التعرج

معامل التعرج ، أو مؤشر التعرج ، أو معامل التعرج لمنحنى قابل للتفاضل باستمرار وله نقطة انعطاف واحدة على الأقل ، هو نسبة طول المسار المنحني (على طول المنحنى) إلى المسافة الإقليدية ( على خط مستقيم ) بين طرفي المنحنى. يمكن إعادة صياغة هذه الكمية عديمة الأبعاد على أنها "طول المسار الفعلي" مقسومًا على "أقصر طول مسار" للمنحنى. تتراوح القيمة من 1 (في حالة الخط المستقيم) إلى ما لا نهاية (في حالة الحلقة المغلقة، حيث يكون أقصر طول مسار صفرًا لمسار فعلي لا نهائي الطول ^{[ 1 ]} ).

يجب أن يكون المنحنى متصلاً (بدون انقطاع) بين طرفيه. وتكون قيمة التعرج ذات أهمية بالغة عندما يكون الخط قابلاً للتفاضل باستمرار (بدون نقطة زاوية). ويمكن أيضاً حساب المسافة بين الطرفين باستخدام عدة قطع مستقيمة وفقاً لخط منقطع يمر بنقاط الانعطاف المتتالية (تعرج من الدرجة الثانية).

إن حساب التعرج صالح في فضاء ثلاثي الأبعاد (على سبيل المثال للمحور المركزي للأمعاء الدقيقة )، على الرغم من أنه غالبًا ما يتم إجراؤه في مستوى (مع إمكانية إسقاط متعامد للمنحنى في المستوى المحدد؛ التعرج "الكلاسيكي" على المستوى الأفقي، والتعرج الطولي على المستوى الرأسي).

يعتمد تصنيف التعرج (قوي/ضعيف مثلاً) غالباً على المقياس الخرائطي للمنحنى (انظر مفارقة الخط الساحلي لمزيد من التفاصيل) وعلى سرعة الجسم المتدفق فيه (نهر، انهيار جليدي، سيارة، دراجة هوائية، زلاجة، متزلج، قطار فائق السرعة، إلخ): قد يُعتبر تعرج الخط المنحني نفسه قوياً جداً بالنسبة لقطار فائق السرعة، ولكنه ضعيف بالنسبة لنهر. ومع ذلك، من الممكن ملاحظة تعرج قوي جداً في سلسلة من منعطفات نهرية قليلة، أو في مسارات على بعض الطرق الجبلية.

معامل التعرج S لـ:

• نصفا دائرتين متصلتين مقلوبتين تقعان في نفس المستوى هما${\displaystyle S={\tfrac {\pi }{2}}\approx 1.5708...}$وهو مستقل عن نصف قطر الدائرة؛
• دالة الجيب (على عدد صحيح n من أنصاف الدورات)، والتي يمكن حسابها عن طريق حساب طول قوس منحنى الجيب على تلك الدورات، هي${\displaystyle S=\textstyle {\tfrac {1}{n\pi }}\int _{0}^{n\pi }{\sqrt {1+(\cos x)^{2}}}dx\approx 1.216...}$

مع وجود أقواس متقابلة متشابهة، ومفاصل في نفس المستوى، وقابلة للتفاضل باستمرار:

الزاوية المركزية		التعرج
الدرجات	الراديان	بالضبط	عشري
30 درجة	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}}$	1.0115
60 درجة	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	1.0472
90 درجة	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$	1.1107
120 درجة	${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}}$	1.2092
150 درجة	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}}$	1.3552
180 درجة	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	1.5708
210 درجة	${\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}}$	1.8972
240 درجة	${\displaystyle {\frac {4\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}}$	2.4184
270 درجة	${\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{2{\sqrt {2}}}}}$	3.3322
300 درجة	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3}}}$	5.2360
330 درجة	${\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}}$	11.1267

في دراسات الأنهار، يكون مؤشر التعرج مشابهًا للشكل العام المذكور أعلاه ولكنه ليس مطابقًا له تمامًا، ويتم حسابه بواسطة:

${\displaystyle {\text{SI}}={\frac {\text{طول القناة}}{\text{طول الوادي السفلي}}}}$

يحدث الاختلاف عن الشكل العام لأن مسار الانحدار ليس مستقيماً تماماً. ويمكن تفسير مؤشر التعرج، بالتالي، على أنه الانحرافات عن مسار محدد باتجاه أقصى انحدار. ولهذا السبب، فإن مجاري المياه الصخرية التي تتدفق مباشرة نحو أسفل المنحدر يكون لها مؤشر تعرج يساوي 1، بينما يكون مؤشر التعرج للمجاري المتعرجة أكبر من 1. ^{[ 2 ]}

من الممكن أيضًا التمييز بين الحالة التي لا يستطيع فيها التيار المتدفق على الخط أن يقطع المسافة بين الطرفين فعليًا: في بعض الدراسات الهيدروليكية، يؤدي هذا إلى تعيين قيمة تعرج تساوي 1 لسيل يتدفق فوق الصخور الأساسية على طول إسقاط مستقيم أفقي، حتى لو تغيرت زاوية الميل.

بالنسبة للأنهار، فإن الفئات التقليدية للتعرج، SI، هي:

• SI <1.05: شبه مستقيم
• 1.05 ≥ SI <1.25: لف
• 1.25 ≤ SI <1.50: ملتوية
• 1.50 ≤ SI: متعرج

لقد زُعم أن أشكال الأنهار تخضع لنظام ذاتي التنظيم يتسبب في أن يكون متوسط ​​تعرجها (المقاس من حيث المسافة من المنبع إلى المصب، وليس طول القناة) هو π ، ^{[ 3 ]} ولكن هذا لم تؤكده الدراسات اللاحقة، التي وجدت قيمة متوسطة أقل من 2. ^{[ 4 ]}

• انحناء
• بحيرة أوكس بو