المصفوفة العشوائية

في الرياضيات، المصفوفة العشوائية هي مصفوفة مربعة تُستخدم لوصف انتقالات سلسلة ماركوف . كل عنصر من عناصرها عدد حقيقي غير سالب يُمثل احتمالًا . ^{[ 1 ] [ 2 ] : 10} تُسمى أيضًا مصفوفة الاحتمال ، أو مصفوفة الانتقال ، أو مصفوفة الاستبدال ، أو مصفوفة ماركوف . طُوّرت المصفوفة العشوائية لأول مرة على يد أندريه ماركوف في بداية القرن العشرين، وقد وجدت استخدامًا واسعًا في مجالات علمية متنوعة، بما في ذلك نظرية الاحتمالات ، والإحصاء، والتمويل الرياضي ، والجبر الخطي ، بالإضافة إلى علوم الحاسوب وعلم الوراثة السكانية . توجد عدة تعريفات وأنواع مختلفة للمصفوفات العشوائية:

• المصفوفة العشوائية اليمنى هي مصفوفة مربعة من الأعداد الحقيقية غير السالبة، حيث يكون مجموع كل صف يساوي 1 (لذلك تسمى أيضًا مصفوفة عشوائية صفية ).
• المصفوفة العشوائية اليسرى هي مصفوفة مربعة من الأعداد الحقيقية غير السالبة، حيث يكون مجموع كل عمود فيها يساوي 1 (لذلك تسمى أيضًا مصفوفة عشوائية عمودية ).
• المصفوفة العشوائية المزدوجة هي مصفوفة مربعة من الأعداد الحقيقية غير السالبة بحيث يكون مجموع كل صف وعمود يساوي 1.
• المصفوفة شبه العشوائية هي مصفوفة مربعة حقيقية تكون فيها مجاميع الصفوف جميعها${\displaystyle \leq 1.}$

وبالمثل، يمكن تعريف متجه الاحتمال بأنه متجه عناصره أعداد حقيقية غير سالبة مجموعها يساوي 1. وبالتالي، فإن كل صف في مصفوفة احتمالية يمنى (أو عمود في مصفوفة احتمالية يسرى) هو متجه احتمال. تعمل المصفوفات الاحتمالية اليمنى على متجهات الصفوف الاحتمالية بالضرب من اليمين (ومن هنا جاء اسمها)، ويكون العنصر الموجود في الصف i والعمود j هو احتمال الانتقال من الحالة i إلى الحالة j . وتعمل المصفوفات الاحتمالية اليسرى على متجهات الأعمدة الاحتمالية بالضرب من اليسار (ومن هنا جاء اسمها)، ويكون العنصر الموجود في الصف i والعمود j هو احتمال الانتقال من الحالة j إلى الحالة i .

تستخدم هذه المقالة اصطلاح المصفوفة العشوائية للصف الأيمن.

طُوِّرت المصفوفة العشوائية بالتزامن مع سلسلة ماركوف على يد أندريه ماركوف ، عالم الرياضيات الروسي وأستاذ جامعة سانت بطرسبرغ ، الذي نشر أول بحث له في هذا الموضوع عام 1906. ^{[ 3 ]} كانت استخداماته الأولية مُخصصة للتحليل اللغوي ومواضيع رياضية أخرى مثل خلط أوراق اللعب ، لكن سرعان ما وجدت كل من سلاسل ماركوف والمصفوفات استخدامًا في مجالات أخرى. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

طُوِّرت المصفوفات العشوائية لاحقًا على يد باحثين مثل أندريه كولموغوروف ، الذين وسّعوا نطاق استخدامها ليشمل عمليات ماركوف ذات الزمن المستمر. ^{[ 5 ]} وبحلول خمسينيات القرن العشرين، ظهرت مقالات تستخدم المصفوفات العشوائية في مجالات الاقتصاد القياسي ^{[ 6 ]} ونظرية الدوائر الكهربائية . ^{[ 7 ]} وفي ستينيات القرن العشرين، ظهرت المصفوفات العشوائية في طيف أوسع من الأعمال العلمية، من العلوم السلوكية ^{[ 8 ]} إلى الجيولوجيا ^{[ 9 ] [ 10 ]} وصولًا إلى التخطيط العمراني . ^{[ 11 ]} إضافةً إلى ذلك، بُذلت جهود رياضية كبيرة خلال هذه العقود لتحسين نطاق استخدامات ووظائف المصفوفة العشوائية وعمليات ماركوف بشكل عام.

منذ سبعينيات القرن الماضي وحتى الآن، تُستخدم المصفوفات العشوائية في جميع المجالات تقريبًا التي تتطلب تحليلًا رسميًا، بدءًا من العلوم الهيكلية ^{[ 12 ]} ووصولًا إلى التشخيص الطبي ^{[ 13 ]} وإدارة الموارد البشرية ^{[ 14 ]} . إضافةً إلى ذلك، تُستخدم المصفوفات العشوائية على نطاق واسع في نمذجة تغيرات استخدام الأراضي ، ويُشار إليها عادةً باسم مصفوفة ماركوف ^{[ 15 ] .}

تصف المصفوفة العشوائية سلسلة ماركوف X _t على فضاء حالة محدود S بعدد عناصر α .

إذا كان احتمال الانتقال من i إلى j في خطوة زمنية واحدة هو Pr( j | i ) = P _{i , j} ، فإن المصفوفة العشوائية P تُعطى باستخدام P _{i , j} كعنصر الصف i وعنصر العمود j ، على سبيل المثال،

$${\displaystyle P=\left[{\begin{matrix}P_{1,1}&P_{1,2}&\dots &P_{1,j}&\dots &P_{1,\alpha }\\P_{2,1}&P_{2,2}&\dots &P_{2,j}&\dots &P_{2,\alpha }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{i,1}&P_{i,2}&\dots &P_{i,j}&\dots &P_{i,\alpha }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{\alpha ,1}&P_{\alpha ,2}&\dots &P_{\alpha ,j}&\dots &P_{\alpha ,\alpha }\\\end{matrix}}\right].}$$

بما أن مجموع احتمالات الانتقال من الحالة i إلى جميع الحالات الأخرى يجب أن يكون 1، $${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,\alpha \},\quad \sum _{j=1}^{\alpha }P_{i,j}=1;\,}$$ وبالتالي فإن هذه المصفوفة هي مصفوفة عشوائية يمنى.

يمكن كتابة مجموع العناصر لكل صف i من المصفوفة P أعلاه بشكل أكثر اختصارًا على النحو التالي: P 1 = 1 ، حيث 1 هو متجه عمودي ذو بُعد α جميع عناصره تساوي واحدًا. باستخدام هذا، يتضح أن حاصل ضرب مصفوفتين عشوائيتين يمينيتين P ′ و P ″ هو أيضًا مصفوفة عشوائية يمينية: P ′ P ″ 1 = P ′ ( P ″ 1 ) = P ′ 1 = 1. بشكل عام، فإن المصفوفة العشوائية اليمينية P مرفوعة للأس k ، ^Pₖ ، هي أيضًا مصفوفة عشوائية يمينية. وبالتالي ، فإن احتمال الانتقال من i إلى j في خطوتين يُعطى بالعنصر ( i , j ) من مربع P.

$${\displaystyle \left(P^{2}\right)_{i,j}.}$$

بشكل عام، فإن احتمال الانتقال من أي حالة إلى حالة أخرى في سلسلة ماركوف محدودة معطاة بواسطة المصفوفة P في k خطوة يتم إعطاؤه بواسطة P ^k .

يتم إعطاء التوزيع الاحتمالي الأولي للحالات، والذي يحدد أين قد يكون النظام في البداية وبأي احتمالات، كمتجه صف .

يُعرَّف متجه الاحتمال الثابت π بأنه توزيع، يُكتب كمتجه صف، لا يتغير عند تطبيق مصفوفة الانتقال؛ أي أنه يُعرَّف بأنه توزيع احتمال على المجموعة {1، …، n } وهو أيضًا متجه ذاتي أيسر لمصفوفة الاحتمال، مرتبط بالقيمة الذاتية 1:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}P={\boldsymbol {\pi }}.}$$

يمكن إثبات أن نصف قطر الطيف لأي مصفوفة عشوائية يساوي واحدًا. وبحسب نظرية دائرة غيرشغورين ، فإن جميع القيم الذاتية لمصفوفة عشوائية لها قيم مطلقة أقل من أو تساوي واحدًا. وبشكل أدق، فإن القيم الذاتية لـ${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$تقتصر المصفوفات العشوائية على التواجد ضمن مجموعة فرعية من قرص الوحدة المركب، تُعرف بمناطق كاربيليفيتش. ^{[ 16 ]} وقد توصل إلى هذه النتيجة فريدريك كاربيليفيتش في الأصل ، ^{[ 17 ]} بعد سؤال طرحه كولموغوروف ^{[ 18 ]} وتناوله جزئيًا نيكولاي ديميترييف ويوجين دينكين . ^{[ 19 ]}

بالإضافة إلى ذلك، لكل مصفوفة عشوائية يمنى متجه ذاتي عمودي "واضح" مرتبط بالقيمة الذاتية 1: وهو المتجه 1 المستخدم أعلاه، والذي تساوي إحداثياته ​​جميعًا 1. وبما أن القيم الذاتية اليسرى واليمنى للمصفوفة المربعة متساوية، فإن لكل مصفوفة عشوائية، على الأقل، متجه ذاتي أيسر مرتبط بالقيمة الذاتية 1، وأكبر قيمة مطلقة لجميع قيمها الذاتية هي أيضًا 1. وأخيرًا، تنص نظرية النقطة الثابتة لبروير (المطبقة على المجموعة المحدبة المدمجة لجميع التوزيعات الاحتمالية للمجموعة المنتهية {1، ...، n } ) على وجود متجه ذاتي أيسر يمثل أيضًا متجه احتمال ثابت.

من جهة أخرى، تضمن نظرية بيرون-فروبينيوس أيضًا أن كل مصفوفة عشوائية غير قابلة للاختزال تمتلك متجهًا ثابتًا، وأن أكبر قيمة مطلقة لأي قيمة ذاتية هي دائمًا 1. مع ذلك، لا يمكن تطبيق هذه النظرية مباشرةً على هذه المصفوفات لأنها قد لا تكون غير قابلة للاختزال. عمومًا، قد يوجد عدة متجهات من هذا النوع. ولكن، بالنسبة لمصفوفة ذات عناصر موجبة تمامًا (أو، بشكل أعم، بالنسبة لمصفوفة عشوائية غير دورية غير قابلة للاختزال)، يكون هذا المتجه فريدًا ويمكن حسابه بملاحظة أنه لأي قيمة لـ i، لدينا النهاية التالية:

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left(P^{k}\right)_{i,j}={\boldsymbol {\pi }}_{j},}$$

حيث πj هو العنصر _j من متجه الصف π . من بين أمور أخرى، يشير هذا إلى أن احتمالية التواجد في الحالة j على المدى الطويل مستقلة عن الحالة الابتدائية i . إن كون كلا الحسابين يعطيان نفس متجه الحالة الثابتة هو شكل من أشكال نظرية إرجودية ، وهي صحيحة عمومًا في مجموعة واسعة من الأنظمة الديناميكية المبددة : يتطور النظام، بمرور الوقت، إلى حالة ثابتة .

بشكل بديهي، تمثل المصفوفة العشوائية سلسلة ماركوف؛ ويؤدي تطبيقها على توزيع احتمالي إلى إعادة توزيع الكتلة الاحتمالية للتوزيع الأصلي مع الحفاظ على كتلته الكلية. وإذا تكررت هذه العملية، يتقارب التوزيع نحو توزيع ثابت لسلسلة ماركوف. ^{[ 2 ] : 14-17 [ 20 ] : 116}

تشكل المصفوفات العشوائية وحاصل ضربها فئة ، وهي فئة فرعية من فئة المصفوفات وفئة نوى ماركوف .

لنفترض وجود مؤقت وخمسة صناديق متجاورة. عند الزمن صفر، توجد قطة في الصندوق الأول، وفأر في الصندوق الخامس. تقفز القطة والفأر إلى صندوق مجاور عشوائي مع تقدم المؤقت. على سبيل المثال، إذا كانت القطة في الصندوق الثاني والفأر في الرابع، فإن احتمال أن تكون القطة في الصندوق الأول والفأر في الخامس بعد تقدم المؤقت هو ربع. أما إذا كانت القطة في الصندوق الأول والفأر في الخامس، فإن احتمال أن تكون القطة في الصندوق الثاني والفأر في الرابع بعد تقدم المؤقت هو واحد. تأكل القطة الفأر إذا انتهى بهما المطاف في نفس الصندوق، وعندها تنتهي اللعبة. ليكن المتغير العشوائي K هو الوقت الذي يبقى فيه الفأر في اللعبة.

تحتوي سلسلة ماركوف التي تمثل هذه اللعبة على الحالات الخمس التالية، والتي تُحدد بتوليفة المواقع (القط، الفأر). لاحظ أنه على الرغم من أن تعدادًا بسيطًا للحالات قد يُدرج 25 حالة، إلا أن العديد منها مستحيل إما لأن الفأر لا يمكن أن يكون له فهرس أقل من القط (إذ يعني ذلك أن الفأر قد احتل صندوق القط ونجا ليتحرك متجاوزًا إياه)، أو لأن مجموع الفهرسين سيكون دائمًا زوجيًا . بالإضافة إلى ذلك، يتم دمج الحالات الثلاث المحتملة التي تؤدي إلى موت الفأر في حالة واحدة.

• الحالة 1: (1،3)
• الحالة 2: (1,5)
• الحالة 3: (2،4)
• الحالة 4: (3،5)
• الحالة 5: انتهت اللعبة: (2,2)، (3,3) و (4,4).

نستخدم مصفوفة عشوائية،${\displaystyle P}$(أدناه)، لتمثيل احتمالات انتقال هذا النظام (يتم ترقيم الصفوف والأعمدة في هذه المصفوفة حسب الحالات الممكنة المذكورة أعلاه، حيث تمثل حالة ما قبل الانتقال الصف وحالة ما بعد الانتقال العمود). على سبيل المثال، بدءًا من الحالة 1 - الصف الأول - يستحيل على النظام البقاء في هذه الحالة، لذا${\displaystyle P_{11}=0}$ولا يمكن للنظام أيضاً الانتقال إلى الحالة 2، لأن القطة كانت ستبقى في نفس الصندوق.${\displaystyle P_{12}=0}$وبحجة مماثلة بالنسبة للفأر،${\displaystyle P_{14}=0}$يُسمح بالانتقال إلى الحالتين 3 أو 5، وبالتالي${\displaystyle P_{13},P_{15}\neq 0}$.

$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0&1/2&0&1/2\\0&0&1&0&0\\1/4&1/4&0&1/4&1/4\\0&0&1/2&0&1/2\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

تمثيل نوع الطور

بما أن الحالة 5 هي حالة امتصاص، فإن توزيع زمن الامتصاص يكون توزيعًا طوريًا منفصلاً . لنفترض أن النظام يبدأ في الحالة 2، المُمثلة بالمتجه.${\displaystyle [0,1,0,0,0]}$لا تُساهم الحالات التي نفق فيها الفأر في متوسط ​​البقاء على قيد الحياة، لذا يمكن تجاهل الحالة الخامسة. ويمكن اختزال الحالة الأولية ومصفوفة الانتقال إلى:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=[0,1,0,0],\qquad T={\begin{bmatrix}0&0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&1&0\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{4}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&0\end{bmatrix}},}$$

و

$${\displaystyle (I-T)^{-1}{\boldsymbol {1}}={\begin{bmatrix}2.75\\4.5\\3.5\\2.75\end{bmatrix}},}$$

أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة ، و${\displaystyle \mathbf {1} }$يمثل مصفوفة عمودية جميع عناصرها تساوي واحدًا وتعمل كمجموع على الحالات.

بما أن كل حالة تشغلها الفأرة لمدة خطوة زمنية واحدة، فإن الوقت المتوقع لبقاء الفأرة على قيد الحياة هو ببساطة مجموع احتمالية شغلها لجميع الحالات والخطوات الزمنية التي تبقى فيها على قيد الحياة.

$${\displaystyle E[K]={\boldsymbol {\tau }}\left(I+T+T^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {1}}={\boldsymbol {\tau }}(I-T)^{-1}{\boldsymbol {1}}=4.5.}$$

تُعطى العزوم ذات الرتب العليا بواسطة

$${\displaystyle E[K(K-1)\dots (K-n+1)]=n!{\boldsymbol {\tau }}(I-{T})^{-n}{T}^{n-1}\mathbf {1} \,.}$$

• مصفوفة الكثافة
• نواة ماركوف ، وهي ما يعادل مصفوفة عشوائية على فضاء حالة مستمر
• معادلة الفرق بين المصفوفات
• نماذج تطور الحمض النووي
• عدم المساواة عند مويرهيد
• الأوتوماتا الاحتمالية
• مصفوفة معدل الانتقال ، تُستخدم لتعميم المصفوفة العشوائية إلى الزمن المستمر