محاكمة برنولي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، تُعرف تجربة برنولي (أو التجربة ذات الحدين ) بأنها تجربة عشوائية ذات نتيجتين محتملتين فقط ، وهما "النجاح" و"الفشل". وقد سُميت نسبةً إلى جاكوب برنولي ، عالم الرياضيات السويسري الذي عاش في القرن السابع عشر، والذي قام بتحليلها في كتابه " فن التخمين " (1713). ^{[ 1 ]}

يُعرف الصياغة الرياضية والصياغة المتقدمة لتجربة برنولي باسم عملية برنولي .

بما أن تجربة برنولي لا ينتج عنها سوى نتيجتين محتملتين، فيمكن صياغتها كسؤال إجابته "نعم" أو "لا". على سبيل المثال:

• هل الورقة العلوية من مجموعة أوراق اللعب بعد خلطها هي ورقة الآس؟
• هل كانت المولودة أنثى؟ (انظر نسبة الجنس عند البشر .)

في هذا السياق، يُستخدم النجاح والفشل كمصطلحين لوصف النتيجتين، ولا ينبغي تفسيرهما حرفيًا أو اعتبارهما أحكامًا قيمية. وبشكل أعم، في أي فضاء احتمالي ، ولأي حدث (مجموعة من النتائج)، يمكن تعريف تجربة برنولي بناءً على وقوع الحدث من عدمه (الحدث أو الحدث المكمل له ). ومن أمثلة تجارب برنولي:

• رمي قطعة نقدية . في هذا السياق، يدل الوجه ("الصورة") عادةً على النجاح، بينما يدل الظهر ("الكتابة") على الفشل. قطعة نقدية متوازنة ، احتمال النجاح فيها 0.5 بحسب التعريف. في هذه الحالة، يوجد نتيجتان محتملتان فقط.
• عند رمي النرد، حيث يمثل الرقم ستة "نجاحاً" وكل ما عداه "فشلاً"، توجد ست نتائج محتملة، والنتيجة هي الرقم ستة؛ أما النتيجة المقابلة "ليس ستة" فتمثل النتائج الخمس الأخرى المحتملة.
• في إجراء استطلاع للرأي السياسي ، يتم اختيار ناخب عشوائياً للتأكد مما إذا كان هذا الناخب سيصوت بـ "نعم" في استفتاء قادم.

لنفترض وجود تجربة تتكون من محاولات متكررة بشكل مستقل، لكل منها نتيجتان محتملتان فقط؛ تُسمى هذه التجارب بتجارب برنولي التجريبية.${\displaystyle n}$سيتم تحديد النتائج التجريبية للنجاح (1) والفشل (0) بواسطة متغير عشوائي برنولي:${\displaystyle bX_{r}|==>{x:bX_{r}==f(bX_{r}=x)::[x=1,x=0;;(p,p-1)]}}$ |${\displaystyle p=total_{1}/n}$ يترك${\displaystyle p}$لتكن احتمالية النجاح في تجربة برنولي، و${\displaystyle q}$لنفترض أن احتمال الفشل هو . عندئذٍ ، يكون مجموع احتمال النجاح واحتمال الفشل مساويًا للواحد، لأنهما حدثان متكاملان: "النجاح" و"الفشل" متنافيان وشاملان . وبالتالي، تكون لدينا العلاقات التالية:

${\displaystyle p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.}$

أو يمكن التعبير عن ذلك من حيث الاحتمالات : احتمال معين${\displaystyle p}$النجاح و${\displaystyle q}$في حالة الفشل، فإن احتمالات${\displaystyle p:q}$والاحتمالات ضدهم هي${\displaystyle q:p.}$ويمكن التعبير عن هذه الاحتمالات أيضاً بالأرقام، عن طريق القسمة، مما ينتج عنه احتمالات حدوث،${\displaystyle o_{f}}$والظروف غير المواتية،${\displaystyle o_{a}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q).\end{aligned}}}$

هذه معكوسات ضربية ، لذا فإن حاصل ضربها يساوي 1، وفقًا للعلاقات التالية:

${\displaystyle o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}\cdot o_{a}=1.}$

في حالة كون تجربة برنولي تمثل حدثًا من بين عدد محدود من النتائج المحتملة بالتساوي ، حيث${\displaystyle S}$من النتائج النجاح و${\displaystyle F}$إذا كانت النتائج هي الفشل، فإن احتمالات النجاح هي${\displaystyle S:F}$والاحتمالات ضدهم هي${\displaystyle F:S.}$ينتج عن ذلك الصيغ التالية للاحتمالات والنسب:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S.\end{aligned}}}$

هنا يتم حساب الاحتمالات عن طريق قسمة عدد النتائج، وليس الاحتمالات، ولكن النسبة هي نفسها، لأن هذه النسب تختلف فقط عن طريق ضرب كلا الحدين بنفس العامل الثابت.

غالبًا ما يتم ترميز المتغيرات العشوائية التي تصف تجارب برنولي باستخدام الاصطلاح الذي ينص على أن 1 = "نجاح"، 0 = "فشل".

ترتبط تجربة ذات الحدين ارتباطًا وثيقًا بتجربة برنولي، والتي تتكون من عدد ثابت${\displaystyle n}$من تجارب برنولي المستقلة إحصائياً ، لكل منها احتمال نجاح${\displaystyle p}$ويحسب عدد حالات النجاح. ويُرمز للمتغير العشوائي المقابل لتجربة ذات الحدين بـ${\displaystyle B(n,p)}$ويُقال إن له توزيعًا ثنائي الحدين . احتمال حدوثه بالضبط${\displaystyle k}$نجاحات في التجربة${\displaystyle B(n,p)}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle P(k)={n \choose k}p^{k}q^{nk}}$

أين${\displaystyle {n \choose k}}$هو معامل ذو حدين .

قد تؤدي تجارب برنولي أيضًا إلى توزيعات ذات الحدين السالبة (التي تحسب عدد النجاحات في سلسلة من تجارب برنولي المتكررة حتى يتم رؤية عدد محدد من حالات الفشل)، بالإضافة إلى توزيعات أخرى متنوعة.

عندما يتم إجراء تجارب برنولي متعددة، لكل منها احتمال نجاحها الخاص، يشار إليها أحيانًا باسم تجارب بواسون . ^{[ 2 ]}

• مخطط برنولي
• أخذ عينات برنولي
• توزيع برنولي
• التوزيع ذو الحدين
• معامل ذي الحدين
• فاصل الثقة لنسبة ذات الحدين
• أخذ عينات بواسون
• تصميم أخذ العينات
• رمي العملة
• جاكوب برنولي
• اختبار فيشر الدقيق
• اختبار بوشلو

• "تجارب برنولي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "محاكاة عدد n من تجارب برنولي" . math.uah.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 مارس 2025 .