معامل ارتباط بيرسون

يُرمز لمعامل ارتباط بيرسون، عند تطبيقه على مجتمع إحصائي ، عادةً بالحرف اليوناني ρ (رو)، ويُشار إليه أحيانًا بمعامل ارتباط المجتمع الإحصائي أو معامل ارتباط بيرسون للمجتمع الإحصائي . بافتراض وجود زوج من المتغيرات العشوائية${\displaystyle (X,Y)}$(على سبيل المثال، الطول والوزن)، صيغة ρ ^{[ 12 ]} هي ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

أين

• ${\displaystyle \operatorname {cov} }$التباين المشترك
• ${\displaystyle \sigma _{X}}$هو الانحراف المعياري لـ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \sigma _{Y}}$هو الانحراف المعياري لـ ${\displaystyle Y}$.

صيغة لـ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$يمكن التعبير عنها بدلالة المتوسط ​​والتوقع . منذ ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {\mathbb {E} } [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})],}$

الصيغة لـ${\displaystyle \rho }$ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي

$${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

أين

• ${\displaystyle \sigma _{Y}}$و${\displaystyle \sigma _{X}}$يتم تعريفها كما سبق
• ${\displaystyle \mu _{X}}$هو متوسط${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu _{Y}}$هو متوسط${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } }$هذا هو المتوقع.

صيغة لـ${\displaystyle \rho }$يمكن التعبير عنها بدلالة العزوم غير المركزية. بما أن

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X}={}&\operatorname {\mathbb {E} } [X]\\\mu _{Y}={}&\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\\\sigma _{X}^{2}={}&\operatorname {\mathbb {E} } \left[\left(X-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}\right]=\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}\\\sigma _{Y}^{2}={}&\operatorname {\mathbb {E} } \left[\left(Y-\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}\right]=\operatorname {\mathbb {E} } \left[Y^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}\\\operatorname {cov} (X,Y)={}&\operatorname {\mathbb {E} } [\left(X-\mu _{X}\right)\left(Y-\mu _{Y}\right)]=\operatorname {\mathbb {E} } [\left(X-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)\left(Y-\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)]=\operatorname {\mathbb {E} } [XY]-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\operatorname {\mathbb {E} } [Y],\end{aligned}}}$

الصيغة لـ${\displaystyle \rho }$ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي $${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [XY]-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\operatorname {\mathbb {E} } [Y]}{{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}}}~{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } \left[Y^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}}}}}.}$$

يُعبَّر عن معامل ارتباط بيرسون، عند تطبيقه على عينة ، عادةً بالصيغة التالية:${\displaystyle r_{xy}}$ويمكن الإشارة إليه بمعامل ارتباط العينة أو معامل ارتباط بيرسون للعينة . ويمكننا الحصول على صيغة لـ${\displaystyle r_{xy}}$عن طريق استبدال تقديرات التغايرات والتباينات بناءً على عينة في الصيغة أعلاه. بالنظر إلى البيانات المزدوجة${\displaystyle \left\{(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})\right\}}$يتكون من${\displaystyle n}$أزواج،${\displaystyle r_{xy}}$يُعرَّف بأنه

$${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$$

أين

• ${\displaystyle n}$حجم العينة
• ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$هل نقاط العينة الفردية مفهرسة بـ i؟
• ${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$(متوسط ​​العينة)؛ وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle {\bar {y}}}$.

بإعادة الترتيب نحصل على هذه الصيغة ^{[ 12 ]} لـ${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum _{i}x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{{\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}-n{\bar {x}}^{2}}}~{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}-n{\bar {y}}^{2}}}}},}$

أين${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$يتم تعريفها كما هو موضح أعلاه.

بإعادة الترتيب مرة أخرى نحصل على هذه الصيغة لـ${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{{\sqrt {n\sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}}~{\sqrt {n\sum y_{i}^{2}-\left(\sum y_{i}\right)^{2}}}}},}$

أين${\displaystyle n,x_{i},y_{i}}$يتم تعريفها كما هو موضح أعلاه.

تشير هذه الصيغة إلى خوارزمية ملائمة ذات تمريرة واحدة لحساب ارتباطات العينة، على الرغم من أنها قد تكون غير مستقرة عدديًا في بعض الأحيان اعتمادًا على الأرقام المعنية .

يُعطي التعبير المكافئ الصيغة لـ${\displaystyle r_{xy}}$كمتوسط ​​حاصل ضرب الدرجات المعيارية كما يلي:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s_{x}}}\right)\left({\frac {y_{i}-{\bar {y}}}{s_{y}}}\right)}$

أين

• ${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$يتم تعريفها كما سبق، و${\displaystyle s_{x},s_{y}}$تم تعريفها أدناه
• ${\textstyle \left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s_{x}}}\right)}$هي الدرجة المعيارية (وبالمثل بالنسبة للدرجة المعيارية لـ${\displaystyle y}$).

صيغ بديلة لـ${\displaystyle r_{xy}}$وهي متاحة أيضًا. على سبيل المثال، يمكن استخدام الصيغة التالية لـ${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{(n-1)s_{x}s_{y}}}}$

أين

• ${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$يتم تعريفها كما هو موضح أعلاه و:
• ${\textstyle s_{x}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$( الانحراف المعياري للعينة )؛ وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle s_{y}}$.

لو${\displaystyle (X,Y)}$هو توزيع غاوسي مشترك ، بمتوسط ​​صفر وتباين${\displaystyle \Sigma }$، ثم${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{X}^{2}&\rho _{X,Y}\sigma _{X}\sigma _{Y}\\\rho _{X,Y}\sigma _{X}\sigma _{Y}&\sigma _{Y}^{2}\\\end{bmatrix}}}$.

في ظل ظروف التشويش الشديد ، يُعد استخراج معامل الارتباط بين مجموعتين من المتغيرات العشوائية أمرًا معقدًا. تُعرف هذه المشكلة باسم تخفيف الانحدار . وفقًا لنظرية الاختبار الكلاسيكية ، يكون التصحيح كالتالي:${\textstyle \rho _{x'y'}={\frac {\rho _{xy}}{\sqrt {\rho _{xx^{\prime }}\rho _{yy^{\prime }}}}}}$، على الرغم من تقدير الموثوقية ( أو ما يعادلها مستويات الضوضاء)${\textstyle \sigma _{\epsilon _{x}},\sigma _{\epsilon _{y}}}$هناك حاجة إلى ذلك. ويواجه تحليل الارتباط الكنسي مشكلة مماثلة. وقد تم تقديم تعميم للنهج المتبع في تحليل الارتباط الكنسي، مع طريقة لتقدير مستوى الضوضاء، في مكان آخر. ^{[ 14 ]}

في حالة البيانات المفقودة، استنتج غارين مقدر الاحتمال الأقصى . ^{[ 15 ]}

بعض التوزيعات (مثل التوزيعات المستقرة بخلاف التوزيع الطبيعي ) ليس لها تباين محدد.

بالنسبة للبيانات غير المركزية، توجد علاقة بين معامل الارتباط والزاوية φ بين خطي الانحدار، y = g _X ( x ) و x = g _Y ( y ) ، واللذين يتم الحصول عليهما من خلال انحدار y على x و x على y على التوالي. (هنا، تُقاس φ عكس اتجاه عقارب الساعة ضمن الربع الأول المُشكّل حول نقطة تقاطع الخطين إذا كان r > 0 ، أو عكس اتجاه عقارب الساعة من الربع الرابع إلى الربع الثاني إذا كان r < 0 ). يمكن إثبات ^{[ 19 ]} أنه إذا كانت الانحرافات المعيارية متساوية، فإن r = sec φ − tan φ ، حيث sec و tan دالتان مثلثيتان .

بالنسبة للبيانات المركزية (أي البيانات التي تم إزاحتها بمقدار متوسطات العينة لمتغيراتها بحيث يكون متوسط ​​كل متغير صفرًا)، يمكن أيضًا اعتبار معامل الارتباط بمثابة جيب تمام الزاوية θ بين المتجهين المرصودين في فضاء ذي N بُعد (لـ N مشاهدة لكل متغير). ^{[ 20 ]}

يمكن تحديد معاملات الارتباط غير المركزية (غير المتوافقة مع معامل بيرسون) والمركزية لمجموعة بيانات. على سبيل المثال، لنفترض أن الناتج القومي الإجمالي لخمس دول يبلغ 1، 2، 3، 5، و8 مليارات دولار على التوالي. ولنفترض أن معدلات الفقر في هذه الدول الخمس نفسها (بالترتيب نفسه) تبلغ 11%، 12%، 13%، 15%، و18%. عندئذٍ، لنفترض أن x و y متجهان مرتبان مكونان من 5 عناصر يحتويان على البيانات المذكورة أعلاه: x = (1، 2، 3، 5، 8) و y = (0.11، 0.12، 0.13، 0.15، 0.18) .

باستخدام الإجراء المعتاد لإيجاد الزاوية θ بين متجهين (انظر الضرب النقطي )، يكون معامل الارتباط غير المركزي هو

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {2.93}{{\sqrt {103}}{\sqrt {0.0983}}}}=0.920814711.}$

معامل الارتباط غير المركزي هذا مطابق لمعامل تشابه جيب التمام . تم اختيار البيانات المذكورة أعلاه عمدًا لتكون مرتبطة ارتباطًا تامًا: y = 0.10 + 0.01 x . لذلك، يجب أن يكون معامل ارتباط بيرسون واحدًا بالضبط. بتوسيط البيانات (إزاحة x بمقدار ℰ( x ) = 3.8 و y بمقدار ℰ( y ) = 0.138 ) نحصل على x = (−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2) و y = (−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042) ، ومنها

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {0.308}{{\sqrt {30.8}}{\sqrt {0.00308}}}}=1=\rho _{xy},}$

كما هو متوقع.

قدّم العديد من الباحثين إرشادات لتفسير معامل الارتباط. ^{[ 21 ] [ 22 ]} ومع ذلك، فإن جميع هذه المعايير تعسفية إلى حد ما. ^{[ 22 ]} يعتمد تفسير معامل الارتباط على السياق والأهداف. قد يُعتبر معامل الارتباط 0.8 منخفضًا جدًا عند التحقق من قانون فيزيائي باستخدام أدوات عالية الجودة، ولكنه قد يُعتبر مرتفعًا جدًا في العلوم الاجتماعية، حيث قد يكون هناك تأثير أكبر من العوامل المعقدة.

توفر اختبارات التبديل طريقة مباشرة لإجراء اختبارات الفرضيات وبناء فترات الثقة. يتضمن اختبار التبديل لمعامل ارتباط بيرسون الخطوتين التاليتين:

1. باستخدام البيانات الأصلية المزدوجة ( xi _, yi ₎ ، يُعاد تعريف الأزواج عشوائيًا لإنشاء مجموعة بيانات جديدة ( xi _, yi _{′ )} ، حيث يُمثل i ′ تبديلًا للمجموعة {1, ..., n } . يُختار التبديل i ′ عشوائيًا، مع توزيع احتمالات متساوية على جميع التبديلات الممكنة البالغ عددها n !. وهذا يُكافئ سحب i ′ عشوائيًا دون إرجاع من المجموعة {1, ..., n }. في أسلوب إعادة التوزيع (bootstrapping) ، وهو أسلوب وثيق الصلة، يكون i و i ′ متساويين ويُسحبان مع الإرجاع من المجموعة {1, ..., n } .  
2. قم بإنشاء معامل ارتباط r من البيانات العشوائية.

لإجراء اختبار التبديل، كرر الخطوتين  (1) و(2) عددًا كبيرًا من المرات. قيمة الاحتمال (p-value) لاختبار التبديل هي نسبة قيم r الناتجة في الخطوة  (2) التي تكون أكبر من معامل ارتباط بيرسون المحسوب من البيانات الأصلية. هنا، قد تعني كلمة "أكبر" إما أن القيمة أكبر في المقدار المطلق، أو أكبر في الإشارة، وذلك بحسب ما إذا كان الاختبار المطلوب ثنائي الجانب أو أحادي الجانب .

يمكن استخدام طريقة إعادة التوزيع (Bootstrap ) لإنشاء فترات ثقة لمعامل ارتباط بيرسون. في طريقة إعادة التوزيع "غير المعلمية"، يُعاد أخذ عينات من n زوجًا ( xi _, yi ₎ "مع الإحلال" من مجموعة الأزواج المرصودة ، ويُحسب معامل الارتباط r بناءً على البيانات المعاد أخذ عينات منها . تُكرر هذه العملية عددًا كبيرًا من المرات، ويُستخدم التوزيع التجريبي لقيم r المعاد أخذ عينات منها لتقريب توزيع المعاينة للإحصائية. يمكن تعريف فترة ثقة بنسبة 95% لـ ρ على أنها الفترة الممتدة من المئين 2.5 إلى المئين 97.5 لقيم r المعاد أخذ عينات منها . 

لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كانت المتغيرات عشوائية، وتوجد بينها علاقة خطية بسيطة مع ضوضاء طبيعية مضافة (أي، y = a + bx + e)، فإن الخطأ المعياري المرتبط بالارتباط هو

${\displaystyle \sigma _{r}\approx {\frac {1-r^{2}}{\sqrt {n}}}}$

أين${\displaystyle r}$هل الارتباط و${\displaystyle n}$حجم العينة. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

بالنسبة للأزواج من التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات غير المرتبط ، فإن توزيع المعاينة لمعامل ارتباط بيرسون المعياري يتبع توزيع t للطالب بدرجات حرية n  −  2. على وجه التحديد، إذا كانت المتغيرات الأساسية لها توزيع طبيعي ثنائي المتغيرات، فإن المتغير

${\displaystyle t={\frac {r}{\sigma _{r}}}=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}}$

يتبع توزيع t للطالب في حالة العدم (انعدام الارتباط). ^{[ 25 ]} وينطبق هذا تقريبًا في حالة القيم المرصودة غير الطبيعية إذا كانت أحجام العينات كبيرة بما يكفي. ^{[ 26 ]} ولتحديد القيم الحرجة لـ r، يلزم استخدام الدالة العكسية.

${\displaystyle r={\frac {t}{\sqrt {n-2+t^{2}}}}.}$

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام أساليب التقارب ذات العينات الكبيرة.

تقدم ورقة بحثية مبكرة أخرى ^{[ 27 ]} رسومًا بيانية وجداول للقيم العامة لـ ρ ، لأحجام العينات الصغيرة، وتناقش الأساليب الحسابية.

في حالة عدم اتباع المتغيرات الأساسية للتوزيع الطبيعي، فإن توزيع المعاينة لمعامل ارتباط بيرسون يتبع توزيع t للطالب ، ولكن درجات الحرية تكون أقل. ^{[ 28 ]}

بالنسبة للبيانات التي تتبع التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات ، فإن دالة الكثافة الدقيقة f ( r ) لمعامل الارتباط العيني r للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات هي ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle f(r)={\frac {(n-2)\,\mathrm {\Gamma } (n-1)\left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\operatorname {\Gamma } {\mathord {\left(n-{\tfrac {1}{2}}\right)}}(1-\rho r)^{n-{\frac {3}{2}}}}}{}_{2}\mathrm {F} _{1}{\mathord {\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(2n-1);{\tfrac {1}{2}}(\rho r+1)\right)}}}$

أين${\displaystyle \Gamma }$دالة غاما و${\displaystyle {}_{2}\mathrm {F} _{1}(a,b;c;z)}$هي دالة غاوسية فائقة الهندسة .

في الحالة الخاصة عندما${\displaystyle \rho =0}$(في حالة انعدام الارتباط بين السكان)، يمكن كتابة دالة الكثافة الدقيقة f ( r ) على النحو التالي

${\displaystyle f(r)={\frac {\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{\operatorname {\mathrm {B} } {\mathord {\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n-2}{2}}\right)}}}},}$

أين${\displaystyle \mathrm {B} }$هي دالة بيتا ، وهي إحدى طرق كتابة كثافة توزيع t للطالب لمعامل ارتباط العينة المعياري ، كما هو مذكور أعلاه.

في الممارسة العملية، عادةً ما يتم إجراء فترات الثقة واختبارات الفرضيات المتعلقة بـ ρ باستخدام تحويل تثبيت التباين ، وتحويل فيشر .${\displaystyle F}$:

${\displaystyle F(r)\equiv {\tfrac {1}{2}}\,\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} (r)}$

تتبع الدالة F ( r ) تقريبًا التوزيع الطبيعي مع

${\displaystyle {\text{mean}}=F(\rho )=\operatorname {artanh} (\rho )}$    والخطأ المعياري${\displaystyle ={\text{SE}}={\frac {1}{\sqrt {n-3}}},}$

حيث n هو حجم العينة. يكون خطأ التقريب في أدنى مستوياته عند حجم عينة كبير.${\displaystyle n}$وصغيرة${\displaystyle r}$و${\displaystyle \rho _{0}}$ويزداد خلاف ذلك.

باستخدام التقريب، تكون قيمة z هي

${\displaystyle z={\frac {x-{\text{mean}}}{\text{SE}}}=[F(r)-F(\rho _{0})]{\sqrt {n-3}}}$

في ظل الفرضية الصفرية التي${\displaystyle \rho =\rho _{0}}$بافتراض أن أزواج العينات مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا وتتبع التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات ، يمكن الحصول على قيمة احتمالية تقريبية من جدول الاحتمالات الطبيعية. على سبيل المثال، إذا لوحظت قيمة z  =  2.2، وكان المطلوب قيمة احتمالية ثنائية الجانب لاختبار الفرضية الصفرية التي تنص على أن${\displaystyle \rho =0}$، قيمة p هي 2Φ(−2.2) = 0.028 ، حيث Φ هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي .

للحصول على فترة ثقة لـ ρ، نقوم أولاً بحساب فترة ثقة لـ F (${\displaystyle \rho }$):

${\displaystyle 100(1-\alpha )\%{\text{CI}}:\operatorname {artanh} (\rho )\in [\operatorname {artanh} (r)\pm z_{\alpha /2}{\text{SE}}]}$

يعيد تحويل فيشر العكسي الفاصل الزمني إلى مقياس الارتباط.

${\displaystyle 100(1-\alpha )\%{\text{CI}}:\rho \in [\tanh(\operatorname {artanh} (r)-z_{\alpha /2}{\text{SE}}),\tanh(\operatorname {artanh} (r)+z_{\alpha /2}{\text{SE}})]}$

على سبيل المثال، لنفترض أننا لاحظنا قيمة r  =  0.7 مع حجم عينة n = 50، ونرغب في الحصول على فترة ثقة بنسبة 95% لـ ρ . القيمة المحولة هي ${\textstyle \operatorname {arctanh} \left(r\right)=0.8673}$إذن، فإن فترة الثقة على المقياس المحوّل هي${\displaystyle 0.8673\pm {\frac {1.96}{\sqrt {47}}}}$أو (0.5814،  1.1532). وبالتحويل مرة أخرى إلى مقياس الارتباط نحصل على (0.5237،  0.8188).

يُعرَّف معامل ارتباط بيرسون للمجتمع بدلالة العزوم ، وبالتالي فهو موجود لأي توزيع احتمالي ثنائي المتغيرات يكون فيه التباين المشترك للمجتمع مُعرَّفًا، وتكون تباينات المجتمع الهامشية مُعرَّفة وغير صفرية. بعض التوزيعات الاحتمالية، مثل توزيع كوشي ، لها تباين غير مُعرَّف، وبالتالي فإن ρ غير مُعرَّف إذا كان X أو Y يتبعان هذا التوزيع. في بعض التطبيقات العملية، مثل تلك التي تتضمن بيانات يُشتبه في اتباعها لتوزيع ذي ذيل سميك ، يُعد هذا اعتبارًا مهمًا. مع ذلك، فإن وجود معامل الارتباط عادةً لا يُشكِّل مصدر قلق؛ على سبيل المثال، إذا كان مدى التوزيع محدودًا، فإن ρ يكون مُعرَّفًا دائمًا.

• إذا كان حجم العينة متوسطًا أو كبيرًا وكان المجتمع طبيعيًا، ففي حالة التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات ، يكون معامل ارتباط العينة هو تقدير الاحتمال الأقصى لمعامل ارتباط المجتمع، وهو غير متحيز وفعال تقاربًا ، مما يعني تقريبًا أنه من المستحيل إنشاء تقدير أكثر دقة من معامل ارتباط العينة.
• إذا كان حجم العينة كبيرًا ولم يكن التوزيع السكاني طبيعيًا، فإن معامل ارتباط العينة يظل غير متحيز تقريبًا، ولكنه قد لا يكون فعالًا.
• إذا كان حجم العينة كبيرًا، فإن معامل ارتباط العينة هو مقدر متسق لمعامل ارتباط المجتمع طالما أن متوسطات العينة والتباينات والتباين المشترك متسقة (وهو أمر مضمون عند تطبيق قانون الأعداد الكبيرة ).
• إذا كان حجم العينة صغيرًا، فإن معامل الارتباط للعينة r لا يمثل تقديرًا غير متحيز لـ ρ . ^{[ 12 ]} يجب استخدام معامل الارتباط المعدل بدلاً من ذلك: انظر في مكان آخر من هذه المقالة للتعريف.
• قد تختلف الارتباطات بالنسبة للبيانات الثنائية غير المتوازنة عندما يكون هناك خطأ في التباين في العينة. ^{[ 32 ]}

كغيرها من الإحصاءات الشائعة الاستخدام، فإن إحصائية العينة r ليست قوية ، ^{[ 33 ]} لذا قد تكون قيمتها مضللة في حال وجود قيم متطرفة . ^{[ 34 ] [ 35 ]} وبالتحديد، فإن معامل ارتباط بيرسون (PMCC) ليس قويًا من حيث التوزيع، ^{[ 36 ]} ولا مقاومًا للقيم المتطرفة ^{[ 33 ]} (انظر الإحصاءات القوية §  التعريف ). عادةً ما يكشف فحص مخطط التشتت بين X و Y عن حالة قد يمثل فيها نقص القوة مشكلة، وفي مثل هذه الحالات، قد يكون من المستحسن استخدام مقياس قوي للارتباط. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن معظم مقاييس الارتباط القوية تقيس التبعية الإحصائية بطريقة ما، إلا أنها عمومًا لا يمكن تفسيرها على نفس مقياس معامل ارتباط بيرسون.

يتأثر الاستدلال الإحصائي لمعامل ارتباط بيرسون بتوزيع البيانات. يمكن تطبيق الاختبارات الدقيقة والاختبارات التقاربية القائمة على تحويل فيشر إذا كانت البيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا تقريبًا، ولكنها قد تكون مضللة في غير ذلك. في بعض الحالات، يمكن استخدام طريقة إعادة التوزيع (Bootstrap) لإنشاء فترات ثقة، ويمكن تطبيق اختبارات التبديل لإجراء اختبارات الفرضيات. قد تُعطي هذه الأساليب غير المعلمية نتائج أكثر دلالة في بعض الحالات التي لا يتحقق فيها التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات. مع ذلك، تعتمد النسخ القياسية لهذه الأساليب على قابلية تبادل البيانات، أي أنه لا يوجد ترتيب أو تجميع لأزواج البيانات قيد التحليل قد يؤثر على سلوك تقدير الارتباط.

يُعد التحليل الطبقي إحدى طرق معالجة عدم التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات، أو لعزل الارتباط الناتج عن عامل واحد مع التحكم في عامل آخر. إذا كان W يُمثل انتماء المجموعة أو عاملًا آخر يُستحسن التحكم فيه، فيمكننا تصنيف البيانات بناءً على قيمة W ، ثم حساب معامل الارتباط داخل كل طبقة. بعد ذلك ^، يمكن دمج تقديرات مستوى الطبقة لتقدير الارتباط الكلي مع التحكم في W. [ ^{37 ]}

معامل الارتباط العيني r ليس تقديرًا غير متحيز لـ ρ . بالنسبة للبيانات التي تتبع التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات ، فإن القيمة المتوقعة E[ r ] لمعامل الارتباط العيني r للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات هي ^{[ 38 ].}

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[r\right]=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2n}}+\cdots ,\quad }$لذلك فإن r هو مقدر متحيز لـ${\displaystyle \rho .}$

يتم إعطاء المقدر الفريد غير المتحيز ذو التباين الأدنى r _{adj بواسطة} ^{[ 39 ]}

${\displaystyle r_{\text{adj}}=r\,\mathbf {_{2}F_{1}} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {n-1}{2}};1-r^{2}\right),}$

1

أين:

• ${\displaystyle r,n}$يتم تعريفها كما هو موضح أعلاه،
• ${\displaystyle \mathbf {_{2}F_{1}} (a,b;c;z)}$هي دالة غاوسية فائقة الهندسة .

يمكن الحصول على مقدر غير متحيز تقريبًا r _adj عن طريق اقتطاع E[ r ] وحل هذه المعادلة المقتطعة:

${\displaystyle r=\operatorname {\mathbb {E} } [r]\approx r_{\text{adj}}-{\frac {r_{\text{adj}}\left(1-r_{\text{adj}}^{2}\right)}{2n}}.}$

2

الحل التقريبي للمعادلة ( 2 ) هو

${\displaystyle r_{\text{adj}}\approx r\left[1+{\frac {1-r^{2}}{2n}}\right],}$

3

أين في ( 3 )

• ${\displaystyle r,n}$يتم تعريفها كما هو موضح أعلاه،
• r _adj هو مُقدِّر دون المستوى الأمثل،
• يمكن أيضًا الحصول على r _adj عن طريق تعظيم log( f ( r )),
• يكون لـ r _adj أقل تباين للقيم الكبيرة لـ n ،
• r _adj لديه انحياز من الرتبة 1 ⁄ ( n − 1) .

معامل الارتباط المعدل المقترح الآخر ^{[ 12 ] هو}

${\displaystyle r_{\text{adj}}={\sqrt {1-{\frac {(1-r^{2})(n-1)}{(n-2)}}}}.}$

r _adj ≈ r للقيم الكبيرة لـ n . 

لنفترض أن الملاحظات المراد ربطها لها درجات متفاوتة من الأهمية يمكن التعبير عنها بمتجه وزن w . لحساب الارتباط بين المتجهين x و y باستخدام متجه الوزن w (جميعها بطول n )، ^{[ 40 ] [ 41 ]} 

• المتوسط ​​المرجح:$${\displaystyle \operatorname {m} (x;w)={\frac {\sum _{i}w_{i}x_{i}}{\sum _{i}w_{i}}}.}$$
• التغاير المرجح$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,y;w)={\frac {\sum _{i}w_{i}\cdot (x_{i}-\operatorname {m} (x;w))(y_{i}-\operatorname {m} (y;w))}{\sum _{i}w_{i}}}.}$$
• الارتباط المرجح$${\displaystyle \operatorname {corr} (x,y;w)={\frac {\operatorname {cov} (x,y;w)}{\sqrt {\operatorname {cov} (x,x;w)\operatorname {cov} (y,y;w)}}}.}$$

الارتباط الانعكاسي هو نوع من أنواع ارتباط بيرسون، حيث لا تتمركز البيانات حول قيمها المتوسطة. الارتباط الانعكاسي للمجتمع هو

${\displaystyle \operatorname {corr} _{r}(X,Y)={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [\,X\,Y\,]}{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } [\,X^{2}\,]\cdot \operatorname {\mathbb {E} } [\,Y^{2}\,]}}}.}$

الارتباط الانعكاسي متناظر، ولكنه ليس ثابتًا تحت الإزاحة:

${\displaystyle \operatorname {corr} _{r}(X,Y)=\operatorname {corr} _{r}(Y,X)=\operatorname {corr} _{r}(X,bY)\neq \operatorname {corr} _{r}(X,a+bY),\quad a\neq 0,b>0.}$

إن الارتباط الانعكاسي للعينة يعادل تشابه جيب التمام :

${\displaystyle rr_{xy}={\frac {\sum x_{i}y_{i}}{\sqrt {(\sum x_{i}^{2})(\sum y_{i}^{2})}}}.}$

النسخة المرجحة من معامل الارتباط الانعكاسي للعينة هي

${\displaystyle rr_{xy,w}={\frac {\sum w_{i}x_{i}y_{i}}{\sqrt {(\sum w_{i}x_{i}^{2})(\sum w_{i}y_{i}^{2})}}}.}$

الارتباط المُقاس هو نوع من أنواع ارتباط بيرسون، حيث يتم تقييد نطاق البيانات عمدًا وبطريقة مضبوطة للكشف عن الارتباطات بين المكونات السريعة في السلاسل الزمنية . ^{[ 42 ]} يُعرَّف الارتباط المُقاس بأنه متوسط ​​الارتباط عبر أجزاء قصيرة من البيانات.

يترك${\displaystyle K}$ليكن عدد الأجزاء التي يمكن أن تتناسب مع الطول الإجمالي للإشارة${\displaystyle T}$بالنسبة لمقياس معين${\displaystyle s}$:

${\displaystyle K=\operatorname {round} \left({\frac {T}{s}}\right).}$

الارتباط المُقاس عبر الإشارات بأكملها${\displaystyle {\bar {r}}_{s}}$ثم يتم حسابها على النحو التالي

${\displaystyle {\bar {r}}_{s}={\frac {1}{K}}\sum \limits _{k=1}^{K}r_{k},}$

أين${\displaystyle r_{k}}$معامل ارتباط بيرسون للقطاع${\displaystyle k}$.

باختيار المعلمة${\displaystyle s}$يتم تقليص نطاق القيم واستبعاد الارتباطات على المدى الزمني الطويل، بحيث لا تظهر إلا الارتباطات على المدى الزمني القصير. وبالتالي، تُزال مساهمات المكونات البطيئة وتُحتفظ بمساهمات المكونات السريعة.

يمكن تعريف مقياس المسافة لمتغيرين X و Y والمعروف باسم مسافة بيرسون من معامل الارتباط بينهما على النحو التالي ^{[ 43 ].}

${\displaystyle d_{X,Y}=1-\rho _{X,Y}.}$

بما أن معامل ارتباط بيرسون يقع بين -1 و+1، فإن مسافة بيرسون تقع بين 0 و2. وقد استُخدمت مسافة بيرسون في تحليل التجمعات وكشف البيانات في الاتصالات والتخزين مع كسب وإزاحة غير معروفين. ^{[ 44 ]}

تُعرّف مسافة بيرسون بهذه الطريقة، حيث تُخصص مسافة أكبر من 1 للارتباطات السلبية. في الواقع، كل من الارتباطات الإيجابية القوية والارتباطات السلبية لها دلالة، لذا يجب توخي الحذر عند استخدام مسافة بيرسون في خوارزمية أقرب جار، لأن هذه الخوارزمية ستتضمن فقط الجيران ذوي الارتباط الإيجابي وتستبعد الجيران ذوي الارتباط السلبي. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام مسافة ذات قيمة مطلقة.${\displaystyle d_{X,Y}=1-|\rho _{X,Y}|}$يمكن تطبيق نموذج يأخذ في الاعتبار الارتباطات الإيجابية والسلبية على حد سواء. ويمكن استخلاص المعلومات المتعلقة بالارتباطات الإيجابية والسلبية بشكل منفصل لاحقًا.

بالنسبة للمتغيرين X = { x ₁ ,..., x _n } و Y = { y ₁ ,..., y _n } المعرفين على دائرة الوحدة [ 0, 2π) ، من الممكن تعريف نظير دائري لمعامل بيرسون. ^{[ 45 ]} ويتم ذلك بتحويل نقاط البيانات في X و Y باستخدام دالة الجيب بحيث يُعطى معامل الارتباط على النحو التالي:

${\displaystyle r_{\text{circular}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sin(x_{i}-{\bar {x}})\sin(y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sin(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sin(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$

أين${\displaystyle {\bar {x}}}$و${\displaystyle {\bar {y}}}$هي المتوسطات الدائرية لـ X و Y. يمكن أن يكون هذا المقياس مفيدًا في مجالات مثل الأرصاد الجوية حيث يكون الاتجاه الزاوي للبيانات مهمًا. 

إذا تميزت مجموعة سكانية أو مجموعة بيانات بأكثر من متغيرين، فإن معامل الارتباط الجزئي يقيس قوة الاعتماد بين زوج من المتغيرات التي لا يتم تفسيرها بالطريقة التي يتغير بها كلاهما استجابة للاختلافات في مجموعة فرعية مختارة من المتغيرات الأخرى.

بالنسبة لمتغيرين قابلين للملاحظة،${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، في نظام كمي ثنائي الأجزاء، يتم تعريف معامل ارتباط بيرسون على النحو التالي ^{[ 46 ] [ 47 ]}

${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)={\frac {\mathbb {E} [X\otimes Y]-\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]}{\sqrt {\mathbb {V} [X]\cdot \mathbb {V} [Y]}}}\,,}$

أين

• ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$هي القيمة المتوقعة للمتغير القابل للملاحظة${\displaystyle X}$،
• ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]}$هي القيمة المتوقعة للمتغير القابل للملاحظة${\displaystyle Y}$،
• ${\displaystyle \mathbb {E} [X\otimes Y]}$هي القيمة المتوقعة للمتغير القابل للملاحظة${\displaystyle X\otimes Y}$،
• ${\displaystyle \mathbb {V} [X]}$هو تباين المتغير القابل للملاحظة${\displaystyle X}$، و
• ${\displaystyle \mathbb {V} [Y]}$هو تباين المتغير القابل للملاحظة${\displaystyle Y}$.

${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)}$متناظر، أي${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)=\mathbb {Cor} (Y,X)}$وقيمتها المطلقة ثابتة تحت التحويلات الأفينية.