معامل RV

في الإحصاء، يُعدّ معامل RV ^{[ 1 ]} تعميمًا متعدد المتغيرات لمعامل ارتباط بيرسون التربيعي (لأن معامل RV يأخذ قيمًا بين 0 و1). ^{[ 2 ]} وهو يقيس مدى تقارب مجموعتين من النقاط، يمكن تمثيل كل منهما في مصفوفة .

يمكن دمج جميع المناهج الرئيسية في تحليل البيانات الإحصائية متعددة المتغيرات ضمن إطار عمل مشترك يتم فيه تعظيم معامل RV مع مراعاة القيود ذات الصلة. وتشمل هذه المنهجيات الإحصائية على وجه التحديد ما يلي: ^{[ 1 ]}

• تحليل المكونات الرئيسية
• تحليل الارتباط الكنسي
• الانحدار متعدد المتغيرات
• التصنيف الإحصائي ( التمييز الخطي ).

يُستخدم معامل RV في التصوير العصبي الوظيفي، حيث يمكنه قياس التشابه بين سلسلتين من صور الدماغ لشخصين ^{[ 3 ]} أو بين صور مختلفة لنفس الشخص. ^{[ 4 ]}

يستند تعريف معامل RV إلى أفكار ^{[ 5 ]} تتعلق بتعريف الكميات العددية التي تُسمى "التباين" و"التغاير" للمتغيرات العشوائية المتجهة . تجدر الإشارة إلى أن الاستخدام الشائع هو استخدام مصفوفات للتباينات والتغايرات للمتغيرات العشوائية المتجهة. وبناءً على هذه التعريفات المبتكرة، فإن معامل RV هو ببساطة معامل الارتباط المُعرَّف بالطريقة المعتادة.

لنفترض أن X و Y عبارة عن مصفوفتين من متجهات عشوائية مركزية (متجهات عمودية) ذات مصفوفة تباين معطاة بواسطة

${\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {E} (XY^{\top })\,,}$

ثم يتم تعريف التغاير ذو القيمة العددية (المشار إليه بـ COVV) بواسطة ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {COVV} (X,Y)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})\,.}$

يتم تعريف التباين ذي القيمة العددية على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {VAV} (X)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XX}^{2})\,.}$

وفقًا لهذه التعريفات، يتمتع التباين والتباين المشترك بخصائص جمعية معينة فيما يتعلق بتكوين كميات متجهة جديدة عن طريق توسيع متجه موجود بعناصر متجه آخر. ^{[ 5 ]}

ثم يتم تعريف معامل RV بواسطة ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathrm {RV} (X,Y)={\frac {\operatorname {COVV} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {VAV} (X)\operatorname {VAV} (Y)}}}\,.}$

على الرغم من أن المعامل يأخذ قيماً بين 0 و1 بحكم التعريف، إلا أنه نادراً ما يصل إلى قيم قريبة من 1 لأن المقام غالباً ما يكون كبيراً جداً مقارنةً بالقيمة القصوى الممكنة للمقام. ^{[ 6 ]}

بمعرفة الكتل القطرية${\displaystyle \Sigma _{XX}}$و${\displaystyle \Sigma _{YY}}$الأبعاد${\displaystyle p\times p}$و${\displaystyle q\times q}$على التوالي، بافتراض أن${\displaystyle p\leq q}$دون الإخلال بعمومية المسألة ، فقد ثبت ^{[ 7 ]} أن البسط الأقصى الممكن هو${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y}),}$ أين${\displaystyle \Lambda _{X}}$(على التوالي)${\displaystyle \Lambda _{Y}}$) تشير إلى المصفوفة القطرية للقيم الذاتية لـ${\displaystyle \Sigma _{XX}}$(على التوالي)${\displaystyle \Sigma _{YY}}$) مرتبة تنازليًا من الزاوية العلوية اليسرى إلى الزاوية السفلية اليمنى و ${\displaystyle \Pi }$هو${\displaystyle p\times q}$مصفوفة${\displaystyle (I_{p}\ 0_{p\times (q-p)})}$.

في ضوء ذلك، اقترح موردانت وسيجرز ^{[ 7 ]} صيغة معدلة لمعامل RV حيث يكون المقام هو القيمة القصوى التي يمكن أن يحققها البسط. وهي كالتالي:

${\displaystyle {\bar {\operatorname {RV} }}(X,Y)={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y})}}={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\sum _{j=1}^{min(p,q)}(\Lambda _{X})_{j,j}(\Lambda _{Y})_{j,j}}}.}$

إن تأثير هذا التعديل واضح تماماً في الممارسة العملية. ^{[ 7 ]}

• معامل التطابق
• ارتباط المسافة