و+ز{\displaystyle f+g}شبه متصل.

مثال

ضع في اعتبارك الدالةو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }محدد بواسطةو(x)=0{\displaystyle f(x)=0}حينماx≤0{\displaystyle x\leq 0}وو(x)=1{\displaystyle f(x)=1}حينماx>0{\displaystyle x>0}من الواضح أن الدالة f متصلة في كل مكان باستثناء x=0، وبالتالي فهي شبه متصلة في كل مكان باستثناء (على الأكثر) x=0. عند x=0، نأخذ أي جوار مفتوح U للنقطة x. عندئذٍ توجد مجموعة مفتوحةجي⊂يو{\displaystyle G\subset U}بحيثy<0∀y∈جي{\displaystyle y<0\;\forall y\in G}من الواضح أن هذا يؤدي إلى |و(0)-و(y)|=0∀y∈جي{\displaystyle |f(0)-f(y)|=0\;\forall y\in G}وبالتالي فإن f شبه متصلة.

في المقابل، الوظيفة ز:R→R{\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }محدد بواسطةز(x)=0{\displaystyle g(x)=0}حينماx{\displaystyle x}هو عدد نسبي وز(x)=1{\displaystyle g(x)=1}حينماx{\displaystyle x}عدد غير نسبي، ولا تكون الدالة شبه متصلة في أي مكان، لأن كل مجموعة مفتوحة غير فارغةجي{\displaystyle G}يحتوي على بعضy1،y2{\displaystyle y_{1},y_{2}}مع|ز(y1)-ز(y2)|=1{\displaystyle |g(y_{1})-g(y_{2})|=1}.

انظر أيضاً

مراجع