المصفوفة الوحدوية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي ، تكون المصفوفة المربعة المركبة القابلة للعكس U مصفوفة وحدوية إذا كان معكوسها U −1 يساوي منقولها المرافق U * ، أي إذا

يو*يو=يويو*=أنا،{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}

حيث I هي مصفوفة الوحدة .

في الفيزياء ، وخاصة في ميكانيكا الكم ، يُشار إلى منقول المصفوفة المرافق باسم المرافق الهيرميتي للمصفوفة ويُرمز إليه بعلامة الخنجر ( ⁠†{\displaystyle \dagger }) ، لذا تُكتب المعادلة أعلاه

يو†يو=يويو†=أنا.{\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}

تكون المصفوفة المركبة U مصفوفة وحدوية خاصة إذا كانت وحدوية وكان محددها يساوي 1 .

بالنسبة للأعداد الحقيقية ، فإن المصفوفة المتعامدة هي نظير المصفوفة الوحدوية . للمصفوفات الوحدوية أهمية بالغة في ميكانيكا الكم لأنها تحافظ على تطبيع متجهات الحالة والضرب الداخلي بينها. [ 1 ] [ 2 ]

ملكيات

بالنسبة لأي مصفوفة وحدوية U ذات حجم محدود، تتحقق الشروط التالية:

بالنسبة لأي عدد صحيح غير سالب n ، فإن مجموعة جميع المصفوفات الوحدوية n × n مع ضرب المصفوفات تشكل مجموعة تسمى المجموعة الوحدوية U( n ) .

كل مصفوفة مربعة ذات معيار إقليدي يساوي واحدًا هي متوسط ​​مصفوفتين وحدويتين. [ 3 ]

الشروط المكافئة

إذا كانت U مصفوفة مربعة معقدة، فإن الشروط التالية متكافئة: [ 4 ]

  1. يو{\displaystyle U}هو نظام أحادي.
  2. يو*{\displaystyle U^{*}} هو نظام أحادي.
  3. يو{\displaystyle U}قابل للعكس معيو-1=يو*{\displaystyle U^{-1}=U^{*}}.
  4. أعمدةيو{\displaystyle U}تشكل أساسًا متعامدًا لـجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}فيما يتعلق بالناتج الداخلي المعتاد. بعبارة أخرى،يو*يو=أنا{\displaystyle U^{*}U=I}.
  5. صفوفيو{\displaystyle U}تشكل أساسًا متعامدًا لـجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}فيما يتعلق بالناتج الداخلي المعتاد. بعبارة أخرى،يويو*=أنا{\displaystyle UU^{*}=I}.
  6. يو{\displaystyle U}هو تماثل قياس بالنسبة للمعيار المعتاد. أي،‖يوx‖2=‖x‖2{\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}للجميعx∈جن{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}، أين‖x‖2=∑أنا=1ن|xأنا|2\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}.
  7. يو{\displaystyle U}هي مصفوفة طبيعية (أو بعبارة أخرى، يوجد أساس متعامد يتكون من المتجهات الذاتية لـيو{\displaystyle U}) مع القيم الذاتية التي تقع على دائرة الوحدة.

الإنشاءات الأساسية

مصفوفة وحدوية 2 × 2

أحد التعبيرات العامة لمصفوفة وحدوية من الرتبة 2 × 2 هو يو=[أب-هـأناφب*هـأناφأ*]،|أ|2+|ب|2=1 ،{\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}

والتي تعتمد على 4  معلمات حقيقية (طور a ، وطور b ، والمقدار النسبي بين a و b ، والزاوية φ )، و* هو المرافق المركب . تم تكوين الشكل بحيث يكون محدد هذه المصفوفة هو المحقق(يو)=هـأناφ .{\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}

المجموعة الفرعية من تلك العناصريو{\displaystyle U}معالمحقق(يو)=1{\displaystyle \det(U)=1}يُطلق عليها اسم المجموعة الوحدوية الخاصة SU(2).

من بين عدة أشكال بديلة، يمكن كتابة المصفوفة U بهذا الشكل:  يو=هـأناφ/2[هـأناαكوس⁡θهـأناβالخطيئة⁡θ-هـ-أناβالخطيئة⁡θهـ-أناαكوس⁡θ] ،{\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}

أينهـأناαكوس⁡θ=أ{\displaystyle e^{i\alpha }\cos \theta =a}وهـأناβالخطيئة⁡θ=ب،{\displaystyle e^{i\beta }\sin \theta =b,}أعلاه، والزواياφ،α،β،θ{\displaystyle \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta }يمكن أن تأخذ أي قيم.

من خلال تقديمα=ψ+دلتا{\displaystyle \alpha =\psi +\delta }وβ=ψ-دلتا،{\displaystyle \beta =\psi -\delta ,}له التحليل التالي:

يو=هـأناφ/2[هـأناψ00هـ-أناψ][كوس⁡θالخطيئة⁡θ-الخطيئة⁡θكوس⁡θ][هـأنادلتا00هـ-أنادلتا] .{\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}

يسلط هذا التعبير الضوء على العلاقة بين المصفوفات الوحدوية 2 × 2 والمصفوفات المتعامدة 2 × 2 ذات الزاوية θ .

هناك تحليل آخر وهو [ 5 ]

يو=[كوس⁡ρ-الخطيئة⁡ρالخطيئة⁡ρكوس⁡ρ][هـأناξ00هـأناζ][كوس⁡σالخطيئة⁡σ-الخطيئة⁡σكوس⁡σ] .{\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}

توجد العديد من طرق تحليل المصفوفة الوحدوية إلى مصفوفات أساسية. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيريز، آشر (1993). نظرية الكم: المفاهيم والأساليب . النظريات الأساسية للفيزياء. كلوير أكاديميك. ص  41، 52. ISBN 978-0-7923-2549-9.
  2. ↑ ريفيل، إليانور ؛ بولاك، وولفغانغ (2011). الحوسبة الكمومية: مقدمة مبسطة . الحوسبة العلمية والهندسية. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 72. ISBN  978-0-262-01506-6.
  3. ↑ لي، تشي-كوونغ؛ بون، إدوارد (2002). "التحليل الجمعي للمصفوفات الحقيقية". الجبر الخطي والمتعدد الخطوط . 50 (4): 321-326 . doi : 10.1080/03081080290025507 . S2CID 120125694 . 
  4. ↑ هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (2013). تحليل المصفوفات . مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9781139020411 . ISBN 9781139020411.
  5. ^ فور، هارتموت. رزيسزوتنيك، زيموفيت (2018). "ملاحظة حول تحليل المصفوفات الوحدوية" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 547 : 32– 44. دوى : 10.1016/j.laa.2018.02.017 . ISSN 0024-3795 . S2CID 125455174 .  
  6. ↑ ويليامز، كولين ب. (2011). "البوابات الكمومية". في: ويليامز، كولين ب. (محرر). استكشافات في الحوسبة الكمومية . نصوص في علوم الحاسوب. لندن، المملكة المتحدة: سبرينغر. ص 82. doi : 10.1007/978-1-84628-887-6_2 . ISBN  978-1-84628-887-6.
  7. ↑ نيلسن، ماجستير ؛ تشوانغ، إسحاق (2010). الحوسبة الكمومية والمعلومات الكمومية . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج . ص 20. ISBN  978-1-10700-217-3. OCLC 43641333 . 
  8. ↑ بارينكو، أدريانو؛ بينيت، تشارلز هـ.؛ كليف، ريتشارد؛ ديفينسينزو، ديفيد ب.؛ مارغولوس، نورمان؛ شور، بيتر؛ وآخرون . (1 نوفمبر 1995). "بوابات أولية للحوسبة الكمومية". مجلة Physical Review A. 52 ( 5). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 3457-3467 ، وخاصةً الصفحة 3465. arXiv : quant -ph/9503016 . Bibcode : 1995PhRvA..52.3457B . doi : 10.1103/physreva.52.3457 . ISSN 1050-2947 . PMID 9912645. S2CID 8764584 .    
  9. ↑ مارفيان، إيمان (10 يناير 2022). "القيود المفروضة على العمليات الوحدوية القابلة للتحقيق بفعل التناظر والمحلية" . مجلة نيتشر فيزيكس . 18 (3): 283-289 . arXiv : 2003.05524 . Bibcode : 2022NatPh..18..283M . doi : 10.1038/s41567-021-01464-0 . ISSN 1745-2481 . S2CID 245840243 .  
  10. ↑ جارلسكوج، سيسيليا (2006). "المعاملة المتكررة والأطوار الثابتة للمصفوفات الوحدوية". مجلة الفيزياء الرياضية . 47 (1): 013507. arXiv : math-ph/0510034 . Bibcode : 2006JMP....47a3507J . doi : 10.1063/1.2159069 .
  11. ↑ الحمراء، ألفارو م. (10 يناير 2022). "ممنوع بالتناظر" . أخبار وآراء. فيزياء الطبيعة . 18 (3): 235-236 . Bibcode : 2022NatPh..18..235A . doi : 10.1038/s41567-021-01483-x . ISSN 1745-2481 . S2CID 256745894. غالبًا ما يُفهم علم فيزياء الأنظمة الكبيرة على أنه نتاج العمليات المحلية بين مكوناتها. والآن ، يُبين أن هذه الصورة قد تكون غير مكتملة في الأنظمة الكمومية التي تُقيد تفاعلاتها بالتناظرات.