نسبة

في الرياضيات ، تُظهر النسبة ( / ˈr eɪ ʃ ( i ) oʊ / ) عدد المرات التي يحتوي فيها رقم على رقم آخر. على سبيل المثال، إذا كان هناك ثماني برتقالات وست ليمونات في وعاء من الفاكهة، فإن نسبة البرتقال إلى الليمون هي ثمانية إلى ستة (أي 8:6، وهو ما يعادل النسبة 4:3). وبالمثل، فإن نسبة الليمون إلى البرتقال هي 6:8 (أو 3:4) ونسبة البرتقال إلى الكمية الإجمالية من الفاكهة هي 8:14 (أو 4:7).

يمكن أن تكون الأرقام في النسبة عبارة عن كميات من أي نوع، مثل عدد الأشخاص أو الأشياء، أو مثل قياسات الأطوال والأوزان والوقت وما إلى ذلك. في معظم السياقات، يقتصر كلا الرقمين على أن يكونا موجبين .

يمكن تحديد النسبة إما عن طريق إعطاء كلا الرقمين المكونين، مكتوبين على هيئة " أ إلى ب " أو " أ:ب "، أو عن طريق إعطاء قيمة حاصل قسمتهما فقط أ/ب⁠ . ^{[1] [2] [3]} تتوافق الحصص المتساوية مع النسب المتساوية. العبارة التي تعبر عن تساوي نسبتين تسمى نسبة .

وبالتالي، يمكن اعتبار النسبة زوجًا مرتبًا من الأرقام، أو كسرًا يكون فيه الرقم الأول في البسط والثاني في المقام، أو القيمة التي يرمز إليها هذا الكسر. نسب الأعداد، المعطاة بالأعداد الطبيعية (غير الصفرية) ، هي أعداد نسبية ، وقد تكون أحيانًا أعدادًا طبيعية.

التعريف الأكثر تحديدًا المعتمد في العلوم الفيزيائية (خاصة في علم القياس ) للنسبة هو الحاصل بلا أبعاد بين كميتين فيزيائيتين يتم قياسهما بنفس الوحدة . ^[4] يمكن تسمية حاصل كميتين يتم قياسهما بوحدات مختلفة بالمعدل . ^[5]

يمكن التعبير عن نسبة الرقمين A و B على النحو التالي: ^[6]

• نسبة أ إلى ب
• أ:ب
• أ بالنسبة إلى ب (عندما يتبعها "كما أن ج بالنسبة إلى د  "؛ انظر أدناه)
• كسر يتكون من A كبسط و B كمقام يمثل الحاصل (أي A مقسومًا على B، أو ). ويمكن التعبير عن ذلك على هيئة كسر بسيط أو كسر عشري، أو كنسبة مئوية، وما إلى ذلك. ^[7]${\displaystyle {\tfrac {A}{B}}}$

عندما يتم كتابة نسبة في النموذج A : B ، فإن حرف النقطتين يكون أحيانًا علامة الترقيم النقطية . ^[8] في Unicode ، يكون هذا هو U+003A : COLON ، على الرغم من أن Unicode يوفر أيضًا حرف نسبة مخصص، U+2236 ∶ RATIO . ^[9]

يُطلق على الأرقام A و B أحيانًا اسم حدود النسبة ، حيث يكون A هو المقدم و B هو التالي . ^[10]

تُسمى العبارة التي تعبر عن مساواة نسبتين A : B و C : D بنسبة ، ^[11] وتُكتب على النحو التالي A : B = C : D أو A : B ∷ C : D. غالبًا ما يُعبر عن هذا الشكل الأخير، عند التحدث به أو كتابته باللغة الإنجليزية، على النحو التالي

( أ إلى ب ) كما ( ج إلى د ).

تسمى A و B و C و D حدود النسبة. تسمى A و D أقصى النسب ، و تسمى B و C متوسطها . تسمى المساواة بين ثلاث نسب أو أكثر، مثل A : B = C : D = E : F ، نسبة مستمرة . ^[12]

تُستخدم النسب أحيانًا مع ثلاثة مصطلحات أو حتى أكثر، على سبيل المثال، النسبة لأطوال حواف قطعة " اثنان في أربعة " بطول عشرة بوصات هي

${\displaystyle {\text{السمك : ​​العرض : الطول }}=2:4:10;}$

(قياسات غير مخططة؛ يتم تقليل الرقمين الأولين قليلاً عند تسوية الخشب ليصبح ناعمًا)

يُشار أحيانًا إلى مزيج الخرسانة الجيد (بوحدات الحجم) على أنه

${\displaystyle {\text{الاسمنت : الرمل : الحصى }}=1:2:4.}$^[13]

بالنسبة لمزيج (جاف إلى حد ما) من 4/1 جزء في الحجم من الأسمنت إلى الماء، يمكن القول أن نسبة الأسمنت إلى الماء هي 4:1، وأن هناك 4 أضعاف كمية الأسمنت مقارنة بالماء، أو أن هناك ربع (1/4) كمية من الماء مثل الأسمنت.

معنى هذه النسبة من النسب التي تحتوي على أكثر من حدين هو أن نسبة أي حدين على الطرف الأيسر تساوي نسبة الحدين المقابلين على الطرف الأيمن.

من الممكن تتبع أصل كلمة "نسبة" إلى الكلمة اليونانية القديمة λόγος ( logos ). وقد ترجم المترجمون الأوائل هذه الكلمة إلى اللاتينية على أنها ratio ("سبب"؛ كما في كلمة "عقلاني"). وهناك تفسير أكثر حداثة لمعنى إقليدس أقرب إلى الحساب أو الحساب. ^[14] وقد استخدم الكتاب في العصور الوسطى كلمة proportio ("نسبة") للإشارة إلى ratio و proportalitas ("تناسب") للإشارة إلى مساواة النسب. ^[15]

جمع إقليدس النتائج التي ظهرت في العناصر من مصادر سابقة. طور الفيثاغورسيون نظرية النسبة والتناسب كما يتم تطبيقها على الأرقام. ^[16] لم يتضمن مفهوم الفيثاغورسيون للأرقام سوى ما يُطلق عليه اليوم الأرقام النسبية، مما أثار الشك حول صحة النظرية في الهندسة حيث، كما اكتشف الفيثاغورسيون أيضًا، توجد نسب غير قابلة للقياس (مقابلة للأعداد غير النسبية ). ربما يرجع اكتشاف نظرية النسب التي لا تفترض التناسب إلى يودوكسوس من كنيدوس . يعكس شرح نظرية النسب التي تظهر في الكتاب السابع من العناصر النظرية السابقة لنسب العناصر القابلة للقياس. ^[17]

يبدو وجود نظريات متعددة معقدًا بشكل غير ضروري لأن النسب مرتبطة إلى حد كبير بالحواصل وقيمها المستقبلية. ومع ذلك، فإن هذا تطور حديث نسبيًا، كما يمكن رؤيته من حقيقة أن كتب الهندسة الحديثة لا تزال تستخدم مصطلحات وترميزًا مميزين للنسب والحواصل. والسبب وراء ذلك هو أمران: أولاً، كان هناك التردد المذكور سابقًا في قبول الأعداد غير النسبية كأعداد حقيقية، وثانيًا، أدى الافتقار إلى رمزية مستخدمة على نطاق واسع لتحل محل المصطلحات الراسخة بالفعل للنسب إلى تأخير القبول الكامل للكسور كبديل حتى القرن السادس عشر. ^[18]

يحتوي الكتاب الخامس من عناصر إقليدس على 18 تعريفًا، تتعلق جميعها بالنسب. ^[19] بالإضافة إلى ذلك، يستخدم إقليدس أفكارًا كانت شائعة الاستخدام لدرجة أنه لم يدرج تعريفات لها. يقول التعريفان الأولان أن جزءًا من الكمية هو كمية أخرى "تقيسها" وعلى العكس من ذلك، فإن مضاعف الكمية هو كمية أخرى تقيسها. في المصطلحات الحديثة، يعني هذا أن مضاعف الكمية هو تلك الكمية مضروبة في عدد صحيح أكبر من واحد - وجزء من الكمية (بمعنى جزء القسمة ) هو جزء، عند ضربه في عدد صحيح أكبر من واحد، يعطي الكمية.

لا يحدد إقليدس مصطلح "القياس" كما هو مستخدم هنا، ومع ذلك، قد يستنتج المرء أنه إذا تم أخذ كمية كوحدة قياس، وتم إعطاء كمية ثانية كعدد صحيح من هذه الوحدات، فإن الكمية الأولى تقيس الثانية. تتكرر هذه التعريفات، كلمة بكلمة تقريبًا، كما هو الحال في التعريفين 3 و5 في الكتاب السابع.

يصف التعريف 3 ماهية النسبة بشكل عام. إنه ليس صارمًا بالمعنى الرياضي وقد نسبه البعض إلى محرري إقليدس وليس إقليدس نفسه. ^[20] يعرّف إقليدس النسبة على أنها بين كميتين من نفس النوع ، لذلك بموجب هذا التعريف يتم تعريف نسب طولين أو منطقتين، ولكن ليس نسبة الطول والمساحة. يجعل التعريف 4 هذا الأمر أكثر صرامة. ينص على وجود نسبة بين كميتين، عندما يكون هناك مضاعف لكل منهما يتجاوز الآخر. في التدوين الحديث، توجد نسبة بين الكميتين p و q ، إذا كان هناك عددان صحيحان m و n بحيث mp > q و nq > p . تُعرف هذه الحالة باسم خاصية أرخميدس .

التعريف 5 هو الأكثر تعقيدًا وصعوبة. فهو يحدد ما يعنيه أن تكون نسبتان متساويتين. واليوم، يمكن القيام بذلك ببساطة من خلال القول بأن النسب متساوية عندما تكون حاصل قسمة المصطلحات متساوية، ولكن مثل هذا التعريف كان ليكون بلا معنى بالنسبة لإقليدس. في التدوين الحديث، تعريف إقليدس للمساواة هو أنه إذا كانت الكميات المعطاة p و q و r و s ، p : q ∷ r  : s إذا وفقط إذا، لأي أعداد صحيحة موجبة m و n ، np < mq ، np = mq ، أو np > mq وفقًا لـ nr < ms ، nr = ms ، أو nr > ms ، على التوالي. ^[21] هذا التعريف له تقارب مع قطع ديديكيند حيث، مع n و q كلاهما موجبان، فإن np يمثل mq كما يليص/س⁠ يقف على العدد النسبي ⁠م/ن( قسمة كلا المصطلحين على nq ). ^[22]

يقول التعريف 6 أن الكميات التي لها نفس النسبة تكون متناسبة أو متناسبة . يستخدم إقليدس الكلمة اليونانية ἀναλόγον (analogon)، والتي لها نفس الجذر مثل λόγος وترتبط بالكلمة الإنجليزية "analog".

يحدد التعريف 7 ما يعنيه أن تكون نسبة واحدة أقل أو أكبر من أخرى ويستند إلى الأفكار الموجودة في التعريف 5. في التدوين الحديث، ينص على أنه إذا كانت الكميات المعطاة p و q و r و s ، p : q > r : s، فإن هناك أعداد صحيحة موجبة m و n بحيث np > mq و nr ≤ ms .

كما هو الحال مع التعريف 3، يعتبر البعض التعريف 8 بمثابة إضافة لاحقة من قبل محرري إقليدس. فهو يحدد ثلاثة حدود p و q و r لتكون متناسبة عندما p : q ∷ q : r . ويمتد هذا إلى أربعة حدود p و q و r و s مثل p : q ∷ q : r ∷ r : s ، وهكذا. تسمى المتتاليات التي لها الخاصية التي تجعل نسب الحدود المتتالية متساوية بالمتواليات الهندسية . ينطبق التعريفان 9 و10 على ذلك، حيث يقولان أنه إذا كانت p و q و r متناسبة فإن p : r هي النسبة المكررة لـ p : q وإذا كانت p و q و r و s متناسبة فإن p : s هي النسبة الثلاثية لـ p : q .

بشكل عام، يمكن التعبير عن مقارنة كميات نسبة الكيانين على أنها كسر مشتق من النسبة. على سبيل المثال، في نسبة 2:3، تكون الكمية أو الحجم أو الحجم أو الكمية للكيان الأول هي الكمية أو الحجم أو الحجم أو الكمية للكيان الثاني. ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$

إذا كان هناك برتقالتان وثلاث تفاحات، فإن نسبة البرتقال إلى التفاح هي 2:3، ونسبة البرتقال إلى العدد الإجمالي لقطع الفاكهة هي 2:5. يمكن أيضًا التعبير عن هذه النسب في شكل كسر: يوجد 2/3 من البرتقال مثل التفاح، و2/5 من قطع الفاكهة برتقال. إذا كان من المقرر تخفيف مركز عصير البرتقال بالماء بنسبة 1:4، فيتم خلط جزء واحد من المركز مع أربعة أجزاء من الماء، مما يعطي خمسة أجزاء في المجموع؛ تكون كمية مركز عصير البرتقال 1/4 كمية الماء، بينما تكون كمية مركز عصير البرتقال 1/5 من السائل الإجمالي. في كل من النسب والكسور، من المهم أن تكون واضحًا ما تتم مقارنته بماذا، وغالبًا ما يرتكب المبتدئون أخطاء لهذا السبب.

يمكن أيضًا استنتاج الكسور من النسب التي تحتوي على أكثر من كيانين؛ ومع ذلك، لا يمكن تحويل النسبة التي تحتوي على أكثر من كيانين إلى كسر واحد تمامًا، لأن الكسر يمكنه فقط مقارنة كميتين. يمكن استخدام كسر منفصل لمقارنة كميات أي كيانين من الكيانات التي تغطيها النسبة: على سبيل المثال، من نسبة 2:3:7 يمكننا استنتاج أن كمية الكيان الثاني هي كمية الكيان الثالث. ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$

إذا ضربنا جميع الكميات المشاركة في نسبة ما بنفس الرقم، فإن النسبة تظل صالحة. على سبيل المثال، نسبة 3:2 هي نفسها 12:8. ومن المعتاد إما تقليص الحدود إلى المقام المشترك الأدنى ، أو التعبير عنها بأجزاء من المائة ( نسبة مئوية ).

إذا احتوى خليط على المواد A وB وC وD بنسبة 5:9:4:2، فسيكون هناك 5 أجزاء من A لكل 9 أجزاء من B و4 أجزاء من C و2 جزء من D. ونظرًا لأن 5+9+4+2=20، فإن الخليط الكلي يحتوي على 5/20 من A (5 أجزاء من 20)، و9/20 من B، و4/20 من C، و2/20 من D. وإذا قسمنا جميع الأرقام على الإجمالي وضربناها في 100، فسنحصل على النسب المئوية : 25% A، و45% B، و20% C، و10% D (ما يعادل كتابة النسبة على النحو التالي 25:45:20:10).

إذا كانت الكميتان النسبيتان أو أكثر تشملان جميع الكميات في موقف معين، يقال إن "الكل" يحتوي على مجموع الأجزاء: على سبيل المثال، سلة فواكه تحتوي على تفاحتين وثلاث برتقالات ولا توجد فاكهة أخرى تتكون من جزأين من التفاح وثلاثة أجزاء من البرتقال. في هذه الحالة، أو 40% من الكل عبارة عن تفاح و ، أو 60% من الكل عبارة عن برتقال. تسمى هذه المقارنة بين كمية محددة و"الكل" نسبة. ${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$

إذا كانت النسبة تتكون من قيمتين فقط، فيمكن تمثيلها على هيئة كسر، وخاصة كسر عشري. على سبيل المثال، تتمتع أجهزة التلفاز القديمة بنسبة عرض إلى ارتفاع 4:3 ، مما يعني أن العرض هو 4/3 من الارتفاع (يمكن التعبير عن ذلك أيضًا على أنه 1.33:1 أو 1.33 تقريبًا إلى منزلتين عشريتين). تتمتع أجهزة التلفاز ذات الشاشة العريضة الأحدث بنسبة عرض إلى ارتفاع 16:9، أو 1.78 مقربة إلى منزلتين عشريتين. أحد تنسيقات الأفلام ذات الشاشة العريضة الشائعة هو 2.35:1 أو ببساطة 2.35. يؤدي تمثيل النسب على هيئة كسور عشرية إلى تبسيط مقارنتها. عند مقارنة 1.33 و1.78 و2.35، من الواضح أي تنسيق يوفر صورة أوسع. تعمل مثل هذه المقارنة فقط عندما تكون القيم التي تتم مقارنتها متسقة، مثل التعبير دائمًا عن العرض فيما يتعلق بالارتفاع.

يمكن اختزال النسب (كما هي الحال مع الكسور) بقسمة كل كمية على العوامل المشتركة لجميع الكميات. أما بالنسبة للكسور، فإن أبسط شكل هو الذي تكون فيه الأرقام في النسبة هي أصغر الأعداد الصحيحة الممكنة.

وبالتالي، فإن النسبة 40:60 تعادل في معناها النسبة 2:3، حيث يتم الحصول على الأخيرة من الأولى عن طريق قسمة الكميتين على 20. رياضيًا، نكتب 40:60 = 2:3، أو ما يعادل 40:60 ∷2:3. والمعادل اللفظي هو "40 إلى 60 مثل 2 إلى 3".

يُقال إن النسبة التي تحتوي على أعداد صحيحة لكلا الكميتين والتي لا يمكن تقليلها أكثر من ذلك (باستخدام الأعداد الصحيحة) هي في أبسط صورة أو أدنى تعبير.

في بعض الأحيان يكون من المفيد كتابة نسبة في صيغة 1: x أو x :1، حيث لا يكون x بالضرورة عددًا صحيحًا، لتمكين مقارنة نسب مختلفة. على سبيل المثال، يمكن كتابة النسبة 4:5 على هيئة 1:1.25 (بقسمة كلا الطرفين على 4). أو يمكن كتابتها على هيئة 0.8:1 (بقسمة كلا الطرفين على 5).

عندما يوضح السياق المعنى، يتم أحيانًا كتابة النسبة بهذا الشكل بدون الرقم 1 ورمز النسبة (:)، على الرغم من أن هذا يجعلها من الناحية الرياضية عاملًا أو مضاعفًا .

يمكن أيضًا إنشاء نسب بين كميات غير قابلة للقياس (كميات تساوي نسبتها، كقيمة لكسر، عددًا غير نسبي ). أقدم مثال تم اكتشافه ، وجده فيثاغورس ، هو نسبة طول القطر d إلى طول الضلع s للمربع ، وهو الجذر التربيعي لـ 2 ، رسميًا. مثال آخر هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، والتي تسمى π ، وهي ليست مجرد عدد غير نسبي ، بل عدد متسامي . ${\displaystyle a:d=1:{\sqrt {2}}.}$

ومن المعروف أيضًا النسبة الذهبية لطولين (في الغالب) a و b ، والتي يتم تحديدها من خلال النسبة

${\displaystyle a:b=(a+b):a\quad }$أو ما يعادله${\displaystyle \quad أ:ب=(1+ب/أ):1.}$

بأخذ النسب ككسور وكونها ذات قيمة x ، نحصل على المعادلة ${\displaystyle أ:ب}$

${\displaystyle x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad }$أو${\displaystyle \quad x^{2}-x-1=0,}$

الذي له الحل الإيجابي غير النسبي وبالتالي يجب أن يكون أحد a و b على الأقل غير نسبي حتى يكونا ضمن النسبة الذهبية. ومن الأمثلة على حدوث النسبة الذهبية في الرياضيات القيمة الحدية لنسبة رقمين متتاليين من فيبوناتشي : على الرغم من أن كل هذه النسب هي نسب بين عددين صحيحين وبالتالي فهي نسب نسبية، فإن حد تسلسل هذه النسب النسبية هو النسبة الذهبية غير النسبية. ${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

وبالمثل، يتم تحديد نسبة الفضة لـ a و b من خلال النسبة

${\displaystyle a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),}$المقابلة ل${\displaystyle x^{2}-2x-1=0.}$

تحتوي هذه المعادلة على حل موجب غير منطقي، لذا مرة أخرى يجب أن تكون واحدة على الأقل من الكميتين أ و ب في نسبة الفضة غير منطقية. ${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},}$

تُعبر الاحتمالات (كما في المقامرة) عن نسبة. على سبيل المثال، تعني احتمالات "7 إلى 3 ضد" (7:3) أن هناك سبع فرص لعدم حدوث الحدث مقابل كل ثلاث فرص لحدوثه. واحتمال النجاح هو 30%. ومن المتوقع أن يكون هناك ثلاث انتصارات وسبع خسائر في كل عشر محاولات.

قد تكون النسب بلا وحدات ، كما في حالة ربط الكميات بوحدات من نفس البعد ، حتى لو كانت وحدات قياسها مختلفة في البداية. على سبيل المثال، يمكن تقليل النسبة دقيقة واحدة : 40 ثانية عن طريق تغيير القيمة الأولى إلى 60 ثانية، وبالتالي تصبح النسبة 60 ثانية : 40 ثانية . بمجرد أن تصبح الوحدات هي نفسها، يمكن حذفها، ويمكن تقليل النسبة إلى 3:2.

من ناحية أخرى، هناك حاصل قسمة غير عديمة الأبعاد، تُعرف أيضًا بالمعدلات ( وأحيانًا أيضًا بالنسب). ^{[23] [24]} في الكيمياء، عادةً ما يتم التعبير عن نسب تركيز الكتلة على هيئة كسور وزن/حجم. على سبيل المثال، يعني تركيز 3% وزن/حجم عادةً 3 جرام من المادة في كل 100 مل من المحلول. لا يمكن تحويل هذا إلى نسبة عديمة الأبعاد، كما هو الحال في كسور الوزن/الوزن أو الحجم/الحجم.

غالبًا ما يتم التعبير عن مواقع النقاط بالنسبة إلى مثلث برؤوس A و B و C وأضلاع AB و BC و CA في شكل نسبة ممتدة كإحداثيات مثلثية .

في إحداثيات مركز الثقل ، النقطة ذات الإحداثيات α وβ وγ هي النقطة التي تتوازن عليها تمامًا صفيحة معدنية عديمة الوزن على شكل وحجم المثلث إذا تم وضع أوزان على الرؤوس، مع كون نسبة الأوزان في A و B هي α  : β ، ونسبة الأوزان في B و C هي β  : γ ، وبالتالي فإن نسبة الأوزان في A و C هي α  : γ .

في الإحداثيات الثلاثية الخطوط ، فإن النقطة ذات الإحداثيات x  : y  : z لها مسافات عمودية على الضلع BC (مقابل الرأس A ) والضلع CA (مقابل الرأس B ) بنسبة x  : y ، والمسافات إلى الضلع CA والضلع AB (مقابل C ) بنسبة y  : z ، وبالتالي فإن المسافات إلى الضلعين BC و AB بنسبة x  : z .

نظرًا لأن جميع المعلومات يتم التعبير عنها من حيث النسب (الأرقام الفردية التي تشير إليها α وβ وγ وx وy و z ليس لها معنى في حد ذاتها)، فإن تحليل المثلث باستخدام إحداثيات مركز الثقل أو ثلاثية الخطوط ينطبق بغض النظر عن حجم المثلث.

• نسبة التقاطع
• نسبة التخفيف
• نسبة الإزاحة إلى الطول
• كمية بلا أبعاد
• النسبة المالية
• تغيير الطي
• الفاصلة (الموسيقى)
• نسبة الاحتمالات
• تدوين الأجزاء لكل جزء
• نسبة السعر إلى الأداء
• التناسب (رياضيات)
• توزيع النسب
• مقدر النسبة
• المعدل (رياضيات)
• النسبة (تويتر)
• نسبة المعدل
• المخاطر النسبية
• قاعدة الثلاثة (رياضيات)
• مقياس (الخريطة)
• المقياس (النسبة)
• نسبة الجنس
• نسبة فوق خاصة
• المنحدر

• "النسبة" الموسوعة البنسية المجلد 19، جمعية نشر المعرفة المفيدة (1841) تشارلز نايت وشركاه، لندن ص 307 وما يليها
• "التناسب" الموسوعة الدولية الجديدة، المجلد 19، الطبعة الثانية (1916)، شركة دود ميد وشركاه، ص 270-271
• "النسبة والتناسب" أساسيات الرياضيات العملية، جورج وينتوورث، ديفيد يوجين سميث، هربرت درويري هاربر (1922) جين وشركاه، ص 55 وما يليها
• الكتب الثلاثة عشر من كتاب العناصر لإقليدس، المجلد الثاني، ترجمة السير توماس ليتل هيث (1908). مطبعة جامعة كامبريدج. 1908. ص 112 وما يليها.{{cite book}}:CS1 maint: آخرون ( الرابط )
• دي سميث، تاريخ الرياضيات، المجلد 2، جين آند كومباني (1925)، ص 477 وما يليها. أعيد طبعه عام 1958 بواسطة دار دوفر للنشر.