النطاق (الإحصائيات)

المدى، T، له دالة التوزيع التراكمي ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}\,{\text{d}}x.}$

يشير غامبل إلى أن "جمال هذه الصيغة يشوبه تمامًا حقيقة أنه، بشكل عام، لا يمكننا التعبير عن G ( x  + t ) بواسطة G ( x )، وأن التكامل العددي طويل وممل". ^{[ 2 ] : 385} 

إذا كان توزيع كل قيمة من _قيم Xᵢ محدودًا إلى اليمين (أو اليسار)، فإن التوزيع التقاربي للمدى يساوي التوزيع التقاربي لأكبر (أصغر) قيمة. أما بالنسبة للتوزيعات الأكثر عمومية، فيمكن التعبير عن التوزيع التقاربي بدالة بيسل . ^{[ 2 ]}

يُعطى المدى المتوسط ​​بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G}$

حيث x ( G ) هي الدالة العكسية. في حالة كون كل من Xᵢ _يتبع التوزيع الطبيعي القياسي ، فإن المدى المتوسط ​​يُعطى بالمعادلة ^{[ 5 ].}

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x.}$$

يرجى ملاحظة أن ما يلي هو استنتاج غير رسمي للنتيجة، وهو غير دقيق بعض الشيء في حساب الاحتمالات.

يترك${\displaystyle m,M}$يمثلان على التوالي الحد الأدنى والحد الأقصى للمتغيرات العشوائية${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$.

الحدث الذي يكون فيه المدى أصغر من${\displaystyle T}$يمكن تقسيمها إلى أحداث أصغر وفقًا لما يلي:

• مؤشر القيمة الدنيا
• والقيمة${\displaystyle x}$من الحد الأدنى.

لمؤشر معين${\displaystyle i}$والقيمة الدنيا${\displaystyle x}$، احتمال وقوع الحدث المشترك:

1. ${\displaystyle X_{i}}$هو الحد الأدنى،
2. و${\displaystyle X_{i}=x}$،
3. والمدى أصغر من${\displaystyle T}$،

يكون:$${\displaystyle g(x)\left[G(x+T)-G(x)\right]^{n-1}}$$الجمع على المؤشرات والتكامل على${\displaystyle x}$ينتج عنه الاحتمال الكلي للحدث: "المدى أصغر من${\displaystyle T}$"وهي بالضبط دالة الكثافة التراكمية للمدى:$${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)\left[G(t+x)-G(x)\right]^{n-1}\,{\text{d}}x}$$وهذا يختتم البرهان.