فترة الإرجاع

فترة العودة ، والمعروفة أيضًا بفترة التكرار ^، هي متوسط ​​الوقت أو متوسط ​​الوقت المُقدَّر بين وقوع أحداث مثل الزلازل والفيضانات [ 1 ^{] والانهيارات} الأرضية ^[ 2 ^{] أو} تدفقات تصريف الأنهار . ويُطلق على مقلوب فترة العودة اسم تردد الحدوث .

هو مقياس إحصائي يعتمد عادةً على بيانات تاريخية على مدى فترة طويلة، ويُستخدم عادةً في تحليل المخاطر. ومن الأمثلة على ذلك تحديد ما إذا كان ينبغي السماح بتنفيذ مشروع في منطقة ذات مستوى خطر معين، أو تصميم هياكل لتحمل أحداث ذات فترة تكرار محددة. يفترض التحليل التالي أن احتمال وقوع الحدث لا يتغير بمرور الوقت، وأنه مستقل عن الأحداث السابقة.

فترة التكرار${\displaystyle ={n+1 \over m}}$

عدد السنوات المسجلة ( ن )؛

يمثل m رتبة الأحداث المرصودة عند ترتيبها تنازليًا ^{[ 3 ]}

بالنسبة للفيضانات، يمكن قياس الحدث بوحدة متر ^مكعب /ثانية أو الارتفاع؛ وبالنسبة لارتفاع الأمواج العاصفة ، بوحدة ارتفاع الموجة، وبالمثل بالنسبة للأحداث الأخرى. هذه هي صيغة ويبول. ^{[ 4 ] : ​​12 [ 5 ]}

الفترة النظرية بين الظواهر هي مقلوب متوسط ​​تكرار حدوثها. على سبيل المثال، يبلغ احتمال تجاوز فيضان يحدث مرة كل عشر سنوات 10% (1/10 = 0.1)، بينما يبلغ احتمال تجاوز فيضان يحدث مرة كل خمسين سنة 2% (0.02).

لا يعني هذا أن فيضانًا يحدث مرة كل مئة عام سيحدث بانتظام كل مئة عام، أو مرة واحدة فقط كل مئة عام. على الرغم من دلالات مصطلح "فترة التكرار"، ففي أي فترة مئة عام، قد يحدث حدثٌ ما مرةً واحدة، أو مرتين، أو أكثر، أو قد لا يحدث على الإطلاق، ولكل نتيجة احتمال يمكن حسابه كما يلي.

كذلك، فإن فترة العودة المقدرة أدناه هي إحصائية : تُحسب من مجموعة بيانات (المشاهدات)، وهي تختلف عن القيمة النظرية في توزيع مثالي. لا يمكن الجزم بحدوث قيمة معينة أو أكبر باحتمالية 1%، بل يُعرف فقط أنها رُصدت مرة واحدة بالضبط كل 100 عام.

هذا التمييز مهم لأنه توجد ملاحظات قليلة للأحداث النادرة: على سبيل المثال، إذا عادت الملاحظات إلى 400 عام، فقد يتم تصنيف الحدث الأكثر تطرفًا (حدث 400 عام وفقًا للتعريف الإحصائي) لاحقًا، عند الملاحظة لفترة أطول، على أنه حدث 200 عام (إذا حدث حدث مماثل على الفور) أو حدث 500 عام (إذا لم يحدث حدث مماثل لمدة 100 عام أخرى).

علاوة على ذلك، لا يمكن تحديد حجم حدثٍ يُتوقع حدوثه مرة كل ألف عام بالاعتماد على هذه السجلات وحدها، بل يجب استخدام نموذج إحصائي للتنبؤ بحجم هذا الحدث (غير المرصود). حتى لو كانت الفترة الزمنية التاريخية للتكرار أقل بكثير من ألف عام، فإذا سُجِّل عدد من الأحداث الأقل حدة ذات الطبيعة المماثلة، فمن المرجح أن يوفر استخدام هذا النموذج معلومات مفيدة للمساعدة في تقدير الفترة الزمنية المستقبلية للتكرار.

دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون هي

${\displaystyle P(r;t)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \over r!}e^{-t/T}}$

أين${\displaystyle r}$يمثل عدد مرات الحدوث التي يتم حساب الاحتمالية بناءً عليها،${\displaystyle t}$الفترة الزمنية محل الاهتمام،${\displaystyle T}$هي فترة الإرجاع و${\displaystyle \mu =1/T}$هو معدل العد.

يمكن الحصول على احتمال عدم الحدوث ببساطة من خلال النظر في حالة${\displaystyle r=0}$الصيغة هي

${\displaystyle P(r=0;t)=e^{-\mu t}=e^{-t/T}}$

وبالتالي، فإن احتمال التجاوز (أي احتمال وقوع حدث "أقوى" من الحدث ذي فترة العودة)${\displaystyle T}$(أن يحدث مرة واحدة على الأقل خلال الفترة الزمنية محل الاهتمام)

${\displaystyle P(t>0;t)=1-P(t=0;t)=1-e^{-\mu t}=1-e^{-t/T}}$

لاحظ أنه بالنسبة لأي حدث له فترة إرجاع${\displaystyle T}$، احتمال التجاوز خلال فترة زمنية تساوي فترة العودة (أي${\displaystyle t=T}$) مستقل عن فترة العودة وهو يساوي${\displaystyle 1-\exp(-1)\approx 63.2\%}$وهذا يعني، على سبيل المثال، أن هناك احتمالاً بنسبة 63.2% لحدوث فيضان أكبر من فيضان العودة الذي يحدث كل 50 عامًا خلال أي فترة 50 عامًا.

في فترة زمنية محددة من${\displaystyle n\times \tau }$لوحدة زمنية${\displaystyle \tau }$(مثال)${\displaystyle \tau =1{\text{year}}}$)، احتمال وقوع عدد معين r من الأحداث خلال فترة عودة${\displaystyle \mu }$يتم تحديدها بواسطة التوزيع ذي الحدين كما يلي.

${\displaystyle P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}.}$

لا يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان احتمال حدوث أكثر من مرة واحدة لكل وحدة زمنية${\displaystyle \tau }$يساوي صفرًا. غالبًا ما يكون هذا تقريبًا دقيقًا، وفي هذه الحالة تكون الاحتمالات التي تنتجها هذه الصيغة صحيحة تقريبًا.

لو${\displaystyle n\rightarrow \infty ,\mu \rightarrow 0}$بطريقة تجعل${\displaystyle n\mu \rightarrow \lambda }$ثم

${\displaystyle {\frac {n!}{(n-r)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}\rightarrow e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.}$

يأخذ

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{T}}={m \over n+1}}$

أين

T هي فترة العودة

يمثل n عدد السنوات المسجلة.

يمثل m عدد مرات حدوث الحدث قيد الدراسة

• فيضان يحدث مرة كل 100 عام
• تحليل التردد التراكمي
• تكرار التجاوز
• مدة الإقامة