خريطة مطابقة

A map of the Riemann sphereonto itself is conformal if and only if it is a Möbius transformation.

The complex conjugate of a Möbius transformation preserves angles, but reverses the orientation. For example, circle inversions.

In plane geometry there are three types of angles that may be preserved in a conformal map.^[3] Each is hosted by its own real algebra, ordinary complex numbers, split-complex numbers, and dual numbers. The conformal maps are described by linear fractional transformations in each case.^[4]

In Riemannian geometry, two Riemannian metrics${\displaystyle g}$ and ${\displaystyle h}$ on a smooth manifold ${\displaystyle M}$ are called conformally equivalent if ${\displaystyle g=uh}$ for some positive function ${\displaystyle u}$ on ${\displaystyle M}$. The function ${\displaystyle {\sqrt {u}}}$ is called the conformal factor.

A diffeomorphism between two Riemannian manifolds is called a conformal map if the pulled back metric is conformally equivalent to the original one. For example, stereographic projection of a sphere onto the plane augmented with a point at infinity is a conformal map.

One can also define a conformal structure on a smooth manifold, as a class of conformally equivalent Riemannian metrics.

تُبيّن نظرية كلاسيكية لجوزيف ليوفيل أن عدد التحويلات المطابقة في الأبعاد الأعلى أقل بكثير منه في بُعدين. يمكن تكوين أي تحويل مطابق من مجموعة جزئية مفتوحة من الفضاء الإقليدي إلى نفس الفضاء الإقليدي ذي البُعد الثالث أو أكبر من ثلاثة أنواع من التحويلات: تحويل التماثل ، وتحويل التساوي ، وتحويل مطابق خاص . بالنسبة للتحويلات الخطية ، قد يتكون التحويل المطابق من تحويل التماثل وتحويل التساوي فقط ، ويُسمى حينها تحويلًا مطابقًا خطيًا .

في علم الخرائط ، تُعتبر العديد من إسقاطات الخرائط المعروفة ، بما في ذلك إسقاط مركاتور والإسقاط المجسم، متطابقة. ويُسهم الحفاظ على اتجاهات البوصلة في جعلها مفيدة في الملاحة البحرية.

تُعدّ التحويلات المطابقة ذات قيمة بالغة لحلّ المسائل في الهندسة والفيزياء التي يمكن التعبير عنها بدلالة دوال لمتغير مركب، ولكنها تُظهر أشكالًا هندسية غير ملائمة. باختيار التحويل المناسب، يستطيع المحلل تحويل الشكل الهندسي غير الملائم إلى شكل أكثر ملاءمة. على سبيل المثال، قد يرغب المرء في حساب المجال الكهربائي،${\displaystyle E(z)}$، ناشئة عن شحنة نقطية تقع بالقرب من زاوية مستويين موصلين يفصل بينهما زاوية معينة (حيث${\displaystyle z}$(هي الإحداثية المركبة لنقطة في الفضاء ثنائي الأبعاد). هذه المسألة بحد ذاتها معقدة للغاية لحلها بصيغة مغلقة. مع ذلك، باستخدام تحويل توافقي بسيط للغاية، يتم تحويل الزاوية غير الملائمة إلى إحدى الزوايا المحددة بدقة.${\displaystyle \pi }$بالراديان، أي أن زاوية مستويين تتحول إلى خط مستقيم. في هذا النطاق الجديد، تصبح المسألة (حساب المجال الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية تقع بالقرب من جدار موصل) سهلة الحل. ويتم الحصول على الحل في هذا النطاق.${\displaystyle E(w)}$ثم أعيد ربطها بالمجال الأصلي من خلال ملاحظة أن${\displaystyle w}$تم الحصول عليها كدالة ( أي تركيب${\displaystyle E}$و${\displaystyle w}$) ل${\displaystyle z}$ومن ثم${\displaystyle E(w)}$يمكن النظر إليها على أنها${\displaystyle E(w(z))}$، وهو دالة لـ${\displaystyle z}$، الأساس الإحداثي الأصلي. تجدر الإشارة إلى أن هذا التطبيق لا يتعارض مع حقيقة أن التحويلات المطابقة تحافظ على الزوايا، فهي تفعل ذلك فقط للنقاط داخل نطاقها، وليس على حدوده. مثال آخر هو تطبيق تقنية التحويل المطابق لحل مسألة القيمة الحدية لتذبذب السوائل في الخزانات. ^{[ 19 ]}

إذا كانت الدالة توافقية (أي أنها تحقق معادلة لابلاس)${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$عند تطبيق دالة على مجال مستوٍ (ثنائي الأبعاد)، ثم تحويلها عبر تحويل توافقي إلى مجال مستوٍ آخر، يكون التحويل توافقيًا أيضًا. لهذا السبب، يمكن تحويل أي دالة معرفة بواسطة جهد باستخدام تحويل توافقي مع بقائها خاضعة للجهد. من أمثلة المعادلات المعرفة بواسطة جهد في الفيزياء : المجال الكهرومغناطيسي ، ومجال الجاذبية ، وفي ديناميكا الموائع ، التدفق الكامن ، وهو تقريب لتدفق الموائع بافتراض كثافة ثابتة ، ولزوجة معدومة ، وتدفق غير دوراني . أحد الأمثلة على تطبيقات التحويل التوافقي في ديناميكا الموائع هو تحويل جوكوفسكي، الذي يُستخدم لدراسة مجال التدفق حول جناح جوكوفسكي.

تُعدّ التحويلات المطابقة ذات قيمة أيضًا في حلّ المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية في بعض الأشكال الهندسية المحددة. توفر هذه الحلول التحليلية وسيلة مفيدة للتحقق من دقة المحاكاة العددية للمعادلة الحاكمة. على سبيل المثال، في حالة التدفق الحرّ شديد اللزوجة حول جدار شبه لانهائي، يمكن تحويل المجال إلى نصف مستوى يكون فيه الحل أحادي البعد ويسهل حسابه. ^{[ 20 ]}

بالنسبة للأنظمة المنفصلة، ​​قدم نوري ويانغ طريقة لتحويل مسار جذور الأنظمة المنفصلة إلى مسار جذور متصل من خلال عملية تحويل مطابقة معروفة في الهندسة (المعروفة أيضًا باسم تحويل الانعكاس ). ^{[ 21 ]}

تُحفظ معادلات ماكسويل بواسطة تحويلات لورنتز التي تُشكّل مجموعةً تشمل الدوران الدائري والزائدي . يُطلق على الأخير أحيانًا اسم تعزيزات لورنتز لتمييزه عن الدوران الدائري. جميع هذه التحويلات مُطابقة، حيث يحافظ الدوران الزائدي على الزاوية الزائدة (وتُسمى السرعة )، بينما تحافظ الدورانات الأخرى على الزاوية الدائرية . كما أن إدخال الإزاحات في مجموعة بوانكاريه يحافظ على الزوايا أيضًا.

حدد إبينزر كانينغهام (1908) وهاري بيتمان (1910) مجموعة أكبر من الخرائط المطابقة لربط حلول معادلات ماكسويل. وقد أكسبهما تدريبهما في جامعة كامبريدج إتقانًا لطريقة الشحنات الوهمية والطرق المرتبطة بها للصور الكروية والانعكاس. كما ذكر أندرو وارويك (2003) في كتابه " أساتذة النظرية" : ^{[ 22 ]}

يمكن عكس كل حل رباعي الأبعاد في كرة فائقة رباعية الأبعاد ذات نصف قطر زائف${\displaystyle K}$بهدف التوصل إلى حل جديد.

يسلط وارويك الضوء على "نظرية النسبية الجديدة" هذه باعتبارها رد كامبريدج على أينشتاين، وعلى أنها مبنية على تمارين تستخدم طريقة الانعكاس، كما هو موجود في كتاب جيمس هوبوود جينز المدرسي النظرية الرياضية للكهرباء والمغناطيسية .

في النسبية العامة ، تُعدّ التحويلات المطابقة أبسط أنواع التحويلات السببية وأكثرها شيوعًا. فيزيائيًا، تصف هذه التحويلات أكوانًا مختلفة تظل فيها جميع الأحداث والتفاعلات نفسها ممكنة (سببيًا)، ولكن يلزم وجود قوة إضافية جديدة للتأثير على ذلك (أي أن تكرار جميع المسارات نفسها يستلزم انحرافات عن الحركة الجيوديسية لأن موتر القياس مختلف). غالبًا ما تُستخدم هذه التحويلات لمحاولة جعل النماذج قابلة للتوسع إلى ما بعد نقاط التفرد في الانحناء ، على سبيل المثال للسماح بوصف الكون حتى قبل الانفجار العظيم .