نظرية سينكهورن

تنص نظرية سينكهورن على أنه يمكن كتابة كل مصفوفة مربعة ذات مدخلات موجبة في شكل قياسي معين.

إذا كانت A مصفوفة من الرتبة _n × n ذات عناصر موجبة تمامًا، فإنه توجد مصفوفتان قطريتان D1 و D2 بعناصر قطرية موجبة تمامًا بحيث تكون D1 ₊ D2 مصفوفة احتمالية مزدوجة . وتكون المصفوفتان _D1 و D2 وحيدتين حتى ضرب ^{المصفوفة الأولى} بعدد موجب وقسمة الثانية على نفس العدد _. ^[ ₁ ^{] [ 2} _]

تتمثل إحدى الطرق التكرارية البسيطة لمعالجة المصفوفة العشوائية المزدوجة في إعادة قياس جميع صفوف وأعمدة المصفوفة A بالتناوب بحيث يكون مجموعها 1. وقد قدم سينكهورن ونوب هذه الخوارزمية وحللا تقاربها. ^{[ 3 ]} وهي في جوهرها مطابقة لخوارزمية التوفيق النسبي التكراري ، المعروفة جيدًا في إحصاءات المسح. وقد دُرِسَ تقارب خوارزمية سينكهورن-كنوب على نطاق واسع ^{[ 4 ]} . وعقب هذه الدراسات التأسيسية، اقتُرحت عدة تقنيات تسريع لتحسين أدائها، مثل طرق أرنولدي ^{[ 5 ]} .

ينطبق النظير التالي على المصفوفات الوحدوية أيضًا: لكل مصفوفة وحدوية U توجد مصفوفتان وحدويتان قطريتان L و R بحيث يكون مجموع كل من أعمدتها وصفوفها LUR يساوي 1. ^{[ 6 ]}

ينطبق الامتداد التالي على الخرائط بين المصفوفات أيضًا (انظر النظرية 5 ^{[ 7 ]} وأيضًا النظرية 4.7 ^{[ 8 ]} ): بالنظر إلى عامل كراوس الذي يمثل العملية الكمومية Φ التي تحول مصفوفة كثافة إلى أخرى،

${\displaystyle S\mapsto \Phi (S)=\sum _{i}B_{i}SB_{i}^{*},}$

وهذا يحافظ على الآثار،

${\displaystyle \sum _{i}B_{i}^{*}B_{i}=I,}$

بالإضافة إلى ذلك، وبما أن مداها يقع داخل المخروط الموجب المحدد (إيجابية صارمة)، توجد مقاييس x _j ، حيث j في {0,1}، وهي موجبة محددة بحيث يكون عامل كراوس المعاد قياسه

${\displaystyle S\mapsto x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Sx_{0}^{-1})x_{1}=\sum _{i}(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})S(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})^{*}}$

هي احتمالية مزدوجة. بعبارة أخرى، هي بحيث يكون كلاهما،

${\displaystyle x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Ix_{0}^{-1})x_{1}=I,}$

وكذلك بالنسبة للمرافق،

${\displaystyle x_{0}^{-1}\Phi ^{*}(x_{1}Ix_{1})x_{0}^{-1}=I,}$

حيث يشير I إلى عامل الهوية.

في العقد الثاني من الألفية الثانية، استُخدمت نظرية سينكهورن لإيجاد حلول لمسائل النقل الأمثل المُنتظمة بالإنتروبيا . ^{[ 9 ]} وقد حظي هذا باهتمام في مجال التعلّم الآلي ، إذ يُمكن استخدام "مسافات سينكهورن" هذه لتقييم الفرق بين توزيعات البيانات والتباديل. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} وهذا يُحسّن تدريب خوارزميات التعلّم الآلي، في الحالات التي قد لا يكون فيها التدريب باستخدام أقصى احتمال هو الأسلوب الأمثل.