الفاصل (الرياضيات)

لنفترض المعادلة التفاضلية التي تصف حركة البندول البسيط :

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$

أين${\displaystyle \ell }$يشير إلى طول البندول،${\displaystyle g}$التسارع الناتج عن الجاذبية و${\displaystyle \theta }$الزاوية بين البندول والعمودي لأسفل. في هذا النظام، توجد كمية محفوظة H ( الهاميلتوني )، والتي تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$

بناءً على هذا التعريف، يمكن رسم منحنى ثابت H في فضاء الطور للنظام. فضاء الطور هو رسم بياني مع${\displaystyle \theta }$على طول المحور الأفقي و${\displaystyle {\dot {\theta }}}$على المحور الرأسي - انظر الصورة المصغرة إلى اليمين. يعتمد نوع المنحنى الناتج على قيمة H.

لو${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$إذن لا يوجد منحنى (لأن${\displaystyle {\dot {\theta }}}$سيكون ذلك خيالياً ).

لو${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$عندئذٍ، سيكون المنحنى بسيطًا ومغلقًا، وشبه دائري عندما تكون قيمة H صغيرة، ويصبح على شكل عين عندما تقترب H من الحد الأعلى. تتوافق هذه المنحنيات مع حركة البندول الدورية من جانب إلى آخر.

لو${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H}$عندئذٍ يكون المنحنى مفتوحًا، وهذا يتوافق مع تأرجح البندول باستمرار في دوائر كاملة. لاحظ أن${\displaystyle \theta =\pm 180}$درجة تتوافق مع وصول البندول إلى القمة، وبعد ذلك يغادر مخطط فضاء الطور من جانب واحد ويظهر مرة أخرى من الجانب الآخر.

في هذا النظام، يمثل الخط الفاصل المنحنى الذي يتوافق مع${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$يفصل هذا الخط الفاصل - ومن هنا جاءت التسمية - فضاء الطور إلى منطقتين متميزتين، لكل منهما نوع حركة مميز. تحتوي المنطقة داخل الخط الفاصل على جميع منحنيات فضاء الطور التي تتوافق مع تذبذب البندول ذهابًا وإيابًا، بينما تحتوي المنطقة خارج الخط الفاصل على جميع منحنيات فضاء الطور التي تتوافق مع دوران البندول باستمرار في دوائر مستوية رأسية.

في نموذج فيتز هيو-ناغومو ، عندما يخترق خط الانحدار الخطي خط الانحدار المكعب عند الفروع الأيسر والأوسط والأيمن مرة واحدة لكل منها، يكون للنظام سطح فاصل. تتقارب المسارات إلى يسار السطح الفاصل نحو نقطة التوازن المستقرة اليسرى، وكذلك الحال بالنسبة للمسارات إلى اليمين. السطح الفاصل نفسه هو السطح المستقر لنقطة السرج في المنتصف. التفاصيل موجودة في الصفحة.

يمكن رؤية الخط الفاصل بوضوح من خلال الحل العددي للمسارات عكسيًا في الزمن . فبينما تتباعد المسارات عن الخط الفاصل عند حلها للأمام في الزمن، تتقارب المسارات نحوه عند حلها عكسيًا في الزمن.