مشعب مستقر

في الرياضيات ، وتحديدًا في دراسة الأنظمة الديناميكية ، يُقدّم مفهوم المجموعات المستقرة وغير المستقرة، أو المتشعبات المستقرة وغير المستقرة، تعريفًا رياضيًا رسميًا للمفاهيم العامة المتضمنة في فكرة الجاذب أو النافر . وفي حالة الديناميكا الزائدية ، يكون المفهوم المقابل هو مفهوم المجموعة الزائدية .

تُقدّم قوى المد والجزر الجاذبية المؤثرة على حلقات زحل مثالًا فيزيائيًا سهل التصور. تعمل هذه القوى على تسطيح الحلقة لتصبح في مستوى خط الاستواء، حتى مع تمددها في الاتجاه القطري. إذا تخيلنا الحلقات كجزيئات رمل أو حصى ("غبار") تدور حول زحل، فإن قوى المد والجزر تجعل أي اضطراب يدفع الجزيئات فوق أو تحت مستوى خط الاستواء يُعرّضها لقوة مُعيدة تدفعها عائدةً إلى المستوى. تتذبذب الجزيئات فعليًا في بئر توافقي، مُخمّدة بالتصادمات. يكون الاتجاه المستقر عموديًا على الحلقة، بينما يكون الاتجاه غير المستقر على طول أي نصف قطر، حيث تعمل القوى على شد الجزيئات وسحبها بعيدًا عن بعضها. سيتعرض جزيئان يبدآن بالقرب من بعضهما في فضاء الطور لقوى قطرية تُسبب تباعدهما قطريًا. لهذه القوى أس ليابونوف موجب . تقع مسارات الجسيمات على سطح مشعب زائدي، وتكون حركتها فوضوية في جوهرها ، إذ تتجول عبر الحلقات. يكون السطح المركزي مماسًا للحلقات، فلا تتعرض الجسيمات فيه للانضغاط أو التمدد. يسمح هذا لقوى الجاذبية من الدرجة الثانية بالسيطرة، وبالتالي يمكن أن تجذب الأقمار أو الأقمار الصغيرة الموجودة في الحلقات الجسيمات، فتتزامن معها في الطور. توفر قوى جاذبية الأقمار فعليًا دفعة صغيرة متكررة بانتظام، في كل دورة حول المدار، تشبه دوارًا مُدفعًا ، كما هو الحال في حلقة التزامن الطوري .

يمكن تقريب حركة الجسيمات في الحلقة خلال الزمن المتقطع باستخدام خريطة بوانكاريه . توفر هذه الخريطة فعليًا مصفوفة النقل للنظام. المتجه الذاتي المرتبط بأكبر قيمة ذاتية للمصفوفة هو متجه فروبينيوس-بيرون الذاتي ، وهو أيضًا المقياس الثابت ، أي الكثافة الفعلية للجسيمات في الحلقة. جميع المتجهات الذاتية الأخرى لمصفوفة النقل لها قيم ذاتية أصغر، وتتوافق مع أنماط التضاؤل.

يُقدّم ما يلي تعريفًا لحالة النظام الذي يكون إما دالة متكررة أو له ديناميكيات زمنية منفصلة. وتنطبق مفاهيم مماثلة على الأنظمة التي يُعطى تطورها الزمني بواسطة تدفق .

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا ، و${\displaystyle f\colon X\to X}$تماثل شكلي . إذا${\displaystyle p}$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f}$، المجموعة المستقرة من${\displaystyle p}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}}$

والمجموعة غير المستقرة من${\displaystyle p}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}$

هنا،${\displaystyle f^{-1}}$يرمز إلى معكوس الدالة${\displaystyle f}$، أي ${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}}$، أين${\displaystyle id_{X}}$خريطة الهوية على${\displaystyle X}$.

لو${\displaystyle p}$هي نقطة دورية ذات أقصر فترة${\displaystyle k}$إذن فهي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f^{k}}$والمجموعات المستقرة وغير المستقرة من${\displaystyle p}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)}$

و

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).}$

بالنظر إلى حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle p}$، المجموعات المحلية المستقرة وغير المستقرة لـ${\displaystyle p}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle W_{\mathrm {loc}}^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ لكل }}n\geq 0\}}$

و

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).}$

لو${\displaystyle X}$إذا كانت قابلة للقياس ، فيمكننا تعريف المجموعات المستقرة وغير المستقرة لأي نقطة بواسطة

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \}}$

و

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

أين${\displaystyle d}$هو مقياس لـ${\displaystyle X}$يتطابق هذا التعريف بوضوح مع التعريف السابق عندما${\displaystyle p}$هي نقطة دورية.

لنفترض الآن أن${\displaystyle X}$هو مشعب صغير الحجم وسلس ، و${\displaystyle f}$هو${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$التمايز الشكلي ،${\displaystyle k\geq 1}$. لو${\displaystyle p}$إذا كانت نقطة دورية زائدية، فإن نظرية التشعب المستقر تضمن أنه بالنسبة لبعض الجوار${\displaystyle U}$ل${\displaystyle p}$، المجموعات المستقرة وغير المستقرة المحلية هي${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ الأقراص المدمجة، التي تقع مساحاتها المماسية عند${\displaystyle p}$نكون${\displaystyle E^{s}}$و${\displaystyle E^{u}}$(الفضاءات المستقرة وغير المستقرة لـ${\displaystyle Df(p)}$على التوالي؛ علاوة على ذلك، فإنها تتغير باستمرار (بمعنى معين) في نطاق من${\displaystyle f}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$طوبولوجيا${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$(مساحة الكل)${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$التحولات التباينية من${\displaystyle X}$(لنفسها). وأخيرًا، المجموعات المستقرة وغير المستقرة هي${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$الأقراص المغمورة حقنياً. ولهذا السبب تُسمى عادةً بالمتشعبات المستقرة وغير المستقرة . هذه النتيجة صالحة أيضاً للنقاط غير الدورية، طالما أنها تقع في مجموعة زائدية ما (نظرية المتشعب المستقر للمجموعات الزائدية).

لو${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي (محدود الأبعاد) و${\displaystyle f}$في حالة التماثل، تسمى مجموعاته المستقرة وغير المستقرة بالفضاء المستقر والفضاء غير المستقر، على التوالي.

• متعدد الشعب الثابت
• مشعب مركزي
• مجموعة الحدود
• مجموعة جوليا
• مشعب بطيء
• مشعب القصور الذاتي
• مشعب ثابت زائدي عادةً
• بنية لاغرانجية متماسكة

• أبراهام، رالف؛ مارسدن، جيرولد إي. (1978). أسس الميكانيكا . ريدينغ، ماساتشوستس: بنجامين/كومينغز. ISBN 0-8053-0102-X.
• إيروين، مايكل سي. (2001). "المشعبات المستقرة" . الأنظمة الديناميكية السلسة . وورلد ساينتيفيك. ص 143-160 . ISBN  981-02-4599-8.
• سريثاران، إس إس (1990). نظرية التشعبات الثابتة للانتقال الهيدروديناميكي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-582-06781-2.

تتضمن هذه المقالة مواد من Stable manifold على PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .