رقم ذاتي

في نظرية الأعداد ، العدد الذاتي في نظام عددي معين${\displaystyle b}$هو عدد طبيعي لا يمكن كتابته كمجموع أي عدد طبيعي آخر${\displaystyle n}$والأرقام الفردية لـ${\displaystyle n}$العدد 20 هو عدد ذاتي (في النظام العشري)، لأنه لا يمكن إيجاد مثل هذا التركيب (جميعها).${\displaystyle n<15}$أعطِ نتيجة أقل من 20؛ جميع النتائج الأخرى${\displaystyle n}$تعطي نتيجة أكبر من 20). العدد 21 ليس كذلك، لأنه يمكن كتابته على الصورة 15 + 1 + 5 باستخدام n = 15. وقد وصف هذه الأعداد لأول مرة في عام 1959 عالم الرياضيات الهندي د. ر. كابريكار . ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle n}$ليكن عددًا طبيعيًا. نُعرّف${\displaystyle b}$- وظيفة ذاتية${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$للقاعدة${\displaystyle b>1}$أن تكون على النحو التالي:

${\displaystyle F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.}$

أين${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$عدد الأرقام في العدد بالأساس${\displaystyle b}$، و

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

هي قيمة كل رقم من أرقام العدد. عدد طبيعي${\displaystyle n}$هو${\displaystyle b}$- رقم ذاتي إذا كانت الصورة الأصلية لـ${\displaystyle n}$ل${\displaystyle F_{b}}$هي المجموعة الفارغة .

بشكل عام، في الأنظمة العددية الزوجية، تُعتبر جميع الأعداد الفردية التي تقل عن العدد الأساسي أعدادًا ذاتية، لأن أي عدد يقل عن هذا العدد الفردي يجب أن يكون أيضًا عددًا مكونًا من رقم واحد، وعند جمعه مع رقمه ينتج عنه عدد زوجي. أما في الأنظمة العددية الفردية، فتُعتبر جميع الأعداد الفردية أعدادًا ذاتية. ^{[ 2 ]}

مجموعة الأعداد الذاتية في أساس معين${\displaystyle b}$دالة لانهائية ولها كثافة تقارب موجبة : عندما${\displaystyle b}$إذا كان العدد فرديًا، فإن هذه الكثافة تساوي 1/2. ^{[ 3 ]}

للاطلاع على الأعداد الذاتية ذات الأساس 2 ، انظر (التسلسل A010061 في OEIS ) . (مكتوب بالأساس 10)

الأعداد الذاتية القليلة الأولى في النظام العشري هي:

1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 20 ، 31 ، 42 ، 53 ، 64 ، 75 ، 86 ، 97 ، 108 ، 110 ، 121 ، 132 ، 143 ، 154 ، 165 ، 176 ، 187 ، 198 ، 209 ، 211 ، 222 ، 233 ، 244 ، 255 ، 266 ، 277 ، 288، 299، 310، 312، 323، 334، 345، 356، 367، 378، 389، 400 ، 411، 413، 424 435، 446، 457، 468، 479، 490، ... (التسلسل A003052 في OEIS )

العدد الأولي الذاتي هو عدد أولي ذاتي .

الأعداد الأولية الذاتية القليلة الأولى في النظام العشري هي

3، 5، 7، 31، 53، 97، 211، 233، 277، 367، 389، 457، 479، 547، 569، 613، 659، 727، 839، 883، 929، 1021، 1087، 1109، 1223، 1289، 1447، 1559، 1627، 1693، 1783، 1873، ... (التسلسل A006378 في OEIS )

• كابريكار، د.ر. رياضيات الأعداد الذاتية الجديدة ديفايالي (1963): 19 - 20.
• آر بي باتيل (1991). "بعض الاختبارات للأعداد الذاتية من الرتبة k ". مجلة الطالب الرياضي . 56 : 206-210 .
• ب. ريكامان (1974). "المسألة E2408". المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية . 81 (4): 407. doi : 10.2307/2319017 . JSTOR 2319017 . 
• ساندور، جوزيف؛ كرستيسي، بوريسلاف (2004). دليل نظرية الأعداد II . دوردريخت: كلوير أكاديمي. ص 32 – 36. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 . 
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الرقم الذاتي" . عالم الرياضيات .