معادلة ريمان التفاضلية

في الرياضيات ، تُعدّ معادلة ريمان التفاضلية ، التي سُمّيت نسبةً إلى برنارد ريمان ، تعميمًا للمعادلة التفاضلية فوق الهندسية ، مما يسمح بظهور النقاط الشاذة المنتظمة في أي مكان على كرة ريمان ، بدلاً من ظهورها فقط عند 0 و1 و.${\displaystyle \infty }$تُعرف هذه المعادلة أيضاً باسم معادلة بابريتز . ^{[ 1 ]}

المعادلة التفاضلية فوق الهندسية هي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية لها ثلاث نقاط شاذة منتظمة، وهي 0 و1 و${\displaystyle \infty }$تقبل هذه المعادلة حلين مستقلين خطيًا؛ بالقرب من نقطة تفرد.${\displaystyle z_{s}}$تتخذ الحلول الشكل التالي${\displaystyle x^{s}f(x)}$، أين${\displaystyle x=z-z_{s}}$متغير محلي، و${\displaystyle f}$هو هولومورفي محليًا مع${\displaystyle f(0)\neq 0}$العدد الحقيقي${\displaystyle s}$يُطلق عليه اسم أس الحل عند${\displaystyle z_{s}}$لنفترض أن α و β و γ هي أسس أحد الحلول عند 0 و 1 و${\displaystyle \infty }$على التوالي؛ ولتكن α ′ و β ′ و γ ′ هي قيم الأخرى. عندئذٍ

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

من خلال تطبيق تغييرات مناسبة للمتغير، من الممكن تحويل المعادلة الهندسية الفائقة: سيؤدي تطبيق تحويلات موبيوس إلى ضبط مواضع النقاط الشاذة المنتظمة، بينما يمكن للتحويلات الأخرى (انظر أدناه) تغيير الأسس عند النقاط الشاذة المنتظمة، بشرط أن يكون مجموع الأسس مساوياً لـ 1.

المعادلة التفاضلية معطاة بـ

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{za}}+{\frac {1-\beta -\beta '}{zb}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{zc}}\right]{\frac {dw}{dz}}}$

$$$

النقاط الشاذة المنتظمة هي a و b و c . أسس الحلول عند هذه النقاط الشاذة المنتظمة هي، على التوالي، α و α ′ و β و β ′ و γ و γ ′ . وكما في السابق، تخضع الأسس للشرط التالي:

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

يتم تمثيل الحلول بواسطة رمز ريمان P (المعروف أيضًا باسم رمز بابريتز )

${\displaystyle w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

يمكن التعبير عن الدالة الهندسية الفائقة القياسية على النحو التالي:

${\displaystyle \;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-ab&\;\end{matrix}}\right\}}$

تخضع الدوال P لعدد من المتطابقات؛ إحداها تسمح بالتعبير عن دالة P عامة بدلالة الدالة فوق الهندسية. وهي

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}}$

بمعنى آخر، يمكن كتابة الحلول بدلالة الدالة فوق الهندسية على النحو التالي:

${\displaystyle w(z)=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\right)}$

يمكن الحصول على المجموعة الكاملة من حلول كومر الـ 24 بهذه الطريقة؛ انظر مقالة المعادلة التفاضلية الهندسية الفائقة لمعالجة حلول كومر.

تتمتع دالة P بتناظر بسيط تحت تأثير التحويلات الخطية الكسرية المعروفة بتحويلات موبيوس (وهي إعادة تعيينات توافقية لمجال ريمان)، أو بشكل مكافئ، تحت تأثير المجموعة GL (2, C ) . بفرض أعداد عقدية اختيارية A و B و C و D بحيث يكون AD − BC ≠ 0 ، عرّف الكميات التالية:

${\displaystyle u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ و }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}}$

و

$\displaystyle \zeta = \frac {Ab + B}{Cb + D} \quad \text{ و \theta = \frac {Ac + B}{Cc + D}}}$

عندها تكون العلاقة بسيطة

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

التعبير عن التناظر.

إذا كان تحويل موبيوس أعلاه ينقل النقاط الشاذة ولكنه لا يغير الأسس، فإن التحويل التالي لا ينقل النقاط الشاذة ولكنه يغير الأسس: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{k}\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{l}P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha +k&\beta -k-l&\gamma +l&z\\\alpha '+k&\beta '-k-l&\gamma '+l&\;\end{matrix}}\right\}}$

• طريقة فروبينيوس
• المونودرومية

• ميلتون أبراموفيتز وإيرين أ. ستيجون، محرران، كتيب الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية (دوفر: نيويورك، 1972)
  • الفصل الخامس عشر: الدوال الهندسية الفائقة
    • القسم 15.6: معادلة ريمان التفاضلية