عدد غير نسبي

يُنسب أول برهان على وجود الأعداد غير النسبية إلى فيثاغورس (ربما هيباسوس الميتابونتي )، ^{[ 4 ]} الذي يُرجح أنه اكتشفها أثناء تحديد أضلاع النجمة الخماسية . ^{[ 5 ]} كانت الطريقة الفيثاغورسية تفترض وجود وحدة صغيرة غير قابلة للتجزئة تتناسب تمامًا مع أحد هذين الطولين. إلا أن هيباسوس، في القرن الخامس قبل الميلاد، استطاع استنتاج عدم وجود وحدة قياس مشتركة، وأن الادعاء بوجودها يُعد تناقضًا. وقد برهن على ذلك بأنه إذا كان وتر المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين متناسبًا مع أحد ساقيه، فإن أحد هذين الطولين المقاسين بتلك الوحدة يجب أن يكون فرديًا وزوجيًا في آنٍ واحد، وهو أمر مستحيل. وكان استدلاله كما يلي:

• ابدأ بمثلث قائم الزاوية متساوي الساقين، أطوال أضلاعه أعداد صحيحة a و b و c ( حيث a = b لأنه متساوي الساقين). نسبة الوتر إلى أحد الضلعين الآخرين هي c : b .
• افترض أن a و b و c في أصغر صورة ممكنة ( أي ليس لها عوامل مشتركة).
• بحسب نظرية فيثاغورس : ج² = أ² + ^ب² = ^{ب² +} ب² = 2 ^ب² . ⁽ بما أن المثلث متساوي الساقين ، ^فإن أ = ب ) .
• بما أن c ² = 2 b ² ، فإن c ² يقبل القسمة على 2، وبالتالي فهو عدد زوجي.
• بما أن c² عدد زوجي، ^{فلا بد أن يكون} c عددًا زوجيًا.
• بما أن c عدد زوجي، فإن قسمة c على 2 تعطي عددًا صحيحًا. ليكن y هو هذا العدد الصحيح ( c = 2y ) .
• بتربيع كلا طرفي المعادلة c = 2 y ينتج c ² = (2 y ) ² ، أو c ² = 4 y ² .
• باستبدال 4 y ² بـ c ² في المعادلة الأولى ( c ² = 2 b ² ) نحصل على 4 y ² = 2 b ² .
• القسمة على 2 تعطي 2 ص ² = ب ² .
• بما أن y عدد صحيح، و 2 y ² = b ² ، فإن b ² يقبل القسمة على 2، وبالتالي فهو عدد زوجي.
• بما أن b² عدد زوجي، ^{فلا بد أن يكون} b عددًا زوجيًا.
• لقد أثبتنا للتو أن كلاً من b و c يجب أن يكونا عددين زوجيين. وبالتالي، فإن لهما عاملًا مشتركًا هو 2. ومع ذلك، فإن هذا يناقض الافتراض القائل بأنه ليس لهما عوامل مشتركة. هذا التناقض يثبت أن c و b لا يمكن أن يكونا عددين صحيحين في الوقت نفسه، وبالتالي يثبت وجود عدد لا يمكن التعبير عنه كنسبة بين عددين صحيحين. ^{[ 6 ]}

أطلق علماء الرياضيات اليونانيون على هذه النسبة بين المقادير غير القابلة للقياس اسم "ألوغوس" ، أي غير القابل للتعبير. مع ذلك، لم يُشكر هيباسوس على جهوده؛ فبحسب إحدى الروايات، اكتشفها أثناء وجوده في عرض البحر، ثم ألقى به زملاؤه الفيثاغوريون في البحر "لأنه كشف عن عنصر في الكون ينفي... مبدأ إمكانية اختزال جميع الظواهر الكونية إلى أعداد صحيحة ونسبها". ^{[ 7 ]} وتقول رواية أخرى إن هيباسوس نُفي بسبب هذا الاكتشاف. ومهما كانت عواقب ذلك على هيباسوس نفسه، فقد شكّل اكتشافه معضلة بالغة الخطورة للرياضيات الفيثاغورية، إذ حطّم افتراض أن الأعداد والهندسة لا ينفصلان، وهو أساس نظريتهم.

كان اكتشاف النسب غير القابلة للقياس مؤشراً على مشكلة أخرى واجهت الإغريق: العلاقة بين المنفصل والمتصل. وقد سلط زينون الإيلي الضوء على هذه المشكلة، إذ شكك في فكرة أن الكميات منفصلة ومؤلفة من عدد محدود من الوحدات ذات حجم معين. كانت المفاهيم اليونانية السابقة تُملي أنها يجب أن تكون كذلك بالضرورة، لأن "الأعداد الصحيحة تُمثل أشياء منفصلة، ​​والنسبة القابلة للقياس تُمثل علاقة بين مجموعتين من الأشياء المنفصلة" ^{[ 8 ]،} لكن زينون وجد أن "الكميات عموماً ليست مجموعات منفصلة من الوحدات؛ ولهذا السبب تظهر نسب الكميات غير القابلة للقياس... بعبارة أخرى، الكميات متصلة" ^{[ 8 ]} . وهذا يعني أنه خلافاً للمفهوم الشائع في ذلك الوقت، لا يمكن أن توجد وحدة قياس أصغر غير قابلة للتجزئة لأي كمية. في الواقع، يجب أن تكون تقسيمات هذه الكمية لانهائية بالضرورة . على سبيل المثال، لنأخذ قطعة مستقيمة: يمكن تقسيم هذه القطعة إلى نصفين، ثم تقسيم النصف الآخر إلى نصفين، ثم تقسيم نصف النصف الآخر إلى نصفين، وهكذا. يمكن أن تستمر هذه العملية إلى ما لا نهاية، إذ يوجد دائمًا نصف آخر للتقسيم. كلما زاد عدد مرات تقسيم القطعة إلى نصفين، اقتربت وحدة القياس من الصفر، لكنها لا تصل أبدًا إلى الصفر تمامًا. هذا تحديدًا ما سعى زينون إلى إثباته. سعى إلى إثبات ذلك من خلال صياغة أربع مفارقات ، أظهرت التناقضات الكامنة في الفكر الرياضي في ذلك الوقت. مع أن مفارقات زينون أظهرت بدقة أوجه القصور في المفاهيم الرياضية المعاصرة، إلا أنها لم تُعتبر دليلًا على صحة البديل. ففي أذهان الإغريق، لم يكن دحض صحة رأي ما دليلًا على صحة رأي آخر، ولذلك، كان لا بد من إجراء مزيد من البحث.

خطا إيدوكسوس الكنيدي الخطوة التالية ، حيث وضع نظرية جديدة للتناسب تأخذ في الحسبان الكميات المتناسبة وغير المتناسبة. وكان جوهر فكرته التمييز بين المقدار والعدد. فالمقدار "...ليس عددًا، بل يُمثل كيانات مثل القطع المستقيمة والزوايا والمساحات والأحجام والزمن، والتي يمكن أن تتغير، كما نقول، بشكل مستمر. ويُقابل المقدار العدد، الذي يقفز من قيمة إلى أخرى، كما من 4 إلى 5". ^{[ 9 ]} يتكون العدد من أصغر وحدة غير قابلة للتجزئة، بينما المقدار قابل للاختزال إلى ما لا نهاية. ولأنه لم تُخصص قيم كمية للمقدار، فقد تمكن إيدوكسوس من تفسير النسب المتناسبة وغير المتناسبة على حد سواء، وذلك بتعريف النسبة بدلالة مقدارها، والتناسب على أنه مساواة بين نسبتين. وبإخراج القيم الكمية (الأعداد) من المعادلة، تجنب الوقوع في فخ التعبير عن عدد غير نسبي كعدد. مكّنت نظرية إيدوكسوس علماء الرياضيات اليونانيين من إحراز تقدم هائل في الهندسة من خلال توفير الأساس المنطقي اللازم للنسب غير القابلة للقياس. ^{[ 10 ]} وقد تناول إقليدس عدم قابلية القياس هذه في كتابه "الأصول"، الكتاب العاشر، القضية التاسعة. ولم يتبلور أساس رياضي متين للأعداد غير النسبية إلا بعد أن وضع إيدوكسوس نظرية تناسب تأخذ في الحسبان النسب غير النسبية والنسبية على حد سواء. ^{[ 11 ]}

نتيجةً للتمييز بين العدد والمقدار، أصبحت الهندسة الطريقة الوحيدة القادرة على مراعاة النسب غير القابلة للقياس. ولأن الأسس العددية السابقة كانت لا تزال غير متوافقة مع مفهوم عدم التناسب، فقد تحوّل تركيز الإغريق بعيدًا عن المفاهيم العددية كالجبر، وانصبّ اهتمامهم بشكل شبه حصري على الهندسة. في الواقع، في كثير من الحالات، أُعيدت صياغة المفاهيم الجبرية إلى مصطلحات هندسية. ولعل هذا يفسر سبب تصورنا لـ x² و x³ على أنهما ^x² و x³ على التوالي ^، بدلًا من x² و x³ . وكان من الأمور الحاسمة أيضًا في عمل زينون مع المقادير غير القابلة للقياس التركيز الأساسي على الاستدلال الاستنتاجي ، والذي نتج عن انهيار أسس الرياضيات اليونانية السابقة. فقد استلزم إدراك أن بعض المفاهيم الأساسية ضمن النظرية القائمة تتعارض مع الواقع، إجراء بحث شامل ودقيق في البديهيات والافتراضات التي تقوم عليها تلك النظرية. انطلاقاً من هذه الضرورة، طوّر إيدوكسوس منهجه في الاستنفاد ، وهو نوع من البرهان بالخلف الذي "...أرست فيه البنية الاستنتاجية على أساس بديهيات صريحة..." فضلاً عن "...عززت القرار السابق بالاعتماد على الاستدلال الاستنتاجي للبرهان". ^{[ 12 ]} يُعدّ منهج الاستنفاد هذا الخطوة الأولى في نشأة علم الحساب.

أثبت ثيودوروس القيرواني عدم عقلانية الجذور الصماء للأعداد الصحيحة حتى 17، لكنه توقف عند هذا الحد ربما لأن الجبر الذي استخدمه لم يكن من الممكن تطبيقه على الجذر التربيعي لـ 17. ^{[ 13 ]}

تمت معالجة المسائل الهندسية والرياضية التي تتضمن أعدادًا غير نسبية، مثل الجذور التربيعية، في وقت مبكر جدًا خلال العصر الفيدي في الهند. وتوجد إشارات إلى هذه الحسابات في السامهيتا والبراهمانا وشولبا سوترا (800 قبل الميلاد أو ما قبلها). ^{[ 14 ]}

يُشير البعض إلى أن مفهوم اللاعقلانية كان مقبولاً ضمنياً لدى علماء الرياضيات الهنود منذ القرن السابع قبل الميلاد، عندما اعتقد مانافا (حوالي 750-690 قبل الميلاد) أنه لا يمكن تحديد الجذور التربيعية لأعداد مثل 2 و61 بدقة. ^{[ 15 ]} ومع ذلك، يكتب المؤرخ كارل بنجامين بوير أن "هذه الادعاءات غير مدعومة بأدلة كافية، ومن غير المرجح أن تكون صحيحة". ^{[ 16 ]}

وفي وقت لاحق، كتب علماء الرياضيات الهنود في مؤلفاتهم عن حساب الجذور الصماء بما في ذلك الجمع والطرح والضرب والترشيد، بالإضافة إلى فصل واستخراج الجذور التربيعية. ^{[ 17 ]}

قدّم علماء رياضيات مثل براهمغوبتا (عام 628 ميلادي) وبهاسكارا الأول (عام 629 ميلادي) إسهاماتٍ في هذا المجال، وكذلك فعل علماء رياضيات آخرون تبعوهم. وفي القرن الثاني عشر، قيّم بهاسكارا الثاني بعض هذه الصيغ وانتقدها، مُحدداً أوجه قصورها.

خلال القرنين الرابع عشر والسادس عشر، اكتشف مادهافا من سانغاماغراما ومدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات المتسلسلات اللانهائية لعدة أعداد غير نسبية مثل π وبعض القيم غير النسبية للدوال المثلثية . وقدّم جيشتاديفا براهين لهذه المتسلسلات اللانهائية في كتاب يوكتيبهاشا . ^{[ 18 ]}

في العصور الوسطى ، سمح تطوير الجبر على يد علماء الرياضيات المسلمين بمعالجة الأعداد غير النسبية ككائنات جبرية . ^{[ 19 ]} كما دمج علماء الرياضيات في الشرق الأوسط مفهومي " العدد " و" المقدار " في فكرة أعمّ للأعداد الحقيقية ، وانتقدوا فكرة إقليدس عن النسب ، وطوروا نظرية النسب المركبة، ووسعوا مفهوم العدد ليشمل نسب المقدار المتصل. ^{[ 20 ]} في شرحه للكتاب العاشر من كتاب الأصول ، قام عالم الرياضيات الفارسي الماهاني (توفي 874/884) بدراسة وتصنيف الأعداد غير النسبية التربيعية والتكعيبية. وقدّم تعريفات للمقدار النسبي وغير النسبي، الذي اعتبره أعدادًا غير نسبية. وتناولها بحرية، لكنه شرحها بمصطلحات هندسية على النحو التالي: ^{[ 20 ]}

"سيكون المقدار نسبيًا عندما نقول، على سبيل المثال، 10، 12، 3%، 6%، إلخ، لأن قيمته تُنطق وتُعبّر عنها كميًا. أما ما ليس نسبيًا فهو غير نسبي، ومن المستحيل نطقه وتمثيل قيمته كميًا. على سبيل المثال: جذور أعداد مثل 10، 15، 20 التي ليست مربعات، وأضلاع أعداد ليست مكعبات، إلخ. "

على النقيض من مفهوم إقليدس للمقادير كخطوط مستقيمة، اعتبر المحاني الأعداد الصحيحة والكسور مقادير نسبية، والجذور التربيعية والتكعيبية مقادير غير نسبية. كما قدم منهجًا حسابيًا لمفهوم اللا نسبية، إذ نسب ما يلي إلى المقادير غير النسبية: ^{[ 20 ]}

"مجموعها أو فروقها، أو نتائج إضافتها إلى مقدار نسبي، أو نتائج طرح مقدار من هذا النوع من مقدار غير نسبي، أو مقدار نسبي منه."

كان عالم الرياضيات المصري أبو كامل شجاع بن أسلم (حوالي 850-930 ) أول من قبل الأعداد غير النسبية كحلول للمعادلات التربيعية أو كمعاملات في معادلة على شكل جذور تربيعية وجذور رابعة . ^{[ 21 ]} وفي القرن العاشر الميلادي، قدم عالم الرياضيات العراقي الهاشمي براهين عامة (بدلاً من البراهين الهندسية) للأعداد غير النسبية، حيث تناول الضرب والقسمة ووظائف حسابية أخرى. ^{[ 20 ]}

تم قبول العديد من هذه المفاهيم لاحقًا من قبل علماء الرياضيات الأوروبيين بعد فترة من الترجمات اللاتينية في القرن الثاني عشر . وقد ذكر الحسار ، وهو عالم رياضيات مغربي من فاس متخصص في فقه الميراث الإسلامي خلال القرن الثاني عشر، لأول مرة استخدام خط الكسر، حيث يفصل بين البسط والمقام خط أفقي. وكتب في شرحه: "...، على سبيل المثال، إذا طُلب منك كتابة ثلاثة أخماس وثلث خُمس، فاكتبها على النحو التالي:${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$[ ^{22 ]} يظهر هذا الترميز الكسري نفسه بعد ذلك بوقت قصير في أعمال ليوناردو فيبوناتشي في القرن الثالث عشر ^{. [ 23 ]}

شهد القرن السابع عشر تحول الأعداد التخيلية إلى أداة بالغة الأهمية في يد أبراهام دي موافر ، ولا سيما ليونارد أويلر . وتضمن اكتمال نظرية الأعداد المركبة في القرن التاسع عشر تصنيف الأعداد غير النسبية إلى أعداد جبرية وأعداد متسامية ، وإثبات وجود الأعداد المتسامية، وعودة الاهتمام العلمي بنظرية الأعداد غير النسبية، التي أُهملت إلى حد كبير منذ عهد إقليدس . وفي عام ١٨٧٢، نُشرت نظريات كارل فايرشتراس (على يد تلميذه إرنست كوساك)، وإدوارد هاينه ( في مجلة كريل ، ٧٤)، وجورج كانتور (في حولياته، ٥)، وريتشارد ديديكيند . انطلق ميراي في عام 1869 من نفس نقطة انطلاق هاينه، لكن يُنسب هذا المفهوم عمومًا إلى عام 1872. وقد شرح سلفاتور بينشيرل منهج فايرشتراس شرحًا وافيًا في عام 1880، ^{[ 24 ]} واكتسب منهج ديديكيند مزيدًا من الشهرة بفضل أعماله اللاحقة (1888) وتأييد بول تانيري (1894). يبني فايرشتراس وكانتور وهاينه نظرياتهم على المتسلسلات اللانهائية، بينما يؤسس ديديكيند نظريته على فكرة القطع (Schnitt) في نظام جميع الأعداد النسبية ، مما يفصلها إلى مجموعتين لهما خصائص مميزة. وقد تلقى هذا الموضوع إسهامات لاحقة من فايرشتراس وليوبولد كرونيكر (كريل، 101) وتشارلز ميراي .

حظيت الكسور المستمرة ، المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالأعداد غير النسبية (والتي يعود الفضل فيها إلى كاتالدي عام 1613)، باهتمام أويلر، وفي مطلع القرن التاسع عشر برزت بفضل كتابات جوزيف لويس لاغرانج . كما أضاف ديريشليه إلى النظرية العامة، وكذلك فعل العديد من المساهمين في تطبيقات هذا الموضوع.

أثبت يوهان هاينريش لامبرت (عام 1761) أن π لا يمكن أن يكون عددًا نسبيًا، وأن e^ ⁿ عدد غير نسبي إذا كان n عددًا نسبيًا (إلا إذا كان n  =  0). ^{[ 25 ]} على الرغم من أن برهان لامبرت يُعتبر غالبًا غير مكتمل، إلا أن التقييمات الحديثة تدعمه باعتباره مُرضيًا، بل إنه في الواقع دقيق بشكل استثنائي بالنسبة لعصره. بعد أن قدّم أدريان ماري ليجندر (عام 1794) دالة بيسل-كليفورد ، قدّم برهانًا يُظهر أن π^ ² عدد غير نسبي، ومن ثمّ يترتب على ذلك مباشرةً أن π^2 عدد غير نسبي أيضًا. أُثبت وجود الأعداد المتسامية لأول مرة على يد ليوفيل (عامي 1844 و1851). لاحقًا، أثبت جورج كانتور (عام 1873) وجودها بطريقة مختلفة ، حيث أظهر أن كل فترة في الأعداد الحقيقية تحتوي على أعداد متسامية. أثبت تشارلز هيرميت (1873) لأول مرة أن العدد e متسامٍ، ثم أثبت فرديناند فون ليندمان (1882)، انطلاقًا من استنتاجات هيرميت، الأمر نفسه بالنسبة للعدد π. وقد بسّط فايرشتراس (1885) برهان ليندمان بشكل كبير، ثم قام ديفيد هيلبرت (1893) بتبسيطه أكثر، وأخيرًا جعله أدولف هورويتز وبول جوردان برهانًا أوليًا . ^{[ 26 ]}

من المرجح أن الجذر التربيعي للعدد 2 كان أول عدد ثبت أنه غير نسبي. ^{[ 27 ]} النسبة الذهبية (${\displaystyle \varphi }$) هو عدد غير نسبي تربيعي آخر معروف. ويمكن تعريفه بأنه الحل الموجب للمعادلة التربيعية${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$وله قيمة${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$[ ^{28 ]} الجذور التربيعية لجميع الأعداد الطبيعية التي ليست مربعات كاملة هي أعداد غير نسبية ويمكن إيجاد برهان على ذلك في ^{الأعداد} غير النسبية التربيعية .

يمكن تعميم برهان عدم نسبية الجذر التربيعي للعدد اثنين باستخدام النظرية الأساسية في الحساب . تنص هذه النظرية على أن لكل عدد صحيح تحليلًا فريدًا إلى عوامله الأولية. وباستخدامها، يمكننا إثبات أنه إذا لم يكن عدد نسبي عددًا صحيحًا، فلا يمكن لأي قوة صحيحة له أن تكون عددًا صحيحًا، لأنه في أبسط صورة، يجب أن يكون هناك عدد أولي في المقام لا يقسم البسط مهما كانت القوة المرفوعة إليها. لذلك، إذا لم يكن عدد صحيح هو القوة k لعدد صحيح آخر، فإن الجذر k للعدد الأول يكون غير نسبي.

لعلّ أسهل الأعداد التي يمكن إثبات عدم نسبيتها هي بعض اللوغاريتمات . إليكم برهانًا بالتناقض على أن لوغاريتم _٢٣  عدد غير نسبي (لوغاريتم _٢٣  ≈  ١٫٥٨  >  ٠).

لنفترض أن لوغاريتم _2/3  عدد نسبي. بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة m و n ، لدينا

${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}.}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle 2^{m/n}=3}$

${\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}}$

${\displaystyle 2^{m}=3^{n}.}$

العدد 2 مرفوعًا لأي قوة عددية صحيحة موجبة يجب أن يكون زوجيًا (لأنه يقبل القسمة على  2)، والعدد  3 مرفوعًا لأي قوة عددية صحيحة موجبة يجب أن يكون فرديًا (لأنه لا يوجد من عوامله الأولية  2). من الواضح أنه لا يمكن لعدد صحيح أن يكون فرديًا وزوجيًا في الوقت نفسه: لدينا تناقض. الافتراض الوحيد الذي وضعناه هو أن لوغاريتم ₂  للعدد 3 عدد نسبي (وبالتالي يمكن التعبير عنه كحاصل قسمة عددين صحيحين m / n حيث n  ≠  0). التناقض يعني أن هذا الافتراض خاطئ، أي أن لوغاريتم ₂  للعدد 3 عدد غير نسبي، ولا يمكن التعبير عنه أبدًا كحاصل قسمة عددين صحيحين m / n حيث n  ≠  0.

يمكن التعامل مع حالات مثل log _{10 2 بشكل مماثل.} 

الأعداد الجبرية الحقيقية هي الحلول الحقيقية لمعادلات متعددة الحدود

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}$

حيث المعاملات${\displaystyle a_{i}}$هي أعداد صحيحة و${\displaystyle a_{n}\neq 0}$مثال على عدد جبري غير نسبي هو x₀ = ( _2½ + ¹ ) ¹ ^/³ . من الواضح أنه عدد جبري لأنه جذر لكثير حدود صحيح.    ${\displaystyle (x^{3}-1)^{2}=2}$وهو ما يعادل${\displaystyle (x^{6}-2x^{3}-1)=0}$لا تحتوي هذه المعادلة على جذور نسبية، لأن نظرية الجذر النسبي تُبين أن الاحتمالات الوحيدة هي  ±1، ولكن x₀ أكبر من 1. لذا _{فإن x₀} عدد جبري غير نسبي. يوجد عدد قابل للعد من الأعداد الجبرية، لأن عدد كثيرات الحدود الصحيحة قابل للعد أيضًا _.

جميع الأعداد غير النسبية تقريباً هي أعداد متسامية . ومن الأمثلة على ذلك العدد e ^{^r} والعدد π^ ^r ، وهما عددان متساميان لجميع الأعداد النسبية غير الصفرية r.   

بما أن الأعداد الجبرية تشكل حقلاً فرعياً من الأعداد الحقيقية، فإنه يمكن إنشاء العديد من الأعداد الحقيقية غير النسبية من خلال دمج الأعداد المتسامية والأعداد الجبرية. على سبيل المثال، 3π + 2  ،  و π +  √2 ، و e√3 هي أعداد غير نسبية (بل ومتسامية).