تحليل التردد التراكمي

تحليل التردد ^{[ 2 ]} هو تحليل عدد مرات حدوث ظاهرة معينة أو مدى تكرارها في نطاق معين.

ينطبق تحليل التردد على سجل بطول N من البيانات المرصودة X ₁ ، X ₂ ، X ₃ . . . X _N حول ظاهرة متغيرة X. قد يكون السجل معتمدًا على الوقت (مثل هطول الأمطار المقاس في مكان واحد) أو معتمدًا على المكان (مثل غلة المحاصيل في منطقة ما) أو غير ذلك.

التردد التراكمي M _Xr لقيمة مرجعية Xr هو التردد الذي تكون فيه القيم المرصودة X أقل من أو تساوي Xr .

يمكن حساب التردد التراكمي النسبي Fc من خلال:

حيث N هو عدد البيانات

باختصار، يمكن الإشارة إلى هذا التعبير على النحو التالي:

عندما تكون Xr = X _min ، حيث X _min هي القيمة الدنيا الوحيدة المُلاحظة، نجد أن Fc = 1/ N ، لأن M = 1. من جهة أخرى، عندما تكون Xr = X _max ، حيث X _max هي القيمة القصوى الوحيدة المُلاحظة، نجد أن Fc = 1 ، لأن M = N. بالتالي، عندما تكون Fc = 1، فهذا يعني أن Xr هي القيمة التي تكون عندها جميع البيانات أقل من أو تساوي Xr .

تُكتب المعادلة كنسبة مئوية كما يلي:

لعرض التوزيع التكراري التراكمي كمعادلة رياضية متصلة بدلاً من مجموعة بيانات منفصلة، ​​يمكن محاولة مطابقة هذا التوزيع مع توزيع احتمالي تراكمي معروف. ^{[ 2 ] [ 3 ]} في حال نجاح هذه المحاولة، تكفي المعادلة المعروفة لعرض التوزيع التكراري، ولن تكون هناك حاجة إلى جدول بيانات. كما تُسهّل هذه المعادلة عمليات الاستيفاء والاستقراء. مع ذلك، ينبغي توخي الحذر عند استقراء التوزيع التكراري التراكمي، لأنه قد يكون مصدرًا للأخطاء. أحد هذه الأخطاء المحتملة هو أن التوزيع التكراري لا يتبع التوزيع الاحتمالي المُختار خارج نطاق البيانات المرصودة.

أي معادلة تعطي القيمة 1 عند تكاملها من حد أدنى إلى حد أعلى يتوافق جيدًا مع نطاق البيانات، يمكن استخدامها كتوزيع احتمالي للمطابقة. يمكن الاطلاع على عينة من التوزيعات الاحتمالية التي يمكن استخدامها في قسم التوزيعات الاحتمالية .

يمكن ملاءمة التوزيعات الاحتمالية بعدة طرق، ^{[ 2 ]} على سبيل المثال:

• الطريقة البارامترية، وتحديد المعلمات مثل المتوسط ​​والانحراف المعياري من بيانات X باستخدام طريقة العزوم ، وطريقة الاحتمال الأقصى، وطريقة العزوم المرجحة بالاحتمال .
• طريقة الانحدار، وتخطيط توزيع الاحتمالية من خلال التحويل وتحديد المعلمات من الانحدار الخطي لـ Pc المحول (الذي تم الحصول عليه من الترتيب) على بيانات X المحولة .

تطبيق كلا النوعين من الأساليب باستخدام على سبيل المثال

• التوزيع الطبيعي ، والتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، والتوزيع اللوجستي ، والتوزيع اللوغاريتمي اللوجستي ، والتوزيع الأسي ، وتوزيع فريشيه ، وتوزيع غامبل ، وتوزيع باريتو ، وتوزيع ويبول، وغيرها

غالباً ما يُظهر ذلك أن عدداً من التوزيعات يُناسب البيانات جيداً ولا يُؤدي إلى نتائج مختلفة بشكلٍ ملحوظ، في حين أن الاختلافات بينها قد تكون ضئيلة مقارنةً بعرض فاصل الثقة. ^{[ 2 ]} يُوضح هذا أنه قد يكون من الصعب تحديد التوزيع الذي يُعطي نتائج أفضل. على سبيل المثال، يُمكن مُلاءمة مجموعات البيانات ذات التوزيع الطبيعي التقريبي مع عدد كبير من توزيعات الاحتمال المختلفة. ^{[ 4 ]} بينما يُمكن مُلاءمة التوزيعات الملتوية سلباً مع التوزيع الطبيعي المربع وتوزيعات غامبل المعكوسة. ^{[ 5 ]}

في بعض الأحيان يكون من الممكن ملاءمة نوع واحد من توزيع الاحتمالات للجزء السفلي من نطاق البيانات ونوع آخر للجزء العلوي، مفصولين بنقطة فاصلة، مما يؤدي إلى تحسين الملاءمة الإجمالية.

يوضح الشكل مثالاً مفيداً لتوزيع غير متصل لبيانات هطول الأمطار في شمال بيرو، حيث يتأثر المناخ بظاهرة النينيو في المحيط الهادئ . عندما تمتد ظاهرة النينيو جنوب الإكوادور وتدخل المحيط على طول ساحل بيرو، يصبح مناخ شمال بيرو استوائياً ورطباً. أما عندما لا تصل ظاهرة النينيو إلى بيرو، فيكون المناخ شبه جاف. ولهذا السبب، يختلف توزيع تكرار هطول الأمطار الغزيرة عن توزيع تكرار هطول الأمطار المنخفضة.

عند استخلاص توزيع التكرار التراكمي من سجل بيانات، يُثار التساؤل حول إمكانية استخدامه للتنبؤات. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، إذا توفر توزيع لتصريفات الأنهار للأعوام 1950-2000، فهل يمكن استخدام هذا التوزيع للتنبؤ بعدد مرات تجاوز تصريف نهر معين خلال الأعوام 2000-2050؟ الإجابة هي نعم، شريطة ثبات الظروف البيئية. أما إذا تغيرت هذه الظروف، كتغيرات في بنية مستجمعات المياه أو في نمط هطول الأمطار نتيجة للتغيرات المناخية، فإن التنبؤ القائم على السجل التاريخي يصبح عرضة لخطأ منهجي . حتى في حال عدم وجود خطأ منهجي، قد يكون هناك خطأ عشوائي ، إذ قد تكون التصريفات المرصودة خلال الفترة 1950-2000 أعلى أو أقل من المعدل الطبيعي، بينما قد تكون التصريفات من عام 2000 إلى عام 2050 أعلى أو أعلى من المعدل الطبيعي. وقد تناول كتاب " البجعة السوداء" هذه المسائل بالتفصيل .

يمكن لنظرية الاحتمالات أن تساعد في تقدير نطاق الخطأ العشوائي. في حالة التكرار التراكمي، لا يوجد سوى احتمالين : إما تجاوز قيمة مرجعية معينة (س) أو عدم تجاوزها. مجموع تكرار التجاوز والتكرار التراكمي يساوي 1 أو 100%. لذلك، يمكن استخدام التوزيع ذي الحدين في تقدير نطاق الخطأ العشوائي.

وفقًا للنظرية الطبيعية، يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين، وبالنسبة لقيم N الكبيرة ، يمكن حساب الانحراف المعياري Sd على النحو التالي:

حيث Pc هي الاحتمالية التراكمية و N هو عدد البيانات . ويُلاحظ أن الانحراف المعياري Sd يقل مع ازدياد عدد المشاهدات N.

يتم تحديد فاصل الثقة لـ Pc باستخدام اختبار t للطالب ( t ). تعتمد قيمة t على عدد البيانات ومستوى الثقة لتقدير فاصل الثقة. بعد ذلك، يتم إيجاد حدي الثقة الأدنى ( L ) والأعلى ( U ) لـ Pc في التوزيع المتماثل من خلال:

يُعرف هذا باسم فاصل والد . ^{[ 7 ]} ومع ذلك، فإن التوزيع ذو الحدين يكون متماثلًا حول المتوسط ​​فقط عندما تكون قيمة Pc تساوي 0.5 ، ولكنه يصبح غير متماثل وأكثر انحرافًا كلما اقتربت قيمة Pc من 0 أو 1. لذلك، بالتقريب، يمكن استخدام Pc و 1− Pc كعوامل ترجيح في تعيين t.Sd إلى L و U  :

حيث يمكن ملاحظة أن هذه التعبيرات لـ Pc = 0.5 هي نفسها التعبيرات السابقة.

يمكن تسمية الاحتمال التراكمي Pc باحتمال عدم التجاوز . أما احتمال التجاوز Pe (ويسمى أيضاً دالة البقاء ) فيُحسب من:

فترة العودة T محددة على النحو التالي:

ويشير إلى العدد المتوقع للملاحظات التي يجب إجراؤها مرة أخرى لإيجاد قيمة للمتغير قيد الدراسة أكبر من القيمة المستخدمة لـ T. ويمكن إيجاد حدود الثقة العليا ( TU ₎ والدنيا ( TL ₎ لفترات العودة على النحو التالي:

بالنسبة للقيم المتطرفة للمتغير قيد الدراسة، تكون قيمة U قريبة من 1، وتؤدي التغيرات الطفيفة في U إلى تغيرات كبيرة في T _U. وبالتالي، فإن فترة العودة المقدرة للقيم المتطرفة عرضة لخطأ عشوائي كبير. علاوة على ذلك، فإن فترات الثقة التي تم التوصل إليها تنطبق على التنبؤات طويلة الأجل. أما بالنسبة للتنبؤات قصيرة الأجل، فقد تكون فترات الثقة U − L و T _U − T _L أوسع. وهذا، بالإضافة إلى مستوى اليقين المحدود (أقل من 100%) المستخدم في اختبار t ، يفسر سبب حدوث هطول أمطار يُصنف ضمن أمطار المئة عام مرتين خلال عشر سنوات، على سبيل المثال.

لا يكون لمفهوم فترة العودة معنى دقيق إلا عند التعامل مع ظاهرة تعتمد على الزمن، مثل هطول الأمطار في منطقة محددة. فحينها، تُشير فترة العودة إلى الوقت المتوقع حتى حدوث التجاوز مرة أخرى. وتتطابق فترة العودة مع بُعد الزمن الذي تُمثله كل ملاحظة. فعلى سبيل المثال، عند رصد هطول الأمطار اليومي، تُقاس فترة العودة بالأيام، أما عند رصد هطول الأمطار السنوي، فتُقاس بالسنوات.

يوضح الشكل التباين الذي قد يحدث عند الحصول على عينات من متغير يتبع توزيعًا احتماليًا معينًا. وقد تم توفير البيانات من قبل بنسون. ^{[ 1 ]}

يعطي نطاق الثقة المحيط بمنحنى التردد التراكمي التجريبي أو منحنى فترة العودة انطباعًا عن المنطقة التي يمكن العثور فيها على التوزيع الحقيقي.

كما أنه يوضح أن توزيع الاحتمالات الأنسب الذي تم التوصل إليه تجريبياً قد ينحرف عن التوزيع الحقيقي.